任意四邊形單元和各向異性單元的若干問題研究.pdf

1、四邊形單元與三角形單元相比，具有網(wǎng)格簡單、剛度矩陣帶寬小、計算量小等優(yōu)點，而矩形單元對求解區(qū)域的邊界的近似有一定的局限性，因此將任意四邊形單元用于求解問題更有理論意義和實際價值。 G．Acosta，RDurSn在文獻中指出弱角條件RDP(N，ψ)似乎是最弱的網(wǎng)格條件，并證明了在此條件下凸四邊形單元K上Q1等參元在HI模下的最優(yōu)插值誤差估計，即RDP(N，ψ)是凸四邊形單元K上Q1等參元在H1模下取得最優(yōu)插值誤差估計的充分條件．但

2、是否是必要條件呢?他們將它作為一個懸而未決的問題．Z．Zhang在f691中推測它是必要的．然而，本文通過一個反例證明了弱角條件RDP(N，ψ)不是凸四邊形單元K上Q1等參元在H1模下取得最優(yōu)插值誤差估計的必要條件，從而圓滿解決了這一問題． 對于Stokes問題，本文構(gòu)造了兩個新的低階非協(xié)調(diào)任意四邊形單元．新單元與以前用于討論相同問題的單元相比兼有構(gòu)造簡單；使用方便；形函數(shù)空間的基函數(shù)的次數(shù)低；能較好的逼近求解區(qū)域邊界等優(yōu)勢．由

3、于新單元不含任何協(xié)調(diào)部分，誤差估計比較困難，通過采用更加簡潔的證明方法得到了最優(yōu)誤差估計．特別指出的是，其中一個單元在矩形網(wǎng)格下，還是一個Locking-free元，可用于平面彈性問題．另外，本文通過引入變網(wǎng)格思想又將該單元用于非定常Stokes問題得到了最優(yōu)誤差估計． 眾所周知，在構(gòu)造有限元時，單元自由度和形函數(shù)空間應(yīng)當匹配，一方面使有限元空間中的函數(shù)在跨越單元邊界時，具有某種積分意義下的連續(xù)性，同時自由度又是有限元離散方程的

4、未知量，應(yīng)取得簡單，使整體自由度盡量的少．同時具備這兩個性質(zhì)的自由度的選取往往是很困難的．陳紹春教授和石鐘慈院士提出了構(gòu)造有限元的雙參數(shù)法恰好解決了這一矛盾，并由此構(gòu)造了許多有價值的雙參數(shù)有限元(見[54,70,71]等)．但有關(guān)雙參數(shù)有限元方法用于變分不等式問題的研究還不多．因此本文將一個12參雙參數(shù)矩形板元用于四階位移障礙變分不等式問題，同時通過引入與已有文獻不同的新技巧給出了與常規(guī)有限元相同的最優(yōu)誤差估計．值得一提的是，我們的結(jié)論

5、對幾乎所有已知的非協(xié)調(diào)元都成立。 各向異性有限元方法的研究是目前有限元領(lǐng)域內(nèi)的亮點和難點之一。由于在各向異性網(wǎng)格剖分下，傳統(tǒng)的Sobolev插值理論不能直接利用．雖然T．Apel[38]給出了一個檢驗單元能否應(yīng)用于各向異性網(wǎng)格的標準，但應(yīng)用起來很不方便．陳紹春教授和石東洋教授概括了T．Apel的結(jié)果并提出了一個便于操作的插值定理并將其廣泛應(yīng)用于二階問題和四階問題中的許多著名的單元(見[20,64,65,66,67]等)。在實際工

6、程計算中，有限元的超逼近和超收斂分析占有非常重要的地位，她一直是數(shù)值分析家們研究的熱點問題之一．以林群院士為首的科研小組利用積分恒等式技巧對許多單元作了研究并得到了很好的結(jié)果。但幾乎所有關(guān)于這些單元的超收斂性結(jié)果都要求網(wǎng)格滿足正則性假設(shè)和擬一致假設(shè)㈣．有關(guān)各向異性網(wǎng)格下非協(xié)調(diào)元的超逼近和整體超收斂分析的文獻還不多見。 本文首先將一個低階的具有各向異性特征的非協(xié)調(diào)四邊形單元(僅有三個獨立的自由度)用于求解Stokes方程并給出了一

7、個組合加罰方法，它不僅可以在罰因子較大時得到與傳統(tǒng)有限元加罰法中罰因子較小時同樣的精度，而且對同一級別的罰因子其收斂階是傳統(tǒng)方法的二倍，這是Falk等人提出的加罰外推法所不能得到的結(jié)果，該方法還可以應(yīng)用于Navier-Stokes方程． 其次，我們將各向異性有限元用于耦合問題，利用具有各向異性特征的雙線性元和雙二次元構(gòu)造了一個非協(xié)調(diào)mortar元，利用積分恒等式技巧得到了與傳統(tǒng)方法完全相同的超逼近結(jié)果．需要指出的是，本文所提供的