基于譜分析理論與Moore-Penrose廣義逆的正則化.pdf

1、反問(wèn)題是現(xiàn)在數(shù)學(xué)物理研究中的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題,但是數(shù)學(xué)物理反問(wèn)題的求解面臨的一個(gè)本質(zhì)性的困難是不適定性,主要是近似解的不穩(wěn)定性,即方程的解(如果存在)不連續(xù)依賴(lài)于右端的數(shù)據(jù),當(dāng)右端的數(shù)據(jù)有誤差時(shí),其解與真解之間會(huì)產(chǎn)生很大的誤差.求解不適定問(wèn)題的普遍方法是正則化方法,如何建立有效的正則化方法及算法是反問(wèn)題領(lǐng)域中不適定問(wèn)題研究的重要內(nèi)容.本文從一些實(shí)例出發(fā),介紹了反問(wèn)題和不適定問(wèn)題的基本概念,并討論了方程的Moore-Penrose廣義解和Mo

2、ore-Penrose廣義逆,得出了線(xiàn)性緊算子方程的不適定性,即Moore-Penrose廣義解的不穩(wěn)定性的結(jié)論.為了得到線(xiàn)性緊算子方程穩(wěn)定的近似解,介紹了不適定問(wèn)題正則化的一般理論,以自伴緊算子的譜分析與緊算子奇異值分解為理論基礎(chǔ),利用奇異系給出了解的表達(dá)式,說(shuō)明了緊算子方程不適定性的根源在于緊算子的奇異值趨于零的性質(zhì),由此通過(guò)引入正則化濾子函數(shù)來(lái)減弱或?yàn)V掉奇異值趨于零的性質(zhì)對(duì)解的穩(wěn)定性的影響,構(gòu)造正則算子,從而提供了建立正則化方法的

3、理論依據(jù).文中以此為依據(jù)給出了一個(gè)正則化濾子函數(shù),從而建立一種新的正則化方法,并討論了正則解的誤差估計(jì)及正則參數(shù)的選取問(wèn)題,證明了這種方法使正則解的誤差具有漸進(jìn)最優(yōu)階.文中還介紹了兩種重要的正則化濾子函數(shù),并討論了其對(duì)應(yīng)的Tikhonov正則化和Landweber迭代法,這兩種方法避免了奇異系的計(jì)算,在各類(lèi)反方問(wèn)題的研究中被廣泛地采用.考慮到反問(wèn)題的數(shù)值計(jì)算需要將問(wèn)題離散化,化為有限維的問(wèn)題來(lái)進(jìn)行處理,而對(duì)于有限維算子的奇異系的計(jì)算已經(jīng)