一類動力系統(tǒng)的孤立奇點穩(wěn)定性分析及其應用.pdf

1、眾所周知，微分方程的建立與眾多的物理、化學、經濟、生態(tài)系統(tǒng)息息相關，而現(xiàn)代科學技術的發(fā)展在很大程度上也依賴于這方面的成就與進展，如眾多數(shù)理方程反映了物理學上的某一類普遍規(guī)律，作為有著廣泛應用背景的反應擴散方程也是如此。而考慮其穩(wěn)態(tài)意義下的情形便可轉化為常微分方程的問題。 穩(wěn)定性理論是微分方程的重要分支，是由研究運動問題而發(fā)展起來的。俄國偉大數(shù)學家李雅普諾夫首先給出了穩(wěn)定性的嚴格的數(shù)學定義，并建立了一系列豐富的理論，在常微分方程定

2、性理論及其穩(wěn)定性理論中，判定系統(tǒng)的奇點穩(wěn)定性占有一席之地，得到很多數(shù)學家們的關注。最著名的李雅普諾夫判定法或稱為直接法，其次是輔助函數(shù)法。用線性化系數(shù)矩陣的特征值，對奇點進行初等分類同樣給出了一種判定穩(wěn)定性的方法。這些方法簡潔有效，理論上較完備，可是應用上較困難。 論文在第一章中總結了定性分析中奇點的分類與穩(wěn)定性的判定，從平面自治系統(tǒng)的奇點分類到雙曲奇點的判定，中心焦點的判定都是經典結果。對臨界情形奇點的分類及高階奇點的情形給予

3、系統(tǒng)的總結。另外介紹了幾何判定法與射線投影判定奇點穩(wěn)定性的方法。 第二章中主要總結了部分李雅普諾夫輔助函數(shù)法判定奇點的穩(wěn)定性態(tài)的結果。介紹了幾種李雅普諾夫函數(shù)的構造方法，以及動能水平集方法，并利用孤立極值把奇點穩(wěn)定性與優(yōu)化極值聯(lián)系起來，討論了哈密頓型系統(tǒng)的奇點穩(wěn)定性的判定， 第三章是論文的創(chuàng)新部分，把一類反應擴散方程轉化為四維動力系統(tǒng)。對此系統(tǒng)孤立奇點的穩(wěn)定性進行了詳細的分析。給出了系統(tǒng)為哈密頓系統(tǒng)的充要條件，并給出非線

4、性系統(tǒng)奇點的穩(wěn)定性判定方法，解決了此類非線性系統(tǒng)的奇點穩(wěn)定性判定問題，并把此方法進一步的推廣到n維系統(tǒng)和其他類非線性系統(tǒng)。 第四章中分析了兩個奇點穩(wěn)定性的應用例子。G-L超導模型穩(wěn)定性分析中通過系統(tǒng)在常穩(wěn)態(tài)意義下的奇點定性分析以及發(fā)展型模型的奇點分析，很好地解釋了高溫超導材料會出現(xiàn)奇特現(xiàn)象。FHN模型的穩(wěn)定性分析中討論了魚神經系統(tǒng)的奇點穩(wěn)定性態(tài)，也很好的解釋了魚神經的一些混亂現(xiàn)象，這對人的神經系統(tǒng)的分析有一定的指導意義。