復(fù)雜結(jié)構(gòu)拉丁超立方體設(shè)計(jì)的構(gòu)造.pdf

1、試驗(yàn)設(shè)計(jì)在農(nóng)業(yè)、工業(yè)、科學(xué)研究等領(lǐng)域中一直扮演著重要的角色。傳統(tǒng)的試驗(yàn)往往比較費(fèi)時(shí)費(fèi)力，甚至有的試驗(yàn)是破壞性的，而隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的快速發(fā)展，計(jì)算機(jī)試驗(yàn)應(yīng)運(yùn)而生，而且越來(lái)越不可或缺。與傳統(tǒng)試驗(yàn)相比，計(jì)算機(jī)試驗(yàn)不存在隨機(jī)誤差，也就是說(shuō)，相同的輸入值會(huì)產(chǎn)生相同的輸出值。因此，傳統(tǒng)試驗(yàn)設(shè)計(jì)的三個(gè)準(zhǔn)則——重復(fù)、隨機(jī)化和分區(qū)組(WuandHamada(2009))，在計(jì)算機(jī)試驗(yàn)的設(shè)計(jì)和分析中是不需要的。近些年來(lái)，計(jì)算機(jī)試驗(yàn)的設(shè)計(jì)與分析得到了快速的發(fā)

2、展。設(shè)計(jì)方面最常見(jiàn)的是空間填充設(shè)計(jì)，包括拉丁超立方體設(shè)計(jì)(Mckay，ConoverandBeckman(1979))、均勻設(shè)計(jì)(Fang，LiandSudjianto(2006))及其一系列的改進(jìn);分析方面，在Sacks，Welch，MitchellandWynn(1989)把kriging建模方法引入計(jì)算機(jī)試驗(yàn)以后，此方法得到了廣泛的使用和顯著的發(fā)展。本文所研究的是計(jì)算機(jī)試驗(yàn)中的一些最新課題，包括適應(yīng)于不同精度、同時(shí)含有定性定量因子

3、以及含有分支因子和嵌套因子計(jì)算機(jī)試驗(yàn)的拉丁超立方體設(shè)計(jì)的構(gòu)造。
　　計(jì)算機(jī)試驗(yàn)的主要目的是模擬復(fù)雜的系統(tǒng)，比如天氣變化、導(dǎo)彈軌跡等，從而更好地認(rèn)識(shí)其中的規(guī)律，進(jìn)而做出預(yù)測(cè)。對(duì)復(fù)雜的系統(tǒng)，我們通常會(huì)用一個(gè)擬模型去近似，而計(jì)算機(jī)試驗(yàn)在模擬這些復(fù)雜系統(tǒng)得到試驗(yàn)數(shù)據(jù)之后，會(huì)建立簡(jiǎn)單的替代模型。然而，即便如此簡(jiǎn)單化，做一次試驗(yàn)往往依然需要大量的時(shí)間，比如，使用有限元分析方法或者有限差分方法的計(jì)算機(jī)代碼。對(duì)于這樣的大型程序，科學(xué)家發(fā)現(xiàn)可以在不

4、同的精度下運(yùn)行，比如高精度和低精度，提出了相應(yīng)的設(shè)計(jì)構(gòu)造方法和分析方法。由于高精度的試驗(yàn)運(yùn)行比較慢，但是得到的結(jié)果會(huì)更接近真實(shí)，而低精度的試驗(yàn)運(yùn)行快，但是結(jié)果卻不夠精確，于是可以多做一些低精度的試驗(yàn)，建立低精度的模型，然后在已經(jīng)做過(guò)低精度試驗(yàn)的一部分試驗(yàn)點(diǎn)上做高精度的試驗(yàn)，最后再用高精度的試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)低精度的模型進(jìn)行調(diào)整修正。分析方面的文獻(xiàn)主要有KennedyandO'Hagan(2000)，Qian，Seepersad，Roshan，A

5、llenandWu(2006)andQianandWu(2008)。另外，針對(duì)于這種兩精度試驗(yàn)的數(shù)據(jù)采集，嵌套空間填充設(shè)計(jì)非常流行，文獻(xiàn)包括Qian，TangandWu(2009),Qian,AiandWu(2009),Qian(2009),HaalandandQian(2010),Sun,YinandLiu(2013)，Sun，LiuandQian(2013)，Yang，LiuandLin(2014)等等。特別地，Qian(2009)

6、構(gòu)造了嵌套拉丁超立方體設(shè)計(jì)。所謂的嵌套拉丁超立方體設(shè)計(jì)是指，一個(gè)大的拉丁超立方體設(shè)計(jì)包含一個(gè)小的拉丁超立方體設(shè)計(jì)作為子集。比如對(duì)k個(gè)精度的計(jì)算機(jī)試驗(yàn)，Qian(2009)的方法可以構(gòu)造k層嵌套拉丁超立方體設(shè)計(jì)D1,...，Dk來(lái)進(jìn)行，其中D1，...，Dk通常要滿(mǎn)足下面的條件:
　　(1)嵌套結(jié)構(gòu):D1(∈)...(∈)Dk;
　　(2)拉丁超立方體設(shè)計(jì):每個(gè)Di都是拉丁超立方體設(shè)計(jì)。
　　另外，早期的計(jì)算機(jī)試驗(yàn)所考慮

7、的因子一般都是定量的(Santner，WilliamsandNotz(2003)，F(xiàn)ang，LiandSudjianto(2006))，但是計(jì)算機(jī)試驗(yàn)中是可以存在定性因子的。比如Schmidt，CruzandIyengar(2005)考察了一個(gè)設(shè)備中熱空氣擴(kuò)散的試驗(yàn)，其中擴(kuò)散器的位置、熱空氣回流通道的位置都是定性因子。此外，Han，Santner，NotzandBartel(2009)考察的假肢模型，其中假肢所承受力的方式也是定性因子。

8、所以，考察同時(shí)含有定性和定量因子的計(jì)算機(jī)試驗(yàn)的設(shè)計(jì)構(gòu)造與分析是有意義的。關(guān)于這方面試驗(yàn)的設(shè)計(jì)構(gòu)造的文獻(xiàn)主要有QianandWu(2009)，Qian(2012),Yang,Lin,QianandLin(2013),Huang,YangandLiu(2013),Yang,Chen，LinandLiu(2013)等，分析方面主要有文獻(xiàn)Qian，WuandWu(2008)，Han，Santner,NotzandBartel(2009),Han

9、,Santner,NotzandLong(2009),Zhou,QianandZhou(2011)等。特別地，Qian(2012)提出了分片拉丁超立方體設(shè)計(jì)，它是一種特殊的拉丁超立方體設(shè)計(jì)，可以分成若干片，且每一片都是一個(gè)小的拉丁超立方體設(shè)計(jì)，每一片對(duì)應(yīng)著試驗(yàn)中定性因子的一個(gè)水平組合。
　　和普通的拉丁超立方體設(shè)計(jì)一樣，Qian(2012)提出的分片拉丁超立方體設(shè)計(jì)只能保證一維投影均勻性，不能保證在整個(gè)試驗(yàn)區(qū)域上的均勻性，本文將利

10、用中心化的L2偏差準(zhǔn)則(Hickernell(1998))對(duì)分片拉丁超立方體設(shè)計(jì)進(jìn)行優(yōu)化，通過(guò)門(mén)限接受算法(DueckandScheuer(1990))構(gòu)造均勻的分片拉丁超立方體設(shè)計(jì)。除此之外，由于每一片也是一個(gè)拉丁超立方體設(shè)計(jì)，所以每一片在試驗(yàn)區(qū)域上的均勻性也是需要考慮的，我們將把設(shè)計(jì)的整體均勻性和各片均勻性結(jié)合在一起考慮，提出一個(gè)新的加權(quán)準(zhǔn)則來(lái)對(duì)分片拉丁超立方體設(shè)計(jì)進(jìn)行優(yōu)化，得到均勻性更好的分片拉丁超立方體設(shè)計(jì)。
　　此外，我

11、們發(fā)現(xiàn)在Qian(2009)提出的嵌套拉丁超立方體設(shè)計(jì)中，沒(méi)有分片結(jié)構(gòu)。也就是說(shuō)，他的設(shè)計(jì)不能適應(yīng)高低精試驗(yàn)中含有定性定量因子的情形，而高精度試驗(yàn)和低精度試驗(yàn)完全有可能都存在定性定量因子，為了適應(yīng)這種情況，在嵌套拉丁超立方體設(shè)計(jì)中，需要有分片結(jié)構(gòu)。為此，本文將提出帶有分片結(jié)構(gòu)的嵌套拉丁超立方體設(shè)計(jì)的概念及其構(gòu)造方法，并將通過(guò)模擬驗(yàn)證這種改進(jìn)的嵌套拉丁超立方體設(shè)計(jì)在建模的精度上比Qian(2009)中的普通嵌套拉丁超立方體設(shè)計(jì)要好。

12、>　　在計(jì)算機(jī)試驗(yàn)中，還經(jīng)常會(huì)遇到有分支因子和嵌套因子的情況。嵌套因子依賴(lài)于分支因子的水平，在分支因子的不同水平下，存在著不同的嵌套因子。例如，在Hung，JosephandMelkote(2009)一文中，討論的生產(chǎn)電路板的例子就有分支因子和嵌套因子。在清潔電路板時(shí)，有兩種方法:機(jī)械擦拭和化學(xué)處理。如果采用機(jī)械擦拭，那么就要考察擦拭力度大小的不同效果;如果采用化學(xué)處理，就要考察不同腐蝕速率的效果。在這個(gè)試驗(yàn)中，清潔方法就是分支因子，是

13、定性因子，它有兩個(gè)水平:機(jī)械擦拭和化學(xué)處理。而擦拭力度是定量因子，且只存在于機(jī)械擦拭這個(gè)方法下，腐蝕速率也是定量因子，且只存在于化學(xué)處理這個(gè)方法下。對(duì)于這種試驗(yàn)，Hung，JosephandMelkote(2009)提出了分支拉丁超立方體設(shè)計(jì)，很好地解決了這種情況下的設(shè)計(jì)與分析。然而，他們沒(méi)有考慮對(duì)于定性的分支因子，整體設(shè)計(jì)中需要有分片的結(jié)構(gòu)。此外，他們只考慮了嵌套因子是定量的情況，沒(méi)考慮嵌套因子也是定性的情況，而這種情形也是存在的。對(duì)

14、于分支因子和嵌套因子都是定性的情形，設(shè)計(jì)需要重新構(gòu)造。所以，本文一方面將通過(guò)對(duì)分支拉丁超立方體設(shè)計(jì)添加分片結(jié)構(gòu)使之得到改進(jìn)，另一方面將針對(duì)分支和嵌套因子都是定性的情況構(gòu)造新的設(shè)計(jì)。
　　下面我們簡(jiǎn)要介紹本論文各章的主要內(nèi)容。
　　第一章介紹本文涉及的一些背景知識(shí)、用到的基本概念和符號(hào)。
　　第二章構(gòu)造了帶有分片結(jié)構(gòu)的嵌套拉丁超立方體設(shè)計(jì)。嵌套拉丁超立方體設(shè)計(jì)是針對(duì)多精度的計(jì)算機(jī)試驗(yàn)提出來(lái)的，而分片拉丁超立方體設(shè)計(jì)是針對(duì)

15、同時(shí)含有定性定量因子的計(jì)算機(jī)試驗(yàn)提出來(lái)的，也就是說(shuō)，它們是被獨(dú)立地提出、獨(dú)立地研究的，然而這兩種情形是可能在同一試驗(yàn)中出現(xiàn)的，比如一個(gè)含有定性定量因子的試驗(yàn)需要在不同精度下完成。對(duì)此種情況，普通的嵌套拉丁超立方體設(shè)計(jì)和分片拉丁超立方體設(shè)計(jì)都不能很好地適應(yīng)。本章提出了帶有分片結(jié)構(gòu)的嵌套拉丁超立方體設(shè)計(jì)來(lái)適應(yīng)這種情況，給出了一般的構(gòu)造方法，且簡(jiǎn)便易行。另外，還利用Matlab軟件包DACE建立了Gausskriging模型，結(jié)果表明新的具有

16、復(fù)雜結(jié)構(gòu)的拉丁超立方體設(shè)計(jì)的效果要好于普通的嵌套拉丁超立方體設(shè)計(jì)和分片拉丁超立方體設(shè)計(jì)。
　　第三章討論了均勻分片拉丁超立方體設(shè)計(jì)的構(gòu)造。分片拉丁超立方體設(shè)計(jì)也是一種復(fù)雜結(jié)構(gòu)的拉丁超立方體設(shè)計(jì)，它能夠分成若干片，且每一片都是一個(gè)小的拉丁超立方體設(shè)計(jì)。這種設(shè)計(jì)保留了普通拉丁超立方體設(shè)計(jì)的一維投影均勻性，但是卻也無(wú)法保證試驗(yàn)點(diǎn)在整個(gè)試驗(yàn)區(qū)域上均勻性。本章首先利用中心化L2偏差對(duì)整個(gè)設(shè)計(jì)在試驗(yàn)區(qū)域上的均勻性進(jìn)行了優(yōu)化，得到了整體均勻的分

17、片拉丁超立方體設(shè)計(jì)。進(jìn)一步考慮到每一片的均勻性也需要優(yōu)化，本章又提出了一個(gè)帶權(quán)重參數(shù)的組合優(yōu)化準(zhǔn)則，即把設(shè)計(jì)的整體均勻性和各片均勻性用一個(gè)權(quán)重參數(shù)結(jié)合到一起的準(zhǔn)則，在此準(zhǔn)則下得到的設(shè)計(jì)可以同時(shí)照顧到整個(gè)設(shè)計(jì)和每一片的均勻性。另外，還利用畫(huà)“w-trace”（這里w為權(quán)重參數(shù)）的方法來(lái)確定了合適的權(quán)重參數(shù)。
　　第四章給出了改進(jìn)的分支拉丁超立方體設(shè)計(jì)和雙分片拉丁超立方體設(shè)計(jì)的構(gòu)造方法。計(jì)算機(jī)試驗(yàn)經(jīng)常會(huì)遇到帶有分支因子和嵌套因子的情形