現代優(yōu)化算法

1、現代優(yōu)化算法,李金屏濟南大學信息科學與工程學院模式識別與智能系統(tǒng)研究所(1st version in 2002.9)2006.9,39,2,內容概要,優(yōu)化算法簡介——運籌學 正交試驗法TABU禁忌搜索算法 模擬退火算法遺傳算法&進化計算現代優(yōu)化算法再述課題組的工作,,其它問題：計算復雜性；鄰域概念；NP, NP-C 和NP-hard；Markov過程；人工生命，螞蟻算法，免疫算法，混沌優(yōu)化算法，me

2、metic算法等。其它問題。,39,3,優(yōu)化算法簡介——概念、基本形式,什么是優(yōu)化？就是從各種方案中選取一個最好的。從數學角度看，優(yōu)化理論就是研究如何在狀態(tài)空間中尋找到全局最優(yōu)點。比如水泥混凝土的性能，涉及到水、沙、石子、水泥和其他摻雜物比例。學校課程表排課問題、售票員上崗問題、公司內部人員安排出效益等。降低成本、提高效益是問題的關鍵。一般的優(yōu)化具有下面形式：minf (x1, x2, …, xn)s.t. g(x) ? 0

3、，x?D其中x1, x2, …, xn?Ω（即問題的可行域，代表問題參數的選擇范圍），即minf (X)，其中X?Ω（矢量形式）。f(x)是決策問題的數學模型，也是決策問題的目標函數，g(x) ?0是決策問題的約束條件，D是決策問題的定義域（可行域）。問題歸結為求極值。極值點非常多，需要找到全局最小點。注：求問題的最大和最小是同一個問題，算法完全一樣。,39,4,如果決策問題是一個凸問題，可以利用線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃等求解。然而

4、大量的實際問題是非凸問題，需要在大量的局部極優(yōu)解中尋找全局最優(yōu)解。此時，決策變量x是否連續(xù)，數學模型f(x)是否具有解析表達式，對于求解難度會有不同的影響。這是一個全局尋優(yōu)問題。很多方法討論的是如何在一個極值點附近搜索極值點。一般情況下，利用窮舉的方法是不可能的。 習慣上，將優(yōu)化算法分為兩類：局部優(yōu)化算法和全局性優(yōu)化算法。前者可以稱為經典優(yōu)化算法，已經得到了人們廣泛深入的研究。目前，運籌學（確定論方法）主要包括這些方面的內容，線性規(guī)

5、劃、整數規(guī)劃、0–1規(guī)劃、非線性規(guī)劃、排隊論、決策論。后者習慣上稱為現代優(yōu)化算法，是20世紀80年代興起的新型全局性優(yōu)化算法，主要包括禁忌搜索、模擬退火、遺傳算法等，其主要應用對象是優(yōu)化問題中的難解問題，即NP–hard問題,優(yōu)化算法簡介——優(yōu)化算法分類,39,5,優(yōu)化算法簡介——局部優(yōu)化、全局優(yōu)化,有文獻將神經網絡也列入現代優(yōu)化算法的范疇，從全局優(yōu)化的角度看，這并不適宜，因為神經網絡的優(yōu)化算法本質上是局部優(yōu)化算法和全局優(yōu)化算法的綜合應

6、用。局部優(yōu)化算法主要用于解決凸問題或單峰問題，通常使用確定性搜索策略，比如單純形法、梯度下降法、爬山法、貪心法等，其基本思想是在狀態(tài)轉移過程中，只接受更好的狀態(tài)，拒絕惡化的狀態(tài)。全局性優(yōu)化算法主要用于求解非凸問題或多峰問題，通常使用概率性搜索策略，即狀態(tài)轉移規(guī)則，這是由于實際的全局性優(yōu)化問題通常沒有解析表達式或者解析表達式非常復雜難以進行理論分析。其基本思想是在可行域中從給定的一個或多個隨機初始點出發(fā)進行搜索，利用適當的狀態(tài)轉移規(guī)則

7、和合理的概率性狀態(tài)接收規(guī)則搜索新的更優(yōu)點，在確定的時間或搜索次數之內停止算法。,39,6,優(yōu)化算法簡介——二者需要結合,局部優(yōu)化算法由于易于陷入局部極優(yōu)解而無法用于解決多峰問題；同時，全局性優(yōu)化算法采用適當的狀態(tài)轉移規(guī)則和概率性狀態(tài)接受規(guī)則，能夠避免過早地陷入局部極優(yōu)解從而搜索到全局性最優(yōu)解。通常，局部優(yōu)化算法能夠快速地收斂到局部極優(yōu)解，而全局性優(yōu)化算法通過概率搜索可以獲得在概率意義上盡可能好的全局性最優(yōu)解區(qū)域，但是其局部極優(yōu)點搜索能

8、力較低。這是全局搜索算法和局部搜索算法之間的固有矛盾。對此人們進行了多種研究?；窘鉀Q方法在于二者的結合，即利用全局性優(yōu)化算法在整個可行域中搜索最優(yōu)區(qū)域，利用局部搜索算法搜索最優(yōu)區(qū)域中的最優(yōu)解。Memetic算法就是全局性搜索和局部性搜索相結合的算法的總稱。又可以稱為雜和優(yōu)化算法 (Hybrid Optimization Algorithm)。,39,7,內容概要,優(yōu)化算法簡介——運籌學 正交試驗法TABU禁忌搜索算法 模擬退火

9、算法遺傳算法現代優(yōu)化算法再述課題組的工作,,39,8,正交試驗法,在工農業(yè)生產及科學實驗中，為了試制新產品，改革工藝，尋找優(yōu)良的生產條件，需要安排一系列的實驗。全面實驗成本很高，而且往往做不到。因此，需要進行部分試驗。正交試驗法就是一種實際中廣泛使用的部分試驗法，又叫正交設計法或正交優(yōu)化法，即通過少數次試驗找到最好的或者較好的實驗條件。其中的決策變量和取值分別叫做因素和水平。尋優(yōu)時，先確定影響決策目標的因素和水平，再選擇適當的正交

10、表，即可按正交表安排試驗，最后分析試驗的結果和發(fā)現最佳的水平。,39,9,正交試驗法,正交表的形式為Ln(t1?t2?…?tm)，簡記為Ln(tm)，其中n為試驗數，m為因素數，ti為水平數。正交設計法能夠確保決策變量具有最佳的散布性和代表性，因此獲得的最佳水平應該具有相當高的滿意度。實際上，正交試驗法獲得的最佳結果優(yōu)于總體試驗結果的n/(n+1)，劣于總體試驗結果的1/(n+1)，具有良好的全局最優(yōu)性。該算法的另外一個最大優(yōu)勢在于簡

11、單易學，一般文化水平的人（比如初中以上）經過幾天時間就可以掌握，因此該算法具有極其廣泛的使用范圍。其難點在于特定正交表的構造，人們正深入研究各種特殊正交表的構造方法。,39,10,內容概要,優(yōu)化算法簡介——運籌學 正交試驗法TABU禁忌搜索算法 模擬退火算法遺傳算法現代優(yōu)化算法再述課題組的工作,,39,11,TABU禁忌搜索算法,禁忌搜索算法（tabu search） 是局部鄰域搜索算法的推廣，是人工智能在組合優(yōu)化算法中的一

12、個成功應用。Glover在1986年首次提出這一概念，進而形成一套完整算法。禁忌，就是禁止重復前面的工作。為了回避局部鄰域搜索陷入局部最優(yōu)的主要不足，采用一個禁忌表記錄已經達到過的局部最優(yōu)點，在下一次搜索中，利用禁忌表中的信息不再或者有選擇地搜索這些點，以此來跳出局部最優(yōu)點。Tabu算法由幾個基本要素的組合：鄰域，Tabu表及評價函數。鄰域與一般優(yōu)化技術中的定義一致；Tabu表是一個或數個數據序列，是對先前的數步搜索所作的記錄，記錄

13、的方式有很多，記錄的長度也是可變的，選取的好壞直接影響算法的效率；評價函數通常就是問題的目標函數或它的某種變換形式，用于對一個移動作出評價。由Tabu表和評價函數可以構造一種Tabu條件，若新點滿足Tabu條件則接受，否則拒絕，直至迭代終止。,39,12,TABU禁忌搜索算法,Tabu算法被認為是人工智能在組合優(yōu)化中的成功應用，但是仍有很多技術的細節(jié)問題有待討論。如參數的選擇問題，該問題包括禁忌對象及其長度、候選集合的確定等。另外還涉及

14、到評價函數、特赫規(guī)則、終止規(guī)則等的合理確定。在提高搜索效率方面，文獻[*]針對調度問題提出一種變鄰域結構的禁忌搜索算法，使鄰域結構隨算法的進程改變，鄰域規(guī)模小，并且保持了可達性；在算法的結合方面，有將禁忌搜索和遺傳算法相結合，構造禁忌遺傳算法，主要是利用禁忌搜索的以下特點來改善遺傳算法：即Tabu搜索能有效利用全局信息、搜索過程中的獲得信息和能夠跳出局部最優(yōu)點。 [*]孫元凱，劉民，吳澄。變鄰域結構Tabu搜索算法及其在Job S

15、hop調度問題上的應用。電子學報，2001,29(5),622-625。,39,13,內容概要,優(yōu)化算法簡介——運籌學 正交試驗法TABU禁忌搜索算法 模擬退火算法遺傳算法現代優(yōu)化算法再述課題組的工作,,39,14,模擬退火算法,模擬退火算法（simulated annealing algorithm, SAA）是一種重要的全局性啟發(fā)式概率搜索算法，其物理背景是固體的退火過程。 歷史上，兩個人物對于SAA的發(fā)展起了關鍵性的

16、作用，他們分別是N. Metropolis和S. Kirkpatrick。在利用Monte Carlo方法模擬恒定溫度下固體達到熱平衡態(tài)過程的研究中，1953年Metropolis提出了重要性采樣準則，即對于處在微觀狀態(tài) i 的固體系統(tǒng)施加一個隨機擾動，使其狀態(tài)變?yōu)閖。設與狀態(tài)i、j對應的固體系統(tǒng)能量分別為Ei、Ej。則固體系統(tǒng)能否由狀態(tài) i 遷移到新的狀態(tài)j取決于Ei、Ej之間的關系：當Ej≤Ei時，系統(tǒng)遷移到新的狀態(tài)；當Ej&

17、gt;Ei時，系統(tǒng)將以如下概率遷移到新的狀態(tài),39,15,模擬退火算法,在大量遷移之后，系統(tǒng)趨于能量較低的平衡態(tài)，其微觀狀態(tài)的概率密度分布趨于Gibbs正則分布。1982年，Kirkpatrick將退火思想首先引入求解組合優(yōu)化問題，提出了SAA。引入一個溫度參數T。開始時，取T為一個較大的數值，此時狀態(tài)轉移比較自由。隨著溫度降低，狀態(tài)轉移逐漸困難，最后原則上應該收斂到全局最優(yōu)點。目前，模擬退火算法已經廣泛地用于求解TSP、VLSI電

18、路設計等NP–完全問題。,,1 Ej ≤ Ei.,else,即,39,16,模擬退火算法,我國第一部系統(tǒng)討論模擬退火算法的中文專著《非數值并行算算法——模擬退火算法》比較詳細地討論了模擬退火算法的數學和物理背景、理論基礎以及實現形式，介紹了1994年以前國內外一些學者在理論和應用上的研究成果。這些成果主要是針對模擬退火算法性能的提高，如怎樣控制冷卻進度表（cooling schedule）參數（即初始溫度、降溫策略、溫度終

19、值準則、Markov鏈長），怎樣實現模擬退火算法的并行運算，怎樣進一步改進模擬退火算法等。這些改進主要包括：選取合適的初始溫度、最優(yōu)保留策略、與局部搜索相結合、回火退火法等。需要說明，文獻中的局部搜索法實質上仍然是隨機搜索，只是僅接受優(yōu)化解，不接受惡化解。近些年來，不少學者對于模擬退火算法進行了深入的研究和改進。包括：討論模擬退火與傳統(tǒng)局部優(yōu)化算法如單純形法、Powell方法等的結合[7]，研究鄰域結構與選取狀態(tài)轉移隨機步長方法

20、以及相應的降溫方案，如何采取合適的退火終止條件等。,39,17,模擬退火算法,基本算法（PASCAL偽碼）：Procedure SIMULATED ANNEALING;beginINITIALIZE (i0, T0, L0);k:=0;i:=i0;repeat for l:=1 to Lk do beginGENERATE (j from Si)if f(j) ≤ f(i) then

21、 i:=jelseif exp[(f(i)—f(j))/Tk] >random[0,1] then i:=j end; k:=k+1; CALCULATE-LENGTH(Lk); CALCULATE-CONTROL(Tk);until stopcriterionend;,計算冷卻進度表,Markov鏈長,Metropolis規(guī)則,39,18,模擬退火算法,最初路徑,算法結果,

22、目前最好結果,39,19,模擬退火算法,一些文獻：1、康立山，謝云，尤矢勇等。非數值并行算法——模擬退火算法。北京：科學出版社，1998年。2、王卓鵬，高國成，楊為平。一種改進的快速模擬退火組合優(yōu)化法。系統(tǒng)工程理論與實踐，1999，(2): 73–76。3、趙玉清，余志軍。加速全局優(yōu)化–鮑威爾法和模擬退火法的組合。電子學報，1998，26(9): 75–77。4、楊若黎，顧基發(fā)。一種高效的模擬退火全局優(yōu)化算法。系統(tǒng)工程理論與實踐

23、，1997，(5): 29–35。,39,20,內容概要,優(yōu)化算法簡介——運籌學 正交試驗法TABU禁忌搜索算法 模擬退火算法遺傳算法現代優(yōu)化算法再述課題組的工作,,39,21,遺傳算法,Darwin 的物種進化的主要思想是自然選擇(Natural selection)。生物通過競爭來進化，以適應環(huán)境。生物通過遺傳(Heredity)、變異(Mutation)等過程實現進化。遺傳和變異的物質基礎是染色體(Chromosome

24、)。染色體又是由DNA 和蛋白質組成的?；蛑斜Ａ糁z傳物質。通過基因的復制(production)、交叉(crossover)和變異(mutation)實現生物的性狀的變異和遺傳。標準遺傳算法的基本框架是由Holland于20世紀60年代提出的，它使用二進制編碼，采用賭輪選擇和隨機配對，關鍵是編碼。這是一類模擬生物進化過程的全局性優(yōu)化算法，其搜索效率取決于搜索策略或狀態(tài)轉移策略、編碼策略、運行參數的合理配置等方面。對于具有下面數學結

25、構的研究對象min（或max）f (x)，s.t. g(x) ? 0，x?D 遺傳算法可以具有較好的搜索效果。,39,22,遺傳算法,基本思路：第一步：建立研究對象的數學結構模型，確定目標函數類型（即求目標函數的最大值還是最小值?）。 第二步：確定表示可行解的染色體編碼方法，即確定個體基因型X及遺傳算法的搜索空間。 第三步：確定解碼方法，即確定由個體基因型X到相應表現型的對應關系或轉換關系。,39,23,遺傳算法,基本思路

26、：第四步：設計遺傳算子，包括選擇算子、交叉算子、變異算子等的具體操作方法。第五步：確定個體適應度的量化評價方法，即制定由目標函數 f(x) 到個體適應度的轉換規(guī)則。第六步：確定遺傳算法的有關運行參數。包括編碼串長度l（對于二進制編碼）、交叉概率Pc、變異概率Pm、種群規(guī)模M、終止代數T等運行參數的設置。第七步：設計遺傳算法程序，其中使用了最優(yōu)保留策略。,39,24,遺傳算法,為了提高其搜索效率，可以在三個方面提出改進措施：1)

27、 采用更好的搜索策略。主要包括：精英策略（elitist strategy）；構造與模擬退火算法、局部搜索算法如最速下降法等相結合的混和遺傳算法（hybrid genetic algorithm）；通過改造模式定理和引入半序關系將所有模式構成一個半序格，從而將人工智能理論中的狀態(tài)空間搜索算法如A算法與遺傳算法相結合而提出的統(tǒng)計遺傳算法（statistical genetic algorithm）；基于家族優(yōu)生學原理構成兩兩結合的家族競爭

28、機制，通過引入正交設計法構造出“正交交配”算子，從而在每個家庭內部形成局部競爭環(huán)境的進化算法；利用小生境技術、聚類分析或狹義遺傳算法而提出的分區(qū)域搜索遺傳算法等。,39,25,遺傳算法,2) 采用更加合理的編碼策略。如采用十進制編碼，多維實數編碼，或根據模式定理將二進制編碼的低階、高平均適應度的長定義距模式轉換為短定義距模式等。3)合理配置運行參數。遺傳算法的求解效率在很大程度上取決于編碼串長度l（對于二進制編碼）、種群規(guī)模M、交叉概

29、率Pc、變異概率Pm、終止代數T、適應度函數f (M)等運行參數的設置，當然與具體的選擇算子也有很大關系，這在搜索策略中已經有一定體現。除了種群規(guī)模和終止代數之外，人們對于染色體編碼、交叉和變異概率、適應度函數等進行了深入廣泛的討論。,39,26,遺傳算法,編碼串長度l直接決定問題的求解精度。選擇策略、交叉算子和變異算子對于種群早熟、收斂等有重大影響，不少工作對此進行了有益的探討。適應度函數f (M)是遺傳算法的一個瓶頸，人們針對不

30、同問題提出了許多不同的適應度函數定義。 最近有文獻研究了遺傳算法的一些統(tǒng)計性質，提出進化截止代數和平均截止代數的概念，指出進化截止代數分布呈現典型的Г分布，還研究了遺傳算法的優(yōu)化效率。這種研究對于深刻理解遺傳算法非常有益。事實上，進化截止代數分布之中蘊含著許多豐富的知識，比如，平均進化截止代數、成功率等主要依賴于哪些因素？種群規(guī)模M、研究對象數學結構的極值個數、極值大小分布和極值區(qū)域半徑分布、染色體串長l等在進化截止代數分布中主

31、要起到什么作用？,39,27,內容概要,優(yōu)化算法簡介——運籌學 正交試驗法TABU禁忌搜索算法 模擬退火算法遺傳算法現代優(yōu)化算法再述課題組的工作,,39,28,現代優(yōu)化算法——一般性描述,——全局性優(yōu)化理論的一般性描述首先，需要確定的是狀態(tài)的表示，即決策變量x的編碼問題。通常x是以數值方式編碼比如浮點數，也有二進制方式，還有符號編碼如字母等。實際上編碼方式不應該影響搜索的結果，只要x與其編碼具有一一對應的關系，如浮點數編碼

32、與二進制編碼之間就存在明確的一一對應的關系。原碼編碼采用決策變量本身作為狀態(tài)參量，也是一種編碼方式，只不過我們已經習以為常了。選擇不同的編碼方式對于優(yōu)化效率具有不同的影響。我們采用C(x)表示的x編碼，稱為個體。,39,29,現代優(yōu)化算法——一般性描述,——全局性優(yōu)化理論的一般性描述兩種搜索方式：單點法和多點法。單點法是一種串行方式，即從一個初始狀態(tài)（單個個體）出發(fā)，按照某種方式轉移狀態(tài)進行全局優(yōu)化，這種方式通常要消耗較多機時；多

33、點法是一種并行方式，即從可行域的多個初始狀態(tài)（多個個體）同時進行搜索尋找全局最優(yōu)解，但是空間開銷大。根據各態(tài)歷經假設，理論上二者可以具有相同的搜索效果。事實上，單CPU情況下的單點法和多點法并沒有本質性的區(qū)別。,39,30,現代優(yōu)化算法——一般性描述,——全局性優(yōu)化理論的一般性描述兩種搜索策略：確定性和概率性。由于許多實際問題的決策變量不連續(xù)，或者沒有解析表達式或者解析表達式比較復雜致使無法進行理論分析，而且大多數問題的極值數目

34、未知，無法提供全局性搜索的確定性信息，因此通常采用概率性搜索策略，包括：1. 狀態(tài)轉移規(guī)則，2. 狀態(tài)接受規(guī)則。狀態(tài)轉移規(guī)則研究從當前狀態(tài)C(x)如何轉移到下一狀態(tài)C(x’)，即C(x)+?C ? C(x’)，?C表示狀態(tài)轉移量，需要根據決策問題的數學結構來確定。這是因為?C反映f(x)的鄰域結構，合理的?C應該保證概率性搜索的狀態(tài)具有最大代表性。這就要求?C符合最佳概率分布。,39,31,現代優(yōu)化算法——一般性描述,——全局性優(yōu)化理

35、論的一般性描述狀態(tài)接受規(guī)則研究如何接受按照狀態(tài)轉移規(guī)則獲得的新狀態(tài)，即確定性接受還是概率性接受。確定性方式仍然是只接受更好的結果，拒絕惡化的結果。通常使用概率性方式，也有兩種做法：一種是更好結果肯定接受，惡化結果按照一定概率接受；另一種是無論好惡均以一定概率接受，只是結果越好接受概率越高。不同方式對于最終結果會有不同影響。由于狀態(tài)接受規(guī)則體現優(yōu)勝劣汰的思想，全局優(yōu)化也會陷入局部極優(yōu)解，因此必須考慮多樣性問題。單點法,39,32,現代優(yōu)

36、化算法——一些特例,在可行域中進行純隨機性概率搜索，將獲得Monte Carlo方法，此時的狀態(tài)轉移完全是隨機的，沒有利用任何啟發(fā)信息。隨機地從多個初始狀態(tài)出發(fā)進行局部搜索，實際上是一種最原始的全局性和局部性優(yōu)化算法的結合，即多點隨機試探局部搜索法，此時的啟發(fā)信息完全體現于局部搜索部分，全局性優(yōu)化部分仍然是隨機的和盲目的。利用禁忌表記錄曾經或已經到達過的局部極優(yōu)解，下次搜索時利用該表信息不再或有選擇地搜索這些點，以此跳出局部極優(yōu)解，

37、增加搜索的區(qū)域，是禁忌搜索的基本思想。顯然這種搜索的效率是比較高的，但參數設置是一個需要認真研究的問題，涉及到禁忌對象、禁忌長度、候選集合、評價函數、特赦規(guī)則、終止規(guī)則等的合理確定。這里的全局性啟發(fā)信息體現在禁忌表。,39,33,現代優(yōu)化算法——一些特例,從可行域的某個初始狀態(tài)出發(fā)，按照符合一定概率分布的狀態(tài)轉移規(guī)則搜索最優(yōu)解，利用概率的方法接受新狀態(tài)，即更好結果肯定接受，惡化結果按照一定概率接受，而且隨著搜索的進行接受惡化解的概率逐漸

38、變小，這是模擬退火的基本思想。這種搜索沒有結合局部優(yōu)化算法，但具有隱含的局部優(yōu)化能力。需要考慮的參數包括初始溫度選取、Markov鏈長度（平衡態(tài)判據）、溫度控制策略、終止條件等。這里的啟發(fā)信息體現在狀態(tài)轉移規(guī)則和狀態(tài)接受規(guī)則，分別指導全局性優(yōu)化和局部性優(yōu)化。,39,34,現代優(yōu)化算法——一些特例,從可行域中的多個初始狀態(tài)（個體）出發(fā)進行并行搜索，在搜索過程中個體之間不斷交流信息，采用概率方式接受新個體，比如賭盤形式。這是遺傳算法的基本思

39、想，采用一種群體搜索策略。這種方法具有很強的全局搜索能力和較強的局部搜索能力，自動嵌入有增加多樣性的算子（交叉和變異運算），主要缺陷是容易出現“早熟”。需要考慮的因素有個體編碼方式、種群規(guī)模、選擇算子、交叉算子、變異算子、終止代數、適應度函數等。其啟發(fā)信息在于選擇方式（直接影響以后搜索的區(qū)域）、個體信息交流（模式的優(yōu)化組合）等。結論：在全局性優(yōu)化算法的一般性描述下各種優(yōu)化算法之間存在著密切的內在聯系，是不同情況下的特殊算法。其中禁忌搜

40、索、模擬退火屬于單點法，遺傳算法屬于多點法，Monte Carlo方法和多點隨機試探局部搜索法既可以以單點法方式進行，也可以以多點法方式進行。,39,35,內容概要,優(yōu)化算法簡介——運籌學 正交試驗法TABU禁忌搜索算法 模擬退火算法遺傳算法現代優(yōu)化算法再述課題組的工作,,39,36,課題組的工作——已經完成的工作,局部優(yōu)化算法的改進：梯度下降法——自適應調整其學習率（步長調整）——《模式識別與人工智能》、《系統(tǒng)工程與電

41、子技術》遺傳算法的參數確定：遺傳算法平均截止代數和成功率與種群規(guī)模之間的關系?！断到y(tǒng)仿真學報》（增刊）遺傳算法改進：與正交試驗法相結合——正交遺傳算法?！峨娮訉W報》遺傳算法改進：與梯度下降法的結合——混合遺傳算法?！冬F代信息技術理論與應用——CIE-YC'2002》遺傳算法改進：與小生境進化算法、聚類分析相結合?！缎⌒臀⑿陀嬎銠C系統(tǒng)》,39,37,課題組的工作——Publications,

42、BP小波神經網絡快速學習算法研究。李金屏，王風濤，楊波。 《系統(tǒng)工程與電子技術》，Vol.23,No.8,2001,72-75.遺傳算法平均截止代數和成功率與種群規(guī)模之間的關系。李金屏，何苗，楊波?！断到y(tǒng)仿真學報》(增刊),2001, Vol.13, 206-210.提高BP小波神經網絡收斂速度的研究。李金屏，何苗，劉明軍，楊波?！赌Ｊ阶R別與人工智能》, 2002, 15(1):28-35。正交遺傳算法。史奎凡，董吉文，李金屏，曲

43、守寧，楊波?！峨娮訉W報》 ，2002，Vol.30，No.10.利用混合遺傳算法提高小波神經網絡收斂速度的研究。李金屏，牛業(yè)亭，盧剛?！冬F代信息技術理論與應用：CIE-YC‘2002》，701-705，合肥：中國科學技術大學出版社，2002.8。 基于小生境算法和聚類分析的快速收斂遺傳算法。李金屏，李素芳，楊波。《小型微型計算機系統(tǒng)》，2004，Vol.25，No.6?；煦鐑?yōu)化算法性能分析。李金屏，韓延彬，孫志勝?！缎⌒臀⑿陀嬎銠C