含Delta勢薛定諤方程的數(shù)值方法研究.pdf

1、薛定諤方程是量子物理中的基本方程，它不僅在物理領域有很多應用，而且在數(shù)學領域也備受關注。帶分布勢如δ(x)、δ'(x）及其線性組合的薛定諤方程，是描述玻色或費米氣體的一類重要模型，也可以用來模擬半導體異質結構或奇異外勢作用下超冷稀薄原子氣體的凝聚問題，等等。本文主要研究含這類分布勢的定態(tài)和動力學薛定諤方程的數(shù)值方法，主要成果如下:
　　第一部分集中在含分布勢定態(tài)薛定諤方程束縛態(tài)問題的界面方法研究。首先，考慮含單δ(x）或對稱雙δ(

2、x)勢阱的薛定諤方程，利用顯式跳躍浸入界面方法和Peskin浸入邊界方法對方程進行離散，得到了相應的廣義和標準代數(shù)特征值問題，并證明了前者可以轉化為標準代數(shù)特征值問題。進而，利用帶位移的反冪法和QR方法，對原方程束縛態(tài)問題進行了多方面的數(shù)值研究。其次，對于含-aδ(x)+bδ'(x)勢且在原點帶質量跳躍的薛定諤方程，分別考察了其浸入界面方法和顯式跳躍浸入界面方法離散，得到了相應的廣義和標準代數(shù)特征值問題，并針對這些離散問題的適定性與求解

3、等方面給出了相關的理論分析。由顯式跳躍浸入界面方法離散得到的標準特征值問題，可以用標準方法進行求解。然而，由浸入界面方法得到的是一個“隱式”代數(shù)特征值問題，設計了相容的不動點迭代與帶位移的反冪法相結合的算法，實現(xiàn)了相關束縛態(tài)能級與波函數(shù)的數(shù)值計算。理論和數(shù)值研究表明，對于這兩類薛定諤方程束縛態(tài)特征值問題，Peskin的浸入邊界方法、顯式跳躍浸入界面方法和浸入界面方法都是有效的、穩(wěn)定的以及收斂的，且對于能級的計算精度可以達到方法的精度。<

4、br>　　第二部分針對凝聚態(tài)物理中一個重要模型即含δ(x)勢場的動力學非線性薛定諤方程，研究其多辛幾何結構以及相關的多辛幾何算法。由于Delta外勢的出現(xiàn)，此方程不能像無外勢那樣寫成多辛哈密爾頓系統(tǒng)。通過一些泛函設定，我們提出了此模型的“弱”多辛哈密爾頓形式描述，并從理論上研究了相關“弱”意義下的一些局部和整體守恒律。我們指出，由于空間平移不變性被打破，此系統(tǒng)的動量不再守恒。進而，我們構造了新的Runge-Kutta和Runge-Kut

5、ta-Nystr(o)m方法，討論了它們的離散多辛性，并證明了這些多辛幾何算法嚴格保持原系統(tǒng)的歸一化守恒律。為了數(shù)值比較，還利用界面方法構造了非多辛離散格式的數(shù)值算例。這些數(shù)值研究表明，多辛幾何算法的優(yōu)勢在于對歸一化守恒律的精確保持，并且界面點是否落在等分節(jié)點上對計算結果影響不大。對于能量守恒律，多辛Runge-Kutta-Nystr(o)m算法的保持精度遠高于非多辛算法。不管是多辛算法還是非多辛算法，可以將能量、宇稱等諸多守恒性質在一