求矩陣方程AXB=C的三對(duì)角約束解的幾種迭代解法.pdf

1、線性矩陣方程的求解問(wèn)題及相應(yīng)的最小二乘問(wèn)題是近年來(lái)數(shù)值代數(shù)領(lǐng)域研究和討論的重要課題之一,它在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì),系統(tǒng)識(shí)別,結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué),自動(dòng)控制理論,振動(dòng)理論等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.
　　 本篇碩士論文利用幾種迭代方法系統(tǒng)研究矩陣方程AXB=C的三對(duì)角解和三對(duì)角最小二乘解及其最佳逼近解.具體問(wèn)題描述如下:這里的TRn×n表示n階三對(duì)角矩陣集合,‖·‖為矩陣Frobenius范數(shù).
　　 本文主要工作以及研究結(jié)果如下:
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2、.對(duì)于問(wèn)題I,利用矩陣分解它有一般解,對(duì)稱解和反對(duì)稱解及其最佳逼近問(wèn)題已有了研究,對(duì)三對(duì)角矩陣的研究沒(méi)有涉及,第二章利用迭代法研究它求三對(duì)角解及其最佳逼近解問(wèn)題.在不考慮舍入誤差時(shí),該迭代法能在有限步終止,而且通過(guò)迭代過(guò)程可自動(dòng)判定矩陣方程在三對(duì)角矩陣集合上的相容性.
　　 2.對(duì)問(wèn)題Ⅱ通過(guò)構(gòu)造具有短遞推格式的迭代方法,成功的解決了關(guān)于不相容矩陣方程AXB=C的三對(duì)角最小二乘解問(wèn)題.在不考慮舍入誤差的情況下,構(gòu)造出來(lái)的迭代法對(duì)任

3、意的初始三對(duì)角矩陣都可以在有限步計(jì)算出在SE集合上的一個(gè)三對(duì)角最小二乘解,且通過(guò)選取特殊的初始矩陣,還可以得到相應(yīng)的三對(duì)角最小范數(shù)最小二乘解。而對(duì)于問(wèn)題Ⅲ可等價(jià)轉(zhuǎn)化為求一個(gè)新的不相容矩陣方程的最小范數(shù)最小二乘解問(wèn)題,并且證明了在最小二乘解得到之前迭代不會(huì)停止,由該迭代方法計(jì)算出來(lái)的逼近解可使得矩陣方程殘差的Frobenius范數(shù)在一個(gè)仿射子空間上達(dá)到極小,而且得到的殘差序列的Frobenius范數(shù)是單調(diào)遞減的.最后,給出數(shù)值例子.

4、>　　 3.不直接利用Kronecker積,得到了求不相容矩陣方程AXB=C的三對(duì)角最小二乘解問(wèn)題的矩陣形式的LSQR方法.首先利用矩陣形式的雙對(duì)角化過(guò)程計(jì)算矩陣Krylov子空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基,并且指出在實(shí)際的計(jì)算中矩陣形式的雙對(duì)角過(guò)程又決定了矩陣方程AXB=C三對(duì)角矩陣集合上的可解性.基于這個(gè)過(guò)程,約束矩陣方程AXB=C的三對(duì)角最小二乘問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了無(wú)約束線性方程的最小二乘問(wèn)題,進(jìn)而利用經(jīng)典的LSQR算法來(lái)求解.另外,用預(yù)條件矩陣