偏微分方程和積分系統(tǒng)的混沌研究.pdf

1、混沌(chaos)是非線性科學(xué)研究的中心課題之一,是非線性動(dòng)力系統(tǒng)普遍存在的一種運(yùn)動(dòng)形式.同時(shí)，混沌研究對(duì)非線性動(dòng)力學(xué)的發(fā)展起著全局性、本質(zhì)性的影響.非線性動(dòng)力學(xué)的某些研究一開(kāi)始就與混沌探索聯(lián)系在一起.但是，直到20世紀(jì)50年代末，混沌理論創(chuàng)立之前，混沌概念還是極其模糊的.即使現(xiàn)在，不同領(lǐng)域?qū)煦绲睦斫庖埠懿幌嗤?但就一般而言，混沌是指在確定性的系統(tǒng)中，不需要附加任何隨機(jī)因素亦可出現(xiàn)的類似隨機(jī)的動(dòng)力學(xué)行為.混沌系統(tǒng)的最大特點(diǎn)就在于系統(tǒng)的

2、演化對(duì)初始條件十分敏感.因此，從長(zhǎng)期意義上講。系統(tǒng)的行為足不可預(yù)測(cè)的. 關(guān)于動(dòng)力系統(tǒng)混沌的研究吸引了許多科學(xué)家和數(shù)學(xué)家的興趣.1975年，Li與Yorke[1]研究了連續(xù)區(qū)間映射，得到了一個(gè)著名的結(jié)果“周期3蘊(yùn)含混沌”。該判別定理在研究一維離散動(dòng)力系統(tǒng)的混沌問(wèn)題時(shí)有非常重要的作用。在該文中他們首次給出混沌的一個(gè)數(shù)學(xué)定義。之后，出現(xiàn)了幾個(gè)不同的混沌定義[2-5]。有些較強(qiáng)而有些較弱，依賴于對(duì)不同問(wèn)題研究的需要。1978年，F(xiàn).R.

3、Marotto受Li與Yorke工作的啟發(fā)，把Li-Yorke定理推廣到n維情況，并給出了擴(kuò)張不動(dòng)點(diǎn)和返回?cái)U(kuò)張不動(dòng)點(diǎn)的概念。Marotto定理[6，定理3.1]證明了返回?cái)U(kuò)張不動(dòng)點(diǎn)導(dǎo)致Li-Yorkc意義下混沌.最近，史玉明和陳關(guān)榮抓住了擴(kuò)張不動(dòng)點(diǎn)和返回?cái)U(kuò)張不動(dòng)點(diǎn)的本質(zhì)，把Marotto對(duì)Rn中連續(xù)可微映射定義的擴(kuò)張不動(dòng)點(diǎn)和返回?cái)U(kuò)張不動(dòng)點(diǎn)的概念推廣到了一般度量空間中[7].并且她們建立了幾個(gè)完備度量空間上離散動(dòng)力系統(tǒng)的混沌判定定理[7，

4、8].許多動(dòng)力系統(tǒng)模型導(dǎo)出的偏微分方程或積分方程常在Banach空間中進(jìn)行研究。 在力學(xué)和電學(xué)系統(tǒng)中對(duì)非線性振蕩的研究一直以來(lái)都是科學(xué)家和工程師們研究的重要課題[9]。最近幾年，這類研究更多的集中在了混沌現(xiàn)象的研究.但對(duì)于南偏微分方程控制的力學(xué)系統(tǒng)的混沌振蕩的數(shù)學(xué)研究卻不多.一般來(lái)說(shuō)，偏微分方程的研究需要更深的數(shù)學(xué)知識(shí)和技巧.偏微分方程有很多不同的類型.在本文第二章，我們只考慮一端帶有線性邊值條件，一端帶有非線性邊值條件的振動(dòng)弦

5、的混沌振蕩問(wèn)題。 積分方程是近代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支.它在力學(xué)、數(shù)學(xué)物理和工程等領(lǐng)域有重要應(yīng)用.同時(shí)我們知道在對(duì)積分方程進(jìn)行迭代求其近似解時(shí)，會(huì)出現(xiàn)一些奇怪的現(xiàn)象，即對(duì)初始值作微小改變，其近似解會(huì)有很大不同，甚至有時(shí)其近似解圖象會(huì)極其混亂，即現(xiàn)在我們稱為的混沌現(xiàn)象.本文的第三章建立積分系統(tǒng)的混沌判定定理，對(duì)上述現(xiàn)象可以給出一個(gè)合理的解釋. 本文主要討論兩方面的問(wèn)題:一是波動(dòng)方程的混沌問(wèn)題，二是Banach空間上的一類混沌離

6、散系統(tǒng)的微擾問(wèn)題.本文由三章組成，主要內(nèi)容如下； 第一章概述了混沌研究的進(jìn)展，給出了一些預(yù)備知識(shí)，其中包括了幾個(gè)數(shù)學(xué)上常用的混沌定義，以及動(dòng)力系統(tǒng)中的一些基本概念，并回顧了目前已經(jīng)取得的關(guān)于離散動(dòng)力系統(tǒng)混沌判定的一些結(jié)果。 第二章主要討論波動(dòng)方程的混沌振蕩問(wèn)題.波動(dòng)方程足在工程和力學(xué)中一類非常重要的偏微分方程.本章考慮一維弦振動(dòng)Wtt-wxx=0，x∈(0，1)它是一個(gè)無(wú)限維調(diào)和振蕩，其中左端x=0處，滿足一個(gè)線性邊值條

7、件；右端x=1處，滿足非線性邊值條件.首先，我們把這個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一階雙曲系統(tǒng)，利用特征線法把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)特殊的離散系統(tǒng)un+1=Ho(un)。從而，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一維空間上的混沌問(wèn)題進(jìn)行研究.如果映射Ho在區(qū)間上混沌。我們就說(shuō)該波動(dòng)方程的邊值問(wèn)題混沌.另外，為了說(shuō)明所獲得結(jié)果，本章給出了一個(gè)例子，并給出了計(jì)算機(jī)仿真。 第三章主要研究Banach空間上的一類混沌離散系統(tǒng)的微擾問(wèn)題.首先我們討論一類混沌離散系統(tǒng)的微擾問(wèn)題.因?yàn)榛煦缦?/p>