一類非奇異線性方程組的快速解法.pdf

1、隨著電子計算機的出現(xiàn)和迅速發(fā)展，在各門自然科學和工程技術科學的發(fā)展中，科學計算已經(jīng)成為平行于理論分析和科學實驗的第三種科學手段。數(shù)值計算是科學計算中的一個不可缺少的環(huán)節(jié)，而在數(shù)值計算中，一類很重要的問題就是線性方程組的求解。另外，數(shù)學和物理以及力學等學科和工程技術中許多問題的最終解決都歸結為解一個或一些大型系數(shù)矩陣的線性方程組。所以，大型線性方程組的求解是大規(guī)模科學與計算的核心，許多作者都對此作了研究(見[1]-[11])。 大

2、型線性方程組Ax=b的求解，主要有直接求解法和迭代法求解。對于階數(shù)不太高的線性方程組，用直接法比較方便，高斯消元法和克蘭姆法則是直接解法里面最重要的解法。但是，隨著科學技術的飛速發(fā)展，需要求解的問題的規(guī)模越來越大，迭代法已取代直接法成為求解大型線性組的最重要的一類方法。此時，迭代格式的收斂性和收斂速度成為一個很重要的問題，成為人們關注的焦點(見[12]-[17])。不收斂的格式當然不能用，雖然收斂但是收斂的很慢的格式，不僅是人工和機器的

3、時間比較浪費，而且還不一定能解出結果，實際應用價值太小。 通常用的迭代法有Jacobi,Gauss—Seidel等古典迭代法，還有SOR,AOR以及SAOR,SSOR等迭代法。這些迭代法的提出對大型線性方程組的求解提供了一條快速有效的途徑。但是這些迭代法相對來說使用條件很苛刻，或者很繁瑣。此外當?shù)仃嚨淖V半徑比較大，尤其接近1時，迭代速度將會很慢，極大的影響了方程組求解的時效性，從而使它們的應用受到了一定的限制。故本文在前人的

4、基礎上，通過大量的查閱文獻和思考，尋找一類線性方程組的快速解法。 在本文中約定A=D—C，J=D<'-1>C，A=(aij)∈R<'n×n>為對角線不為零的非奇異矩陣，x，b∈R<'n>分別為待求的和已知的列向量。正文內(nèi)容部分從第一章到第四章，詳細內(nèi)容說明如下： 第一章，概述了線性方程組求解主要方法，同時介紹了近年來一些迭代法的發(fā)展概況。 第二章，主要討論當線性方程組的系數(shù)矩陣為非奇異M陣時，利用交替方向法，使得

5、它的迭代矩陣的譜半徑可以任意??；同時利用矩陣級數(shù)理論簡化了常數(shù)向量，找出了一條快速有效的解決系數(shù)矩陣為非奇異M陣的迭代方法。 第三章，主要討論了當線性方程組為一般的非奇異線性方程組時，如果它滿足所給的條件，把系數(shù)矩陣的逆通過級數(shù)的形式表示，從而找到了一條快速解決一類線性方程組的直接接法，即它的解可以表示為x=A<'-1>b=D<'-1>b，或者x=A<'-1>b=1/sb，從而大大提高了計算速度。 第四章，應用舉例。本章