一類反射倒向隨機(jī)微分方程解的性質(zhì)及相應(yīng)的偏微分方程.pdf

1、線性的倒向隨機(jī)微分方程是由Bismut在1973年研究隨機(jī)最優(yōu)控制的最大值原理時(shí)首次引入的。1990年，Pardoux和Peng首先證明了系數(shù)滿足Lipschitz條件的非線性倒向隨機(jī)微分方程解的存在唯—性.1992年，著名經(jīng)濟(jì)學(xué)家Duffle和Epstein也獨(dú)立的地引入了一類特殊類型的倒向隨機(jī)微分方程用以刻畫(huà)金融中的遞歸效用函數(shù).隨后，學(xué)者們進(jìn)一步的研究了不同條件下這類方程的可解性及相關(guān)性質(zhì)，并廣泛應(yīng)用于數(shù)理金融、隨機(jī)控制和經(jīng)濟(jì)管理

2、等領(lǐng)域，使倒向隨機(jī)微分方程理論得到了進(jìn)一步的完善和發(fā)展. 1997年，E1Karoui，Kapoudjian，Pardoux，Peng和Quenez首先提出了反射倒向隨機(jī)微分方程的定義.在原方程的基礎(chǔ)上增加一個(gè)增過(guò)程Kt，產(chǎn)生一個(gè)向上的“推力”使得方程的解恰好能保持在一給定過(guò)程(稱為邊界或障礙)的上方，且“推力”最小. 文章在Lipschitz條件下證明了解的存在唯一性結(jié)果并指出，在Markov情形下，該類方程的解可以表

3、示為一類拋物型偏微分方程唯一的粘性解.1997年Matoussi在系數(shù)是線性增長(zhǎng)的情形下證明了反射倒向隨機(jī)微分方程最大(最小)解的存在性.隨后，Kobylanski，Lepeltier，Quenez和torres等人指出，在系數(shù)滿足關(guān)于z二次增長(zhǎng)條件下該類方程的解存在，但是在其文章中終端條件必須是有界的. 倒向隨機(jī)微分方程在金融中有廣泛的應(yīng)用.我們看到，備市場(chǎng)模型下未定權(quán)益在某一時(shí)刻T的期望收益可以用一個(gè)動(dòng)態(tài)投資組合來(lái)復(fù)制，其定

4、價(jià)過(guò)程恰好可以由一個(gè)倒向隨機(jī)微分方程的解Y來(lái)描述，對(duì)應(yīng)的另一個(gè)過(guò)程Z則是相應(yīng)的對(duì)沖投資組合.在實(shí)際應(yīng)用中，某些情形下需要對(duì)財(cái)富過(guò)程進(jìn)行必要的限制，這時(shí)就可以用帶反射的倒向隨機(jī)微分方程來(lái)描述，使方程的解位于給定的范圍內(nèi).金融市場(chǎng)中許多重要的衍生產(chǎn)品均可以通過(guò)隨機(jī)微分方程給出理論價(jià)格.倒向隨機(jī)微分方程的另—個(gè)重要應(yīng)用是給出了一類偏微分方程的概率解釋.1991年，Peng利用倒向隨機(jī)微分方程對(duì)一類二階擬線性拋物型偏微分方程做出了概率解釋，將著

5、名的Feynman-Kac公式推廣到非線性的情形，為偏微分方程的發(fā)展和應(yīng)用提供了更廣闊的空間. 本文主要研究了在終端條件無(wú)界且系數(shù)關(guān)于z二次增長(zhǎng)條件下該類方程解的性質(zhì)以及與偏微分方程的關(guān)系，同時(shí)還考察了一類與正向隨機(jī)微分方程完全耦合的反射倒向隨機(jī)微分方程解的存在性.以下是本文的結(jié)構(gòu)和主要結(jié)論. 第一章：簡(jiǎn)要介紹本文中所討論問(wèn)題的背景及總體思路. 第二章：研究終端條件無(wú)界且系數(shù)關(guān)于z二次增長(zhǎng)條件下反射倒向隨機(jī)微分方

6、程解的性質(zhì).我們首先給出了解的存在性，進(jìn)一步的，在f關(guān)于z是凸函數(shù)的假定下，采用與Briand和Hu[12]文中類似的方法，通過(guò)引入?yún)?shù)θ∈(0，1)進(jìn)而考察Yt-θY1t得到了方程解的存在唯一性結(jié)果. 定理2.1.2.(存在性)如果假設(shè)條件2.1.1-2.1.3成立，則以(ζ，f，L)為參數(shù)的反射倒向隨機(jī)微分方程至少存在一個(gè)解，即:至少存在一個(gè)三元組(Y,Z，K)且Y∈S2(0，T)，K∈A2(0，T)，進(jìn)一步的，如果飯?jiān)O(shè)條件

7、2.1.4也成立，則Z∈H2d(0，T). 定理2.1.3.(唯一性)如果假設(shè)條件2.1.1-2.1.5成立，則上述反射倒向隨機(jī)微分方程存在唯一的解(Y,Z,K). 在解的存在唯一性基礎(chǔ)上，本章繼續(xù)探討了解的穩(wěn)定性，得到如下結(jié)果： 第三章：研究了由反射倒向隨機(jī)微分方程的解所定義的函數(shù)與拋物型偏微分方程的障礙問(wèn)題之間的關(guān)系.運(yùn)用反證法思想，我們首先得到了偏微分方程粘性解的存在性結(jié)果： 定理3.2.1.(存在

8、性)定義u(t，x)=Yt,xt,則它是如下PDE的粘性解: 在Kobylanski[41]的框架和假設(shè)下，進(jìn)一步證明了粘性解也是唯一的. 定理3.3.1.(比較定理)設(shè)假設(shè)條件3.3.1成立，則比較定理對(duì)上述PDE成立.也就是說(shuō)，設(shè)u是PDE的一個(gè)連續(xù)有界的粘性下解而v是一個(gè)連續(xù)有界的粘性上解。 定理3.3.4(唯一性)設(shè)條件3.1.1-3.1.5和3.3.1成立，則上述PDE在連續(xù)有界函數(shù)類中至多存在一個(gè)粘性

9、解. 第四章：考慮如下完全耦合的帶反射的正倒向隨機(jī)微分方程系統(tǒng)這里的一個(gè)突出特征是正向方程系數(shù)中含有反射倒向方程的解變量Y.構(gòu)造迭代序列，通過(guò)證明序列的收斂性可以得到：則上述反射正倒向系統(tǒng)至少存在一組解(X，Y,Z，K)∈S2()S2()H2()S2ci。 第五章：考察一類國(guó)際實(shí)業(yè)投資和消費(fèi)選擇問(wèn)題.假定投資者可以將其財(cái)富投資于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券(儲(chǔ)蓄賬戶)以獲得固定的收益；另一方面，也可以投資于一個(gè)國(guó)際實(shí)業(yè)項(xiàng)目以追求有風(fēng)險(xiǎn)的高

10、收益；同時(shí)，投資者可以以高于存款利率的水平值獲得貸款用于實(shí)業(yè)項(xiàng)目.設(shè)W(t)為t時(shí)刻投資者的財(cái)富總值，π(t)為投資于海外項(xiàng)目的財(cái)富值，則投資者的財(cái)富總值滿足如下方程: 其中l(wèi)，h是嚴(yán)格增加的凹函數(shù)，且關(guān)于C,W可微。我們希望使得期望效用達(dá)到最大化.可以證明，在這一模型假定下，經(jīng)典的動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理也是成立的. 結(jié)合經(jīng)典的H-J-B方程，我們得到了投資者的最優(yōu)投資策略并給出經(jīng)濟(jì)解釋.在一類特殊的期望效用函數(shù)-HARA模型下，