關于樹的廣義Randic指標極值問題.pdf

1、化學分子圖的拓撲指標理論是組合化學的一個重要研究分支。計算化學家通過大量的數據，用統(tǒng)計方法給出了分子的各種物理化學性質與它的指標值之間的數量關系。1975年，著名化學家Randic在研究分子結構時引入了(分子)圖的一個重要的拓撲指標，即Randic指標(也稱為連通性指標)。這一重要的拓撲指標與分子的物理化學性質(如分子的沸點、表面積等)有著極為密切的關系，因而得到了化學家的特別重視。
　　 對于Randic指標的研究一開始只是在

2、化學界很盛行，而不為數學家所重視。對于Randic指標數學性質的研究主要開始于Fajtlowicz利用“Graffiti”這一計算機程序得到了關于Randic指標值和圖的不變量之間關系的許多猜想。但對于那些很難被證明或推翻的猜想，似乎大多數數學家并沒有注意到其中所蘊含的困難與樂趣。
　　 1998年，Bollobas和Erdos提出了廣義Randic指標Rα(G)=∑uv∈E(G)(d(u)d(v))α，其中α為任意實數，d(u

3、)為圖G中頂點u的度數。這個關于Randic指標的推廣可以視為研究Randic指標數學性質的一個重要轉折點，它使Randic指標真正為數學家所熟悉。越來越多的研究者開始深入探討各種圖類的(廣義)Randic指標值，而不再僅局限于對化學圖的研究。
　　 近年來，對于廣義Randic指標的研究主要集中在以下問題：對于某些給定的圖類和α值，如何求出最大或者最小的廣義Randic指標值?如何刻畫這些極值所對應的極圖?
　　 本文

4、主要研究某些特定樹的廣義Randic指標的極值以及對應的極圖刻畫問題。論文分為兩部分，第一部分主要研究化學樹的最小廣義Randic指標值問題，第二部分主要研究一般樹的最大或者最小廣義Randic指標值問題。
　　 第一部分是第二章。我們主要運用歸納法和線性規(guī)劃的方法來研究給定頂點數和懸掛點數的化學樹的最小廣義Randic指標值。當α≤-1時，我們得到最小廣義Randic指標值的一個下界并舉例說明這一下界是最好的。對于其它情況，我

5、們給出最小廣義Randic指標值并且完全刻畫出達到這些極值的所有極圖。
　　 本文的第二部分由第三章和第四章組成。在第三章中，我們考慮給定頂點數和直徑大小的樹。對于0<α<1，我們得到這一圖類的最大廣義Randic指標值并且給出達到極值的所有極圖。類似地，我們得到當-1≤α<0時的最小廣義Randic指標值以及對應的極圖。這表明Aouchiche，Hansen和Zheng提出的一個關于給定頂點數和直徑大小的連通圖的猜想對于樹是成