01第八章 第1節(jié) 多元函數(shù)的基本概念

1、,,,,,,2,（1）鄰域,,,一、多元函數(shù)的概念,3,（2）區(qū)域,,例如，,即為開(kāi)集．,,4,,,,,,,5,連通的開(kāi)集稱(chēng)為區(qū)域或開(kāi)區(qū)域．,例如，,例如，,,,6,,有界閉區(qū)域；,,無(wú)界開(kāi)區(qū)域．,例如，,,,7,（3）聚點(diǎn),1 內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；,說(shuō)明：,2 邊界點(diǎn)可能是聚點(diǎn)；,例,(0,0)既是邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn)．,8,3 點(diǎn)集E的聚點(diǎn)可以屬于E，也可以不屬于E．,例如,,(0,0) 是聚點(diǎn)但不屬于集合．,例如,,邊界上的點(diǎn)都是聚點(diǎn)也都

2、屬于集合．,9,（4）n維空間,1 n維空間的記號(hào)為,說(shuō)明：,2 n維空間中兩點(diǎn)間距離公式,10,3 n維空間中鄰域、區(qū)域等概念,特殊地當(dāng) 時(shí)，便為數(shù)軸、平面、空間兩點(diǎn)間的距離．,內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域、聚點(diǎn)等概念也可定義．,鄰域：,設(shè)兩點(diǎn)為,11,（5）二元函數(shù)的定義,12,,類(lèi)似地可定義三元及三元以上函數(shù)．,13,14,例1 求

3、 的定義域．,解,所求定義域?yàn)?15,二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.,16,例如,,圖形如右圖.,例如,,左圖球面.,單值分支:,17,18,二、多元函數(shù)的極限,19,定義1,20,說(shuō)明：,（1）定義中 的方式是任意的；,（2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限,21,例2 求證,證,當(dāng)

4、 時(shí)，,原結(jié)論成立．,22,23,例5 求極限,解,其中,24,25,26,例7 證明 不存在．,證,取,其值隨k的不同而變化，,故極限不存在．,27,確定極限不存在的方法：,28,29,三、多元函數(shù)的連續(xù)性,30,定義3,31,32,33,解,34,例6 討論函數(shù),在(0,0)的連續(xù)性．,解,取,其值隨k的不同而變化，,極限不存在．,故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)．,35,閉區(qū)域上連續(xù)

5、函數(shù)的性質(zhì),在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．,在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在D上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩值之間的任何值至少一次．,（1）最大值和最小值定理,（2）介值定理,36,,多元初等函數(shù)： 由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù),一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的．,定義區(qū)域是指