[數(shù)學(xué)]空間圖形的公理

1、空間圖形的公理,,,,,,,,,,,,,,,1、設(shè)A為直線 l 和平面α的一個(gè)公共點(diǎn), B為直線l上另一點(diǎn),1）若B點(diǎn)在平面α外，則直線l上除A點(diǎn)外，是否還有其它的點(diǎn)也在平面α內(nèi)？,,問題討論（一）,（2）當(dāng)B點(diǎn)逐漸與平面α靠近時(shí)，直線l上其余各點(diǎn)與平面α的位置關(guān)系如何變化？,（3）當(dāng)B點(diǎn)落在平面α內(nèi)時(shí)，直線l上其余各點(diǎn)與平面α的位置關(guān)系如何？,2、根據(jù)上述分析可得到一個(gè)什么結(jié)論？,公理1 如果一條直線上有兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這

2、條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi).,公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)（即直線在平面內(nèi)）。,直線和平面的關(guān)系,1、平面內(nèi)幾點(diǎn)確定一條直線？,2、空間內(nèi)，經(jīng)過幾點(diǎn)可以確定一個(gè)平面？,問題討論（二）,公理2: 經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面（即可以確定一個(gè)平面）。,,,,（1）經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，可以確定一個(gè)平面嗎？,（2）經(jīng)過兩條相交直線，可以確定一個(gè)平面嗎？,（3）經(jīng)過兩

3、條平行直線，可以確定一個(gè)平面嗎？,推論1 經(jīng)過一條直線和直線外的一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面.,推論2 經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個(gè)平面,推論3 經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個(gè)平面,1、空間兩個(gè)不同平面是否一定有公共點(diǎn)？如果它們有公共點(diǎn)，則其公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)如何？,問題討論（三）,2、如果兩個(gè)不同平面有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，那么這些公共點(diǎn)的相對(duì)位置關(guān)系如何？,,3、根據(jù)上述分析可得什么結(jié)論？,公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有

4、一條通過這個(gè)點(diǎn)的公共直線。,1.兩個(gè)平面指的是不重合的兩個(gè)平面；2.兩個(gè)不重合的平面相交，交線是一條直線。,注意：,4、若兩個(gè)平面有一條公共直線，則稱這兩個(gè)平面相交，這條公共直線叫做這兩個(gè)平面的交線.,,5、當(dāng)兩個(gè)平面相交時(shí)，怎樣畫圖最直觀？,注意：1.公理4是初中平面幾何中的平行公理在空間中的推廣，它表示在空間平行性具有傳遞性；,2.三條直線平行，它們既可以在同一平面內(nèi)，也可以兩兩共面；,公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行。,

5、例1　已知如圖，直線a∥b，直線l∩a＝A，直線l∩b＝B.求證：直線a、b、l共面．證明：因?yàn)閍∥b，由平行線的定義知，a，b共面，設(shè)a，b所在的平面為α，又因?yàn)閍∩l＝A，所以點(diǎn)A在平面α內(nèi)，即A∈α，同理可得B∈α，故直線AB在平面α內(nèi)，即l在平面α內(nèi)．所以a，b，l共面．,已知△ABC在平面α外，它的三邊所在的直線分別交平面α于P、Q、R(如圖)，求證：P、Q、R三點(diǎn)共線．【思路點(diǎn)撥】　要證明P、Q、R三點(diǎn)共線可利用兩

6、點(diǎn)確定一條直線，再證明第三個(gè)點(diǎn)也在此直線上，充分運(yùn)用基本性質(zhì)3.,【證明】　法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由公理3可知，點(diǎn)P在平面ABC與平面α的交線上．同理可證Q、R也在平面ABC與平面α的交線上．又∵兩相交平面的交線有且只有一條，∴P、Q、R三點(diǎn)共線．,法二：∵AP∩AR＝A，∴直線AP與直線AR確定平面APR，又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR

7、∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR∴BC平面APR，又∵Q∈直線BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR，∴P，Q，R三點(diǎn)共線．,【名師點(diǎn)評(píng)】　證明點(diǎn)共線問題常用方法：(1)先找出兩個(gè)平面，再證明這三個(gè)點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，從而根據(jù)公理3判定它們都在交線上．(2)選擇兩點(diǎn)確定一條直線，再證另一點(diǎn)在這條直線上．,一般地是先證明某兩條直線相交，然后再證明這個(gè)交點(diǎn)在其余直線上,只要證明這些點(diǎn)都是某兩平面