復雜計算機試驗設計與篩選設計的構造.pdf

1、試驗設計在統(tǒng)計學的課程、應用和研究等方面扮演著重要的角色。我們關于科學準則、工程中的產品及制造過程等方面的許多知識都是通過試驗獲得的。試驗設計是制定試驗策略的工具，它能夠用最少的試驗次數來最大化得到的信息。傳統(tǒng)的試驗設計，例如因析設計、正交設計、區(qū)組設計、拉丁方設計和響應曲面設計已被深入研究，得到了豐碩的理論成果。
　　本文研究試驗設計中的一些最新課題，包括計算機試驗中嵌套正交拉丁超立方體設計的構造、分片正交且最大最小拉丁超立方體

2、設計的構造，以及最少點混水平篩選設計的構造。
　　在試驗的初級階段，試驗的目的是要識別出對試驗過程重要的因子。分辨度為Ⅲ和Ⅳ的部分因析設計常被用作篩選設計。但是用這些設計來識別活躍因子的時候有一些缺點，例如:對于任意一個分辨度Ⅲ的部分因析設計，某些主效應會和一個或多個二階交互效應完全混雜。這時候需要追加試驗來確定活躍的效應。如何構造具有良好性質的篩選設計是一個重要的課題。對于因子全為兩水平或三水平的篩選設計，已有文獻提出了相應的構

3、造方法。但是，有些試驗既有兩水平因子又有三水平因子。目前尚沒有人給出混水平篩選設計的構造方法。本文給出一種構造混水平篩選設計的方法，得到的設計具有最少的試驗點，而且在D效率和估計的方差方面都有很好的表現。
　　傳統(tǒng)的試驗是在實驗室、工廠或者農田里實施的。隨著計算機技術的迅速發(fā)展，一些實體試驗可以用復雜的計算機程序進行模擬。計算機試驗中不存在隨機誤差。在計算機試驗中，對給定的一組輸入值，得到的響應是確定的。因此，傳統(tǒng)的試驗設計準則，

4、即隨機化、分區(qū)組和重復，在計算機試驗的設計和分析中不再適用。由Mckay，Conover and Beckman(1979)提出的拉丁超立方體設計在計算機試驗中得到了廣泛的應用。拉丁超立方體設計最初的構造方法是每一列隨機抽取1到n的一個排列，其巾n是試驗次數。這種構造方法可能導致某些因子之間具有很強的相關性。因子之間存在很強的相關性會使得后續(xù)的數據分析變得復雜，而且會更難識別出重要的因子。對于回歸模型來說，包含正交變量是合乎需要的，這樣

5、能夠保證系數的估計之間是不相關的。對于一階回歸模型來說，正交性可以確保主效應的估計是不相關的。進一步，對于一階回歸模型但二階效應（即平方效應和兩因子交互效應）存在的情形，能夠保證所有主效應的估計與二階效應的估計不相關的設計是優(yōu)先采用的。構造具有以下優(yōu)良性質的拉丁超立方體設計是一個很重要的課題:
　　(a)主效應的估計之間不相關;
　　(b)主效應的估計與平方效應和兩因子交互效應的估計不相關。
　　二階正交的拉丁超立方體

6、設計能夠滿足性質(a)和(b).一個列中心化的拉丁超立方體設計是二階正交的，如果滿足:任意兩列的內積為零，而且任意三列的對應元素乘積之和為零。具體定義將在第一章中給出?，F有文獻中有一些方法來構造具有性質(a)和(b)的拉丁超立方體設計，參見Ye(1998)，Cioppa and Lucas(2007), Georgiou(2009), Sun, Liu and Lin(2009,2010), Yang and Liu(2012)和Ai，

7、He and Liu(2012)等.
　　一個像有限元分析模型這樣的復雜費時的計算機程序可以分成不同的精度來實施，這就產生了具有多個精度的計算機試驗。通常地，會同時用一個高精度（費時）的計算機試驗和低精度（運算快）的計算機試驗來研究復雜的實體系統(tǒng)。這種試驗得到的觀測通常用來構建統(tǒng)計模型，以用來預測試驗的最精確的響應(Kennedy and O'Hagan(2000), Qian, Seepersad, Roshan, Allen

8、and Wu(2006)and Qian and Wu(2008))。有效的數據收集對這種試驗的實施是至關重要的。Qian，Tang and Wu(2009)針對具有高精度和低精度的計算機試驗提出了一類新的設計，稱為嵌套空間填充設計?？紤]k個不同精度的計算機試驗，響應分別是y1，…，yk，其中y1來自于最高精度的試驗，y2來自第二高精度的試驗，以此類推。令D1，…，Dk表示這k個試驗的設計陣。那么D1，…，Dk通常要滿足下面的條件:

9、r>　　(1)嵌套結構:D1(∈)…(∈) Dk;
　　(2)空間填充性質:每個Di都是空間填充設計。
　　拉丁超立方體設計具有一維投影均勻性。構造具有良好性質的嵌套拉丁超立方體設計，如嵌套正交拉丁超立方體設計，是一個很好的課題。目前只有個別的工作構造了嵌套正交拉丁超立方體設計。Li and Qian(2013)針對兩精度的計算機試驗，給出了幾種方法來構造（近似）列正交的嵌套拉丁超立方體設計。本文給出了適用于多精度計算機試驗

10、的嵌套正交拉丁超立方體設計的構造方法，并且，所構造的設計是二階正交的。
　　此外，對一個計算機試驗，通常都假設其變量是定量的。但是，一個計算機試驗可能同時包含定性和定量的變量。Qian and Wu(2009)提出的分片空間填充設計對同時包含定性和定量變量的計算機試驗是個很好的選擇。空間填充設計的每一片對應著定性因子的一個水平組合，且在低維上都應具有空間填充性質。Qian(2012)構造了具有一維投影均勻性的分片拉丁超立方體設計。

11、正交性是空間填充設計應具有的重要性質。目前只有Yang，Lin，Qian and Lin(2013)的工作來構造分片正交拉丁超立方體設計。他們給出了幾種方法來構造分片正交或者二階正交的拉丁超立方體設計。而且，現有的方法在構造分片拉丁超立方體設計時只考慮了正交性或者一維投影均勻性。將正交性和高維投影均勻性一起來考慮是個新的課題。
　　盡管現在已有一些方法來構造嵌套空間填充設計、分片空間填充設計和篩選設計，如上所述，目前還有不少新問題

12、需要解決。下面我們簡要介紹本論文各章的主要內容。
　　第一章介紹一些背景知識，相關的概念、符號以及在后面章節(jié)中要用到的引理。
　　第二章給出一類嵌套正交拉丁超立方體設計的構造方法。嵌套拉丁超立方體設計是針對多精度的計算機試驗提出來的。正交性已被證明是很重要的性質。嵌套正交拉丁超立方體設計的構造只有很少量的工作?，F有的構造嵌套正交拉丁超立方體設計的方法只能得到某些特定層數的設計。本章利用正交設計來構造具有兩層或多層結構的嵌套正

13、交拉丁超立方體設計。得到的嵌套設計的層數可以是任意的正整數。新的設計還具有以下性質:任意三列對應元素乘積之和為零，該性質對因子篩選具有很好的用處。這些設計能夠保證所有主效應的估計與平方效應及兩因子交互效應的估計不相關。這種構造方法很容易實施。
　　第三章給出了分片正交且最大最小拉丁超立方體設計的構造。分片拉丁超立方體設計是一種特殊的拉丁超立方體設計，能夠被分成若干片，并且每一片是一個小的拉丁超立方體設計。這種設計對具有定性和定量因

14、子的計算機試驗、多精度試驗、數據整合和交叉驗證很有用。正交性和均勻性對拉丁超立方體設計來說是很重要的性質。在本章中，我們用正交設計、Goethals-Seidel表和Kharaghani表來構造分片正交且最大最小拉丁超立方體設計。所構造的設計不僅具有二階正交性，而且具有用最大最小距離準則度量的很好的均勻性。
　　第四章介紹了一種用Conference矩陣來構造最少點混水平篩選設計的方法。篩選設計經常被用來識別大量因子中的活躍效應。