分?jǐn)?shù)階反應(yīng)—擴(kuò)散方程的數(shù)值近似.pdf

1、近些年來(lái)，人們漸漸發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)在許多科學(xué)領(lǐng)域中發(fā)揮了越來(lái)越重要的作用，特別在工程，物理，金融，水文等領(lǐng)域。分?jǐn)?shù)階的微分方程證明對(duì)于模擬許多物理現(xiàn)象是一個(gè)很有用的數(shù)學(xué)工具。與整數(shù)階模型相比，分?jǐn)?shù)階模型的顯著優(yōu)點(diǎn)在于它有著堅(jiān)實(shí)的實(shí)用背景和物理解釋。其中分?jǐn)?shù)階反應(yīng)-擴(kuò)散方程近年來(lái)在許多領(lǐng)域受到越來(lái)越多的關(guān)注，但是有關(guān)空間時(shí)闖分?jǐn)?shù)階反應(yīng)-擴(kuò)散方程的數(shù)值方法及穩(wěn)定性和收斂性的分析還十分有限。特別當(dāng)反應(yīng)項(xiàng)是非線性的時(shí)候還很難來(lái)處理。 本文

2、從三個(gè)方面來(lái)討論分?jǐn)?shù)階反應(yīng)-擴(kuò)散方程的數(shù)值近似，分別是時(shí)間分?jǐn)?shù)階反應(yīng)-擴(kuò)散方程的隱式有限差分格式，空間時(shí)間分?jǐn)?shù)階反應(yīng)-擴(kuò)散方程的顯式差分近似和隱式差分近似，以及用Adomian分解方法求解線性和非線性空間時(shí)間分?jǐn)?shù)階反應(yīng)-擴(kuò)散方程。首先考慮時(shí)間分?jǐn)?shù)階反應(yīng)一擴(kuò)散方程(時(shí)間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)a(0

3、點(diǎn)給出了穩(wěn)定性和收斂性的詳細(xì)誤差分析.接著考慮空間時(shí)間分?jǐn)?shù)階反應(yīng)-擴(kuò)散方程(時(shí)間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)α(0<α≤1)是Caputo定義的，空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)β(1<β≤2)是Riemman-Liouville定義的)，對(duì)此方程用有效的差分形式來(lái)逼近時(shí)間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，用移動(dòng)的Grunwald公式來(lái)逼近空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，并提出了計(jì)算有效的顯式差分近似和隱式差分近似，然后應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法和分?jǐn)?shù)階離散系數(shù)的特點(diǎn)分別給出了兩種近似的穩(wěn)定性和收斂性的詳細(xì)誤差分析。最后

4、考慮線性和非線性空間時(shí)間分?jǐn)?shù)階反應(yīng)一擴(kuò)散方程(時(shí)間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)α(0<α≤1)和空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)β(1<β≤2)都是Caputo定義的)。Adomian分解方法能夠很好的處理非線性反應(yīng)項(xiàng)，并且對(duì)于方程不用離散就能提供高精度的近似解，而且增加分解序列新的項(xiàng)就能使總體誤差變的很小，所以通過(guò)Adormian分解方法可以很有效的得到線性和非線性空間時(shí)間分?jǐn)?shù)階反應(yīng)-擴(kuò)散方程的近似解。在每一部分都給出了數(shù)值例子來(lái)證實(shí)所提出的數(shù)值方法的有效性。從本文的討