數(shù)學專業(yè)畢業(yè)論文---函數(shù)極值問題的探討

1、<p><b>　　淺談函數(shù)的極值問題</b></p><p><b>　　專業(yè)名稱：數(shù)學分析</b></p><p><b>　　班 級： </b></p><p><b>　　學生姓名： </b></p><p><b>　　

2、指導教師： </b></p><p><b>　　完成時間： </b></p><p><b>　　摘 要</b></p><p>　　在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、經(jīng)濟管理和經(jīng)濟核算中，常常要解決在一定條件下怎么使投入最小，產(chǎn)出最多，效益最高等問題。在生活中也經(jīng)常會遇到求利潤最大化、用料最省、效率最高等問題。因此解決這些問

3、題具有現(xiàn)實意義。這些經(jīng)濟和生活問題通常都可以轉化為數(shù)學中的函數(shù)問題來探討，進而轉化為求函數(shù)中最大（?。┲档膯栴}。而極值的概念來自數(shù)學中的最大（小）問題。故函數(shù)極值問題的探討也具有了其重要意義。</p><p>　　本文在給出一元函數(shù)極值的定義的同時,探討了一元函數(shù)極值和最值的求解方法。并在此基礎上給出了多元函數(shù)極值存在的充分條件與必要條件, 并對結果進行了簡要的證明。將一元函數(shù)判別方法推廣到多元函數(shù)極值的判別,提

4、出了判定多元函數(shù)極值的幾個方法。得到關于多元函數(shù)極值的判定法則。探討了多元函數(shù)極值和條件極值的一般判別方法和求法,研究了適用于所有情況的降維求解法和拉格朗日乘數(shù)法,而降維求極法比拉格朗日乘數(shù)法更加直觀、計算更加簡便,并且同時解決了條件極值的判定問題。</p><p>　　關鍵詞 極值;多元函數(shù);正定負定判別法;條件極值;</p><p><b>　　ABSTRACT</b

5、></p><p>　　In industrial and agricultural production, management of the economy and the economic accounting , we often solve the problems such as how to make input smallest , output most efficient in give

6、n conditions. In the life we often encounter how to achieve maximum profit, use the minimum materials and get maximum efficiency, to deal with the similar problems that have its realistic significance. Above problems can

7、 be transformed with function and its function of maximum and minimum value. The concep</p><p>　　This article gives concept of extreme value for the monadic functions, meanwhile obtain the methods of solutio

8、n of extreme values for the monadic functions. Based on the extreme value of monadic functions, this paper has given the sufficient and necessary condition for the existence of extremum of multivariate function, the corr

9、esponding results are proved. Some methods of deciding the extreme values for the monadic functions were applied to decide the extreme values for the multivariate functio</p><p>　　Keywords extreme values；mu

10、ltivariate function；deciding positive definition or negative definition；constrained extreme values；</p><p>　　一、概述極值問題………………………………………………………1</p><p>　　（一）極值的定義………………………………………………………1</p><

11、;p>　?。ǘ┮辉瘮?shù)極值與多元函數(shù)極值的關系…………………………2</p><p>　　二、一元函數(shù)極值問題的求解…………………………………………3</p><p>　?。ㄒ唬┮辉瘮?shù)極值的充分必要條件…………………………………</p><p>　?。ǘ┮辉瘮?shù)極值和最值問題………………………………………</p><p>　　1．

12、一元函數(shù)極值的求法……………………………………………</p><p>　　2．一元函數(shù)最值的求法……………………………………………</p><p>　　三、二元函數(shù)極值問題的求解…………………………………………3</p><p>　?。ㄒ唬┒瘮?shù)極值的充分必要條件…………………………………</p><p>　　（二）二元函數(shù)極值和最值問題…

13、……………………………………</p><p>　　1．二元函數(shù)極值的求法……………………………………………</p><p>　　2．二元函數(shù)最值的求法……………………………………………</p><p>　　四、多元函數(shù)極值問題的求解…………………………………………4</p><p>　?。ㄒ唬┒嘣瘮?shù)極值的充分必要條件………………………………

14、…</p><p>　?。ǘ┒嘣瘮?shù)極值和最值問題………………………………………</p><p>　　1、多元函數(shù)極值的求法……………………………………………</p><p>　　2、多元函數(shù)最值的求法……………………………………………</p><p>　　五、極值在實際問題中的應用………………………………………12</p>

15、<p>　　參考文獻…………………………………………………………………</p><p><b>　　淺談函數(shù)的極值問題</b></p><p>　　函數(shù)極值問題是一個非常普通的數(shù)學問題，是經(jīng)典微積分學最成功的應用，不僅在實際問題中占有重要地位，而且也是函數(shù)性態(tài)的一個重要特征。本文研究了一元、二元、多元函數(shù)（）的極值和等約束條件下多元函數(shù)極值，得出了判定多元函

16、數(shù)極值和等約束條件下多元函數(shù)極值的一系列充分和必要條件。</p><p><b>　　一、簡述極值問題</b></p><p><b>　　（一）極值的定義</b></p><p>　　極值的概念來自數(shù)學應用中的最值問題。定義在一個有界閉區(qū)域上的每一個連續(xù)函數(shù)都必定達到它的最大值和最小值，問題在于要確定它在哪些點處達到最大

17、值或最小值。如果不是邊界點就一定是內(nèi)點，因而是極值點。</p><p>　　一元極值的定義比較簡單，其定義如下： </p><p>　　定義1　 設函數(shù)在的某個鄰域有定義，如果對該鄰域的所有點，都有，則是函數(shù)的一個極大值。如果該鄰域的所有的點，都有，則是函數(shù)的一個極小值。極大值和極小值統(tǒng)稱為極值。</p><p>　　其實極值概念是分為極值和弱極值兩種，以二元極值為

18、例其定義如下:</p><p>　　定義2 設函數(shù) 在點 的某個鄰域內(nèi)有定義, 對于該鄰域內(nèi)任一異于 的點 ,</p><p>　　( 1) 如果 , 則稱函數(shù)在點 處有極大值 ;</p><p>　　( 2) 如果,則稱函數(shù)在點 處有極小值 ;</p><p>　　定義3 設函數(shù) 在點的某個鄰域內(nèi)有定義, 對于該點鄰域內(nèi)任一個異于點 的

19、點</p><p>　　( 1) 如果, 則稱 在點 處有極大值 </p><p>　　( 2) 如果 , 則稱 在點 處有極小值 </p><p>　　定義3將定義2中的不等式) (或換為不等式 ( 或 , 則稱函數(shù)在點處有弱極大值( 或弱極小值)。定義2 和定義3 的區(qū)別就在“” 和“”但在實際問題中這種區(qū)別是十分明顯的。</p><p>

20、;　　在前文中一元和二元函數(shù)極值的定義都已給出，下面是多元函數(shù)極值（）的定義。</p><p>　　定義4 若多元函數(shù)于點 的鄰域內(nèi)有定義, 并且當 時, (或), 則說函數(shù) 在處取極大值 (或極小值) ,點 稱為函數(shù)的極值點。</p><p>　　（二） 一元極值與多元極值的關系</p><p>　　在此我們來簡單探討一元函數(shù)與多元函數(shù)的關系，以一元函數(shù)與

21、二元函數(shù)之間的關系為例：</p><p>　　一元極值與二元極值的關系：如果二元函數(shù) 在點處取得極值則一元函數(shù)及在也取得極值。但若一元函數(shù)及均在取得極值，則二元函數(shù) 在點處不一定取得極值。</p><p>　　故同理可得一元極值與多元極值的關系：如果多元函數(shù)在某點處取得極值，則一元函數(shù)也在該點取得極值。但若一元函數(shù)在某點處取得極值，則多元函數(shù)不一定在該點取得極值。</p>&

22、lt;p>　　二、一元函數(shù)極值問題的求解</p><p>　　（一）一元函數(shù)極值的充分必要條件</p><p>　　定理l (第一充分條件)：設函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)連續(xù)且可導(導數(shù)也可不存在),</p><p>　　(1)如果 ，則是的極大值點；</p><p>　　(2)如果 ，則是的極小值點；</p><p&

23、gt;　　(3)如果在點的鄰域內(nèi)，不變號，則不是的極值點。</p><p>　　如果函數(shù)在某駐點具有二階導數(shù)。也可用極值的第二充分條件判斷。</p><p>　　定理2 (第二充分條件)：設函數(shù)在二階可導，，則為的極大值，反之，則為的極小值。</p><p>　　定理3 （必要條件） 設函數(shù)在區(qū)間有定義，若是的極值點，且在可導，則.</p><

24、;p>　?。ǘ┮辉瘮?shù)極值和最值問題</p><p>　　1．一元函數(shù)求極值方法</p><p>　　求一元函數(shù)極值的步驟如下：</p><p>　　（1）函數(shù)的定義域；</p><p>　　（2）并求，并在定義域內(nèi)求的點（駐點）和不存在的點；</p><p>　?。?）對于駐點可利用定理l或定理2判定，對于導

25、數(shù)不存在的點利用定理1確定函數(shù)的極值點；</p><p>　?。?）求出各極值點的函數(shù)值，得到函數(shù)的極值。</p><p>　　2．一元函數(shù)最值的方法</p><p>　　求函數(shù)在上的最大值和最小值應注意以下幾點：</p><p>　?。?）若在上單調(diào)增（減）的，則是其最?。ù螅┲?，是其最大（?。┲?。</p><p>

26、　　（2）若在內(nèi)只有一極值點（唯一駐點）且此極值是極大（?。┲担瑒t它也是在上的最大（?。┲?，常稱這些函數(shù)為單峰（單谷）函數(shù)。</p><p>　　（3）若函數(shù)在開區(qū)間、半開區(qū)間或無窮區(qū)間內(nèi)連續(xù)，求函數(shù)的最值時，需求出區(qū)間內(nèi)函數(shù)的全部極值和區(qū)間端點處的單側極限，如果單側極限最大（?。┲?，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)無最大（?。┲?，因而在開區(qū)間或無窮區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)不一定有最值。</p><p>　?。?

27、）除以上三種特別情況外，一般按下述步驟求在上的最值。</p><p>　?、偾蟪霾⒃趦?nèi)求出其駐點和不可導點（不必判斷這些駐點和不可導點是否為極值點，但函數(shù)在這些點必有定義）。</p><p>　　②計算在這些點的值，且求出、。</p><p>　?、郾容^步驟②中所得的函數(shù)值，其中最大（?。┲稻褪窃谏系淖畲螅ㄐ。┲?。</p><p>　　三、二

28、元函數(shù)極值問題的求解</p><p>　　（一）二元函數(shù)極值的充分必要條件</p><p>　　定理1 （充分條件）設函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導數(shù), 又令,令, ,, 則在處是否取得極值的條件如下: </p><p>　?。?）時具有極值, 且當時有極大值, 當時有極小值;</p><p><b>　?。?）時沒有

29、極值;</b></p><p>　　（3）時可能有極值, 也可能沒有極值, 還需另作討論。</p><p>　　定理2 （必要條件）設函數(shù)在點具有偏導數(shù)且取得極值, 則它在該點的偏導數(shù)必為零, 即，。</p><p>　?。ǘ┒瘮?shù)的極值和最值問題</p><p>　　1．二元函數(shù)求極值方法</p><p

30、>　　1.1無條件極值的求解</p><p>　　（1）利用函數(shù)極值的定義求極值</p><p>　?。?）利用函數(shù)極值存在的充分必要條件求極值，則求的極值的一般步驟為:</p><p>　　①解方程組，，求得一切實數(shù)解，即可求得一切駐點；</p><p>　?、趯τ诿恳粋€駐點，求出二階偏導數(shù)的值；</p><p&g

31、t;　　③確定的符號，按定理2的結論判定是否是極值，是極大值還是極小值；</p><p>　　④考察函數(shù)是否有導數(shù)不存在的點，若有用定義加以判別是否為極值點。</p><p>　　1.2條件極值的求解</p><p>　　在約束條件下，函數(shù)的極值稱為條件極值</p><p>　?。?）直接將條件代入轉化為無條件極值</p>&l

32、t;p>　　由解出代入便化為無條件極值。</p><p>　　（2）乘數(shù)法求極值,</p><p>　　設，有連續(xù)的偏導數(shù)，且，不同時為零。</p><p>　?、?根據(jù)條件和目標函數(shù)，作出輔助函數(shù)其中，為待定常數(shù)。 </p><p><b>　?、诮夥匠探M</b></p><p>　　消去

33、，解出一切實數(shù)解,所得的點就是在 的條件下的可能極值點。</p><p>　?、?根據(jù)問題的性質去判別這種點是否為條件極值點。</p><p>　　2．求二元函數(shù)最值的方法</p><p>　　在有界閉域上的二元連續(xù)函數(shù)的最大值和最小值只能在區(qū)域內(nèi)的可能極值點（，處及，不存在的點）和邊界上達到，其中函數(shù)最大的為最大值，函數(shù)最小的為最小值。</p>&

34、lt;p>　　求函數(shù)的最大值和最小值的一般步驟為:</p><p>　?。?）根據(jù)題意列出函數(shù)及條件函數(shù)的解析式。</p><p>　?。?）求函數(shù)在內(nèi)所有駐點。</p><p>　?。?）在通常遇到的實際問題中，如果根據(jù)問題的性質，可以判斷出函數(shù)的最大值（最小值）一定在的內(nèi)部取得，而函數(shù)在內(nèi)只有一個駐點，則可以肯定該駐點處的函數(shù)值就是函數(shù)在上的最大值（最小值

35、）。</p><p>　?。?）將前三步得到的所有函數(shù)值進行比較，其中最大者即為最大值, 最小者即為最小值。</p><p>　　四、多元函數(shù)極值問題的求解</p><p><b>　　1、預備知識 </b></p><p>　　定義1 設n元函數(shù)在點具有偏導數(shù)，則稱向量[]為函數(shù)在點的梯度，記作,即 []</p

36、><p>　　設n元函數(shù)在點具有偏導數(shù)，則稱矩陣</p><p>　　為函數(shù)在點的Hesinn矩陣，若二階偏導數(shù)連續(xù)則H是實對稱矩陣。</p><p>　?。ㄒ唬┒嘣瘮?shù)極值的充分必要條件 </p><p>　　定理1 （充分條件）　設多元函數(shù) 在 的某鄰域內(nèi)存在一階及二階連續(xù)偏導數(shù), 又則:</p><p>　?。?/p>

37、1） 當H 是正定矩陣時, 函數(shù)在點取得極小值;</p><p>　?。?） 當H 是負定矩陣時, 函數(shù) 在點 取得極大值。</p><p>　　證明　考慮函數(shù)在 點的展開式: </p><p><b>　　[]</b></p><p><b>　　因為, 所以, </b></p>&

38、lt;p>　　因此, 函數(shù)在點 是否取得極值完全取決于二次型 的符號。如果二次型是正定二次型( H 是正定矩陣) , 即, 則在足夠小時, , 在處取極小值; 同樣, 如果二次型 是負定二次型( H 是負定矩陣) , 即則在足夠小時, 有, 在處取極大值。</p><p>　　定理2 （必要條件）設n元函數(shù)在點具有偏導數(shù)并且取得極值，則。（滿足的點稱為n元函數(shù)的駐點）</p><p&

39、gt;　　證明: 因為函數(shù)在點 取得極值, 所以固定在 后所得的一元函數(shù)在點取得極值，于是 ，同理，，因此 []。</p><p>　?。ǘ┒嘣瘮?shù)的極值和最值問題</p><p>　　1、求多元函數(shù)極值的方法</p><p>　　前面所討論的極值問題，對于函數(shù)的自變量一般只要求落在定義域內(nèi)，并無其它限制條件，這類極值我們稱為無條件極值.但在實際問題中，常會遇到對

40、函數(shù)的自變量還有附加條件的極值問題. 對自變量有附加條件的極值稱為條件極值.下面是關于多元函數(shù)條件極值與無條件極值問題的探討。</p><p>　　1.1無條件極值的求解</p><p>　　多元函數(shù)在定義域內(nèi)求極值，可按下述步驟進行：</p><p>　?。?）令 []，求出的所有駐點；</p><p>　?。?）求出在點的Hesinn矩陣

41、；</p><p>　　（3）判定正定或負定，若正定，則在點取得極小值；若負定，則在取得極大值。</p><p><b>　　例 求函數(shù)的極值</b></p><p><b>　　解: 求解方程組</b></p><p><b>　　, 即</b></p>&l

42、t;p>　　得四個駐點: ,, , </p><p><b>　　進一步計算得</b></p><p><b>　　,,</b></p><p>　　矩陣是正定矩陣, 是極小值點。</p><p>　　是負定矩陣, 是極大值點。</p><p>　　，均是不定矩陣,

43、 ，均不是極值點。</p><p>　　1.2條件極值的求解</p><p><b>　　1,降維求極法</b></p><p>　　對于滿足條件的極值，可降為維函數(shù)，轉化為非條件極值的思路求解。</p><p>　　不妨設，則以為獨立的變量（自變量），為為因變量，這時它們是一組彼此獨立的函數(shù)。</p>&

44、lt;p>　　設為該維空間中的一個任意單位向量，作為輔助函數(shù)：和，則和分別是和沿方向且過點的方向導函數(shù)，特別就是在點沿方向的方向導數(shù)。</p><p>　　求導過程中把作為t的函數(shù)，按鏈式法則進行，由解出，再代入。顯然是一個關于的m元線性方程組。</p><p>　　令，此時是關于的多項式，要使對任意的k均有，則必有的各項系數(shù)均為0..由此既得個關于的方程，再與合為n個方程，解得駐點

45、，這是一個n元的方程組。</p><p>　　對是否是的極值點的判定問題，即可直接利用前述的非條件極值判定方法解決。但在求的各階導數(shù)中，注意每次都要將已求的代入，這樣即可保證不會出現(xiàn)關于的高階導數(shù)。</p><p>　　利用上述方法解條件極值問題，要解一個m元方程組和一個n元的方程組。而用乘數(shù)法，則要解一個元方程組。顯然前者復雜程度低于后者。并且乘數(shù)法沒有解決條件極值的判定問題。</

46、p><p><b>　　2、乘數(shù)法求極值,</b></p><p>　　考慮函數(shù)在個約束條件下的極值。</p><p><b>　　引入函數(shù)</b></p><p>　　式中為待定函數(shù)，把當作個變量和的無條件函數(shù)，對這些變量求一階偏導數(shù)，得駐點所要滿足的方程如下：</p><p>

47、;　　從上述方程中解得駐點，即可能極值點。</p><p>　　利用上述方法只是求出駐點，還需要進一步判斷。若函數(shù)在點處取得極值，則在條件下在點處也取得極值，且同取極大值和極小值。</p><p>　　判定準則：設為的極值點，滿足式。記矩陣</p><p><b>　　則有</b></p><p>　　（1）若正定，則在

48、條件下在點取得極小值；</p><p>　?。?）若負定，則在條件下在點取得極大值；</p><p>　?。?）若不定，則在條件下在點不取得極值。</p><p>　　例 求三元函數(shù)在受約束條件限制下的極值。</p><p><b>　　解：設，</b></p><p><b>　　由&

49、lt;/b></p><p><b>　　有：當時，，</b></p><p><b>　　當時，。</b></p><p>　　現(xiàn)在判定是極大值還是極小值。</p><p>　　方法1（降維求極法）對函數(shù)使用定理，其中視為的函數(shù)，即，它由決定?？汕蟮茫?，然后，可求得：</p>

50、<p>　　，，，當時，，，，，故是極大值點。</p><p>　　同理可知，當時，，，，，其是極小值點。</p><p><b>　　所以：，</b></p><p>　　方法2（正定判別法） 利用Hesinn的正或負定性來判定，可求得：，</p><p>　　當時，為負定陣，是極大值點；</p>

51、<p>　　當時，為正定陣，是極小值點</p><p>　　2、 求多元函數(shù)最值的方法</p><p>　　求函數(shù)的最值的一般步驟為：</p><p>　?。?）求函數(shù)所有駐點和至少有一個偏導數(shù)存在的點的函數(shù)值；</p><p>　?。?）函數(shù)定義域的邊界上的最大值和最小值；</p><p>　　（3）比

52、較以上各函數(shù)值的大小,最大者為最大值,最小者為最小值。</p><p><b>　　五、極值問題的應用</b></p><p>　　在經(jīng)濟分析中,決策者（無論是個人消費者、家庭、企業(yè)還是國家政府）經(jīng)常需要利用最大化或最小化的方法,在多種可能中,做出選擇 。比如,在消費者需求的效用理論中,消費者以效用最大為目標,在成本理論中,企業(yè)主生產(chǎn)定量產(chǎn)品以成本最小為目標,在廠商理

53、論中,企業(yè)主以利潤最大為目標等等。這說明了最大化與最小化概念的重要性,也是經(jīng)濟決策分析的通常特點。要解決這些向題,需要利用多元函數(shù)的極值理論。下面舉幾個函數(shù)極值在現(xiàn)實生活中應用的實例。</p><p>　　例 1 某公司可通過電臺和報紙兩種方式做銷售某種商品的廣告．根據(jù)統(tǒng)計資料，銷售收入（萬元）與電臺廣告費用（萬元）及報紙廣告費（萬元）之間的關系有如下經(jīng)驗公式：</p><p><

54、b>　　,</b></p><p>　　廣告費用無限的情況下，求最優(yōu)廣告策略，使所獲利潤最大。</p><p>　　解: 利潤等于收入與費用之差，利潤函數(shù)為：</p><p>　　根據(jù)極值存在的必要條件，令 </p><p>　　得，，即為駐點，利潤函數(shù)在駐點處的Hesinn矩陣，</p><p>　

55、　易驗證Hesinn矩陣為負定矩陣，所以在駐點處達到極大值，也是最大值，即最優(yōu)廣告策略為：電臺廣告費用和報紙廣告費用分別為萬元和萬元，此時可獲得最大利潤。</p><p>　　例2 由一寬為的長方形鐵板，把它兩邊折起來做成一斷面為等腰梯形的水槽，問怎樣折法才能使斷面的面積最大？ </p><p>　　解: 設折起來的邊長為，傾斜角為，那么梯形斷

56、面的下底長為，上底長為，高為，則斷面面積</p><p><b>　　即 ，</b></p><p><b>　　D：，，</b></p><p>　　下面是求二元函數(shù)在區(qū)域</p><p>　?。?，上取得最大值的點。</p><p><b>　　令

57、 </b></p><p><b>　　由于，上式為</b></p><p>　　將代入（2）式得，再求出，則有，于是方程組的解是，</p><p>　　在考慮邊界，當時，函數(shù)為的一元函數(shù)，求最值點，由，得 。</p><p><b>　　所以，</b></p>&l

58、t;p><b>　　。</b></p><p>　　根據(jù)題意可知斷面面積的最大值一定存在，并且在區(qū)域：，內(nèi)取得，通過計算得知時的函數(shù)值比，時函數(shù)值為小，又函數(shù)在內(nèi)只有一個駐點，因此可以斷定，當，時，就能使斷面的面積最大。</p><p>　　例3 證明在所有周長相同的三角形中,等邊三角形面積最大。 </p><p>　　證明: 設三

59、角形三條邊為 。 周長固定時并非自由變量，受條件</p><p>　　的約束, 其中為常數(shù)。由面積公式知，三角形面積為 </p><p>　　因此我們需求在條件下的最大值。 </p><p>　　由 解出 這時是自由變量, 在一個開集上變化. 代</p><p>　　入條件極值問題化為 </p><p>&

60、lt;b>　　的普通極值問題。</b></p><p><b>　　解方程組 </b></p><p>　　得在 時只有一個解。但由問題知，最大值存在，而判別點唯一。因此判別點只能是最大點，得時三角形面積最大。</p><p>　　上例中我們是通過求解約束條件的方程，得到自由變量，代入求極值的函數(shù)，將條件極值問題化為普通極值問

61、題。但有時直接解約束條件的方程是困難的，但通過微分約束條件，解出某些變量的微分用另一些變量的微分來表示，再代入求極值函數(shù)的微分中，從而求得其在約束條件下的判別點。</p><p>　　函數(shù)極值不僅在經(jīng)濟生產(chǎn)和現(xiàn)實生活中有著廣泛的應用，還在物理學，化學，生物工程等學科有重要的作用。因此函數(shù)極值問題的研究具有重大的現(xiàn)實意思。</p><p><b>　　參考文獻</b>&

62、lt;/p><p>　　[1] 楊文杰, 孫　靜，多元函數(shù)的極值問題[J]，遼 寧 工 學 院 學 報，2004：27-30</p><p>　　[2] 范新華，多元函數(shù)極值的判別法則的探討[J]，常 州 工 學 院 學 報，2006：10-12</p><p>　　[3] 王莉萍，關于一元和多元函數(shù)極值的統(tǒng)一性研究[J]，焦作師范高等專科學校學報，2007（12）：8

63、0-82</p><p>　　[4] 李安東，多元函數(shù)極值和條件極值的一般判定方法[J]，皖西學院學報，2006：30-33</p><p>　　[5] 聶銘，多元函數(shù)極值的判定，六盤水師范高等?？茖W校學報[J]，2008：40-44</p><p>　　[6] 王敏芝，關于多元函數(shù)的極值的判別準則[J]，浙江理工大學學報,，2007：592-596</p&g

64、t;<p>　　[7] 程國，劉亞亞，求多元函數(shù)極值的二次型方法[J]，河西學院學報，2008：20-23</p><p>　　[8] 李艷娟，馬麗萍，微積分里多元函數(shù)極值問題的探討[J]，沈 陽 大 學 學 報，2005：93-96</p><p>　　[9] 裴里文，數(shù)學分析中的典型問題與方法[M]，北京：高等教育出版社，1998</p><p>

65、　　[10] 寧榮健，也談條件極值問題的充分條件[J]，高等數(shù)學研究，2005，8(2):40-43</p><p>　　[11]同濟大學，高等數(shù)學(上冊、下冊)[M]，北京:高等教育出版社，2004，146-148，67-73</p><p>　　[12] 吳崇儉，李偉，二元函數(shù)極值的高階判別法[J]，工程數(shù)學, 1995 , 11(1): 104-107 </p><

66、;p>　　[13] 同濟大學數(shù)學教研室，線性代數(shù)（第三版）[M]，北京：高等教育出版社，1999, 151-152</p><p>　　[14] 李大華，大學數(shù)學2000題[ M]，武漢：華中科技大學出版社, 2001. 205</p><p>　　[15] B. Calvert and M. K. Vamanamurthy. Local and Global Extrema for