雙調和方程及油田注水開發(fā)最優(yōu)控制問題數(shù)值分析.pdf

1、偏微分方程最優(yōu)控制問題在近三十多年的快速發(fā)展,為數(shù)學學科帶來了一個非常有發(fā)展前景和生命力的研究領域.對于這-領域的研究,涉及到了物理、化學、生物等許多應用領域的內容,如材料設計、晶體生長、溫度控制、石油開采等等,相關的文獻可以參見[39,47,49,73]等.其中涉及到的偏微分方程,既有橢圓的和線性的,又有拋物、雙曲的以及非線性的.此外,按照受限條件的不同,還可包含控制受限的最優(yōu)控制問題和狀態(tài)受限的最優(yōu)控制問題.偏微分方程最優(yōu)控制問題在

2、近幾十年的發(fā)展中,已經有了相對完善的理論框架,相關的計算軟件的開發(fā)也取得了很大的進展.工程上以及數(shù)學上,科學家們關心的最優(yōu)控制問題大多可用如下的抽象數(shù)學模型來表示:
　　 其中J為根據實際需要提出的目標泛函,y稱為狀態(tài)變量,u稱為控制變量,Uad稱為控制約束集,A(y；u)=0表示某一偏微分方程,其中還包括變分不等式,甚至結合狀態(tài)受限等多種形式,一般地。我們稱A(y；u)=0為狀態(tài)方程.
　　 對于第-個方面(P1),單

3、就橢圓控制問題來說,供我們可研究的偏微分方程就還有很多.對于受控于二階橢圓方程的控制問題,按照受限變量劃分,在控制與狀態(tài)受限兩大方面均有了較廣泛的研究,如[2,3,6,14,16,17,18,19,31,61]等相關文獻；按照控制類型劃分,在分布式控制、邊界控制及參數(shù)估計等方面,也有了比較完善的結果,如[50,58,59,82,83]等.而對于受控于四階橢圓方程的最優(yōu)控制問題,研究相對較少,在這一領域,有許多相關的數(shù)學模型尚未建立,而眾

4、多數(shù)值算法的應用,更是需要科研工作者探索的重要課題.我們知道,求解四階橢圓方程,如果用協(xié)調元直接進行有限元離散,基函數(shù)對應的分片多項式需要較多的自由度,帶來計算量的迅速增加.因此,尋求更加快速有效的數(shù)值算法,以及將這些算法融合到最優(yōu)控制的算法中去,是一項很有意義的工作.
　　 在四階偏微分方程的數(shù)值算法研究方面,特別地,在雙調和方程的研究上,已經有很多出色的工作,例如文獻[7,8,22,25,26,28,30,40,53,63,

5、68,71,81]等.雙調和方程描述的物理模型來自于流體力學和工程力學,例如彈性板的彎曲.本文中,我們僅就雙調和方程中很有代表性的一個類型展開研究,即第一類雙調和方程,數(shù)學表達式如下:
　　 在某些關于第一類雙調和方程的應用類文獻中,例如梁和板的形變問題中,上面模型中的y表示位移,△y表示曲率,一般地,工程上比較關心這這兩個參數(shù),從而相應地帶來了關于控制這兩個參數(shù)的最優(yōu)控制問題的研究.在上面模型中,右端項u表示外部的負載或者作用

6、力,如何控制外力來改變板的位移和曲率等形變性質,根據不同的目標,我們可以建立多種最優(yōu)控制模型.
　　 對于四階偏微分方程,為了減少自由度,更加快速地求解,我們很自然地引入混合有限元離散格式.關于四階偏微分方程的混合有限元離散格式,已經有了較多的研究,例如Ciarlet-Raviart混合元、Herrmann-Miyoshi混合元、Hellan-Herrmann-Johnson混合元等等,相關的文獻可見[11,25,26,28,5

7、1,63,68,71]等以及這些文章的參考文獻.在眾多混合元格式中,Ciarlet-Raviart混合元離散格式的某些特殊性引起了我們的研究興趣.從已有的結果來看,Scholz在[71]中給出了雙調和方程分片線性Ciarlet-Raviart元離散格式的收斂性結果,對于這一問題的分片高次多項式Ciarlet-Raviart元離散格式,Babu(s)ka、Ciarlet等在文獻[7,28,37,68]中給出了相應的收斂性分析.無論是線性的

8、還是高次的Ciarlet-Raviart元離散格式,我們發(fā)現(xiàn)在前人文獻中給出的理論結果中都有進一步改善的空間,另一方面,對于Ciarlet-Raviart元離散格式的數(shù)值計算,據我們所知,尚沒有公開發(fā)表的結果,因此,改進Ciarlet-Raviart元離散格式的誤差估計,以及通過數(shù)值實驗結果來驗證我們的理論,引起了我們的強烈研究興趣.鑒于在工程應用中提出了受控于四階偏微分方程的最優(yōu)控制問題,將上面我們所提到的工作和最優(yōu)控制理論結合,無論

9、在理論難度上,還是在應用的廣度和深度上,都將具有重要的研究意義.
　　 自適應有限元方法在近些年來因其計算高效性,已經成為科學與工程計算中的一個重要研究領域.自適應方法的基本步驟是通過后驗誤差估計指示子對網格局部加密或者放疏,更加有效地求得數(shù)值解.關于誤差估計指示子的類型,有殘量型、分層基型、函數(shù)型等等,具體可見文獻[77]等.自適應有限元方法在最優(yōu)控制問題中已經有了廣泛的應用,尤其在利用殘量型誤差指示子方面.而對于利用Ciar

10、let-Raviart元離散雙調和方程控制問題的后驗誤差估計,相關的工作較少.Charbonneau等學者在文獻[22]中給出了分片2次Ciarlet-Raviart元離散的雙調和方程后驗誤差估計,他們得到了次最優(yōu)的殘量型誤差指示子.而對于分片線性Ciarlet-Raviart元離散,卻得不到類似的結果.本文中,我們利用類似的方法分析分片線性Ciarlet-Raviart元離散的雙調和方程最優(yōu)控制問題,在一個修正的范數(shù)意義下,得到了最優(yōu)

11、的后驗誤差估計子.
　　 在石油工程領域,油藏模擬專家采用質量守恒和動量守恒方程組來描述地下油、水、汽以及聚合物等化學物質在多孔介質中的運移過程,這一類的方程往往涉及到大量耦合的非線性橢圓、拋物方程組,在數(shù)值模擬上有很大的難度.目前國內的大多數(shù)油田仍主要采用注水驅油的二次采油方式,尤其是國內的主力油田,基本已經進入二次采油的后期階段,甚至已經開始進入三次采油階段.這個時候,對于二次采油的方式,往往注入大量的水,只能采出少量的油.

12、我們知道,出于減少對管道的腐蝕等方面的考慮,油田采油所用的水質要求非常高,需要經過多次凈化提純加工等程序,而優(yōu)質水的大量注入,所花費的生產成本是值得我們考慮的.如何利用最少的水,采出最多的油,提高采收率,是擺在油藏工作者面前的一大難題.對這一問題的研究,對于油田注水開發(fā)方案的設計以及實際的生產,都將具有重要的指導意義.這一問題實際上就是要確定-個最優(yōu)控制策略,在數(shù)學上,可以歸結為受控于兩相流(或多相流)混溶(或不可混溶)驅動方程組的最優(yōu)

13、控制問題.對這一問題,國內外的學者已經有一些研究結果,如Brouwer和Jansen等學者在文獻[12]中研究了智能井的動態(tài)注水優(yōu)化控制模型,利用傳統(tǒng)的優(yōu)化的方法做了數(shù)值計算.
　　 本文對雙調和方程最優(yōu)控制問題和兩相不可混溶驅動方程組最優(yōu)控制問題做了部分研究工作.對于前者,我們首次對分布式控制受限和控制、狀態(tài)雙受限的雙調和方程控制問題進行了混合元算法分析,給出了相應的先驗誤差估計.其中對于分布式控制受限的情況,我們的創(chuàng)新之處在

14、于得到了新的收斂階,同時對于分片線性Ciarlet-Raviart元離散格式,得到了次最優(yōu)的后驗誤差估計,改進了前人的結果.這一方面的部分結果已經發(fā)表在Journal of Computationaland Applied Mathematics上.對于雙受限的情況,我們結合眾多文獻中的方法,第一次給出了該控制問題的收斂性結果和誤差估計,同時也給出了數(shù)值算例.對于后者,我們提出了最優(yōu)控制的數(shù)學模型,第一次進行了系統(tǒng)的有限元分析,證明了解

15、的存在性,推導出了先驗誤差估計,同時進行了數(shù)值計算.
　　 全文共分三章,下面分別介紹一下各章的主要內容.
　　 第一章,對于分布式控制受限的第一類雙調和方程控制問題,給出了Ciarlet-Raviart混合有限元離散格式,得出了連續(xù)的和離散的最優(yōu)性條件.對于分片線性Ciarlet-Raviart元離散,分析了先驗誤差估計和后驗誤差估計.在先驗估計的推導中,通過改進一個Riesz投影逼近的誤差估計,得到了有限元解更高階的

16、誤差收斂精度；在推導后驗誤差估計過程中,對于一個修正的范數(shù),得到了等價的后驗誤差估計子.本章中,對于控制問題,我們同時分析了分片高次Ciarlet-Raviart元逼近的先驗誤差估計,在某個正則性假定下,也得到了更好的誤差收斂精度.每一部分估計的最后,我們都通過幾個數(shù)值實驗證明了我們的結論.
　　 第二章,對于控制點態(tài)、狀態(tài)積分雙受限的第一類雙調和方程控制問題,進行了數(shù)值分析.同樣地,我們用Ciarlet-Raviart混合元對

17、方程中的狀態(tài)變量進行離散,得出了連續(xù)的和離散的最優(yōu)性條件,同時,結合[17,61,84]等文獻的方法,再應用第一章中得到的部分結論,我們給出了該控制問題的先驗誤差估計,并做了數(shù)值模擬.
　　 第三章,我們對于油田注水采油優(yōu)化設計問題,提出了一類受控于兩相不可壓縮不可混溶驅動方程組的最優(yōu)控制問題數(shù)學模型,并進行了數(shù)值分析.這一課題是在羊丹平教授和劉文斌教授指導下,在課題組孫同軍老師和杜寧老師幫助下,常延貞師姐和我參與完成的,其中部