單李超代數(shù)的生成元與自同構群.pdf

1、李超代數(shù)是李理論中一個重要的、活躍的研究方向，與理論物理及數(shù)學多個分支有密切聯(lián)系。根據(jù)基域特征的不同，李超代數(shù)可分為特征零李超代數(shù)和特征p李超代數(shù)，后者亦稱為模李超代數(shù)。本文主要研究特征零李超代數(shù)和特征p李超代數(shù)的結構理論，一方面是確定單李超代數(shù)生成元的最小個數(shù)，另一方面是刻畫單李超代數(shù)的自同構群以及李超代數(shù)上Hom-算子。具體研究內容及結果如下：
　　首先，根據(jù)特征零代數(shù)閉域上有限維單李超代數(shù)的分類定理，利用單李超代數(shù)的權空間分

2、解以及Cartan型李超代數(shù)的局部的結構性質，證明了特征零代數(shù)閉域上任意一個有限維單李超代數(shù)均可由一個元素生成，并給出生成元的實現(xiàn)方式。由于一個代數(shù)系統(tǒng)的結構完全由這個系統(tǒng)的生成元所決定，這個結果可以用來進一步研究單李超代數(shù)的結構與表示，也可以用來研究有限維非單李超代數(shù)的可解根。
　　其次，根據(jù)已知研究結果，有限維特征p單李超代數(shù)包含八類Cartan型單李超代數(shù)。利用這些李超代數(shù)可由最高Z-齊次分支與?1-齊次分支生成，本文證明了

3、這八類Cartan型李超代數(shù)可由一個或兩個元素生成；利用這些李超代數(shù)的單性以及Cartan李超代數(shù)的標準濾過在自同構群下的不變性，證明了這八類Cartan型李超代數(shù)只有平凡的保積Hom-結構；借鑒Wilson研究模李代數(shù)自同構群的方法，對八類單李超代數(shù)中的奇Hamilton超代數(shù)及其擴張，刻畫了它們的自同構群，建立了這類李超代數(shù)的自同構群與一類結合超代數(shù)的自同構群的同構映射。由于特征p域上有限維單李超代數(shù)的分類尚未完成，這些結果可以用于

4、特征p域上有限維單李超代數(shù)的結構、表示的進一步研究，特別是分類問題的研究。
　　最后，根據(jù)Kac的分類定理，復數(shù)域上無限維單的線性緊致李超代數(shù)分為十類基本型李超代數(shù)與五個例外型李超代數(shù)。利用這些單李超代數(shù)的權空間分解及它們作為Z-階化李超代數(shù)的雙可遷性，本文證明了與基本型李超代數(shù)相伴的八類復數(shù)域上Z-階化向量場單李超代數(shù)可由一個元素生成，與例外型李超代數(shù)相伴的五個復數(shù)域上向量場的Z-階化單李超代數(shù)可由兩個元素生成。所獲結果可用于進