畢業(yè)論文--數(shù)學美在中學數(shù)學教育中的作用

1、<p>　　數(shù)學美在中學數(shù)學教育中的作用</p><p>　　Effect of the Beauty in Mathematics during the Education of middle School</p><p><b>　　摘 要</b></p><p>　　數(shù)學作為人類文化重要的組成部分，是一門有組織的，獨立而理性的

2、學科，在人類生活的各個領域發(fā)揮著重要的作用。怎樣學好數(shù)學，一直以來都是數(shù)學教育工作者關注的一個熱門話題。然而，我國中學數(shù)學教育現(xiàn)狀令人堪憂！體現(xiàn)在以下三個方面：一是傳統(tǒng)教學中錯誤意識難以改變；二是學生學習壓力沒有減輕；三是教師教學方式單調(diào)。</p><p>　　本文闡述了數(shù)學與美的關系，探討了數(shù)學的簡單美、對稱美、統(tǒng)一美和奇異美。對數(shù)學美在中學數(shù)學教育中的作用進行了分析，指出數(shù)學美是激發(fā)學習興趣的源泉，它有利于激

3、發(fā)學生學習數(shù)學、研究數(shù)學的積極性；數(shù)學美能培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力和獨創(chuàng)精神；數(shù)學美有助于提高學生的思維水平，提高學生分析解決問題的能力；數(shù)學美還能陶冶學生的思想情操。為了實現(xiàn)數(shù)學美在中學數(shù)學教育中的作用，本文就學生數(shù)學審美能力的培養(yǎng)提出了方法。作者希望通過探討數(shù)學的美學作用，使學生在學習過程中能感受到數(shù)學美，增加學習數(shù)學的樂趣，快樂的學習數(shù)學，老師能豐富教學方式，讓學生樂于學習數(shù)學，從而能進一步提高中學數(shù)學教育的效果和質(zhì)量。</p&g

4、t;<p>　　關鍵詞：中學；數(shù)學美；數(shù)學教育；作用</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　Mathematics as the important part of human culture, is an organized, independent and rational subject ,in the area

5、s of human life play an important role.How to learn maths well,mathematical education workers has long been a concern of a hot topic.Now, however, our country middle school mathematics education present situation worryin

6、g!Reflected in the following three aspects: the first, false consciousness is difficult to change in traditional teaching;the second students study pressure did not d</p><p>　　This paper expounds the relatio

7、n between mathematics and the beautiful, mathematics simple beauty, symmetric beauty, unified beauty and singular beauty are discussed.The role of beauty of mathematics in middle school mathematics education are analyzed

8、, it pointed out that the source of beauty is to stimulate interest in learning mathematics, it is helpful to inspire students' enthusiasm to study mathematics.Mathematical beauty can cultivate students' innovati

9、on ability and innovative spirit;Math</p><p>　　Key words:Middle school; mathematical beauty; mathematics education; effect</p><p><b>　　目 錄</b></p><p>　　摘要……………………………………

10、………………………………………………1</p><p>　　關鍵詞………………………………………………………………………………1</p><p>　　Abstract……………………………………………………………………………2</p><p>　　Key words………………………………………………………………………2</p><p>　　

11、一、問題提出的背景及意義…………………………………………………………5</p><p>　　（一）數(shù)學教育應該屬于每一個人…………………………………………………5</p><p>　?。ǘ┲袑W數(shù)學教育的現(xiàn)狀…………………………………………………………5</p><p>　　1.傳統(tǒng)教學中的錯誤意識難以改變…………………………………………………5</p>

12、<p>　　2.升學壓力沒有減輕…………………………………………………………………5</p><p>　　3.教師教學方式單調(diào)…………………………………………………………………6</p><p>　　二、數(shù)學的美…………………………………………………………………………6（一）數(shù)學與美………………………………………………………………………6</p><p&g

13、t;　　1.數(shù)學家與藝術……………………………………………………………………6</p><p>　　2.數(shù)學家論數(shù)學美……………………………………………………………………7</p><p>　　3.美的數(shù)學……………………………………………………………………………7</p><p>　?。ǘ?shù)學美的基本特征…………………………………………………………8</p

14、><p>　　1.簡單美………………………………………………………………………………8</p><p>　　2.對稱美………………………………………………………………………………9</p><p>　　3.統(tǒng)一美……………………………………………………………………………11</p><p>　　4.奇異美………………………………………………………

15、……………………12</p><p>　　三、數(shù)學美在中學數(shù)學教育中的作用………………………………………………14</p><p>　?。ㄒ唬?shù)學美是激發(fā)學習興趣的源泉 ………………………………………………14</p><p>　?。ǘ?shù)學美能培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力和獨創(chuàng)精神 …………………………………14</p><p>　?。ㄈ?shù)學美有助

16、于提高學生的思維水平 …………………………………………15</p><p>　?。ㄋ模├脭?shù)學美陶冶學生的思想情操 ……………………………………………15</p><p>　　四、數(shù)學審美能力的培養(yǎng)……………………………………………………………16</p><p>　　數(shù)學教育中培養(yǎng)數(shù)學審美能力的依據(jù)………………………………………16</p><

17、p>　　數(shù)學審美能力的培養(yǎng)…………………………………………………………17</p><p>　　1.提高數(shù)學教師的美學修養(yǎng)………………………………………………………17</p><p>　　2.挖掘教材中潛在的美學因素……………………………………………………17</p><p>　　3.數(shù)學教學中要為學生提供創(chuàng)造數(shù)學美的機會…………………………………17<

18、;/p><p>　　4.教師要有培養(yǎng)學生審美能力的熱情和耐心……………………………………18</p><p>　　數(shù)學美學方法與中學數(shù)學……………………………………………………18</p><p>　　1.數(shù)學美學方法在中學數(shù)學解題中的應用………………………………………18</p><p>　　2.總結(jié)…………………………………………………………

19、……………………20</p><p>　　參考文獻…………………………………………………………………………22</p><p>　　致謝…………………………………………………………………………………23</p><p>　　一、問題提出的背景及意義</p><p>　?。ㄒ唬?shù)學教育應該屬于每一個人</p><p>　

20、　眾所周知，數(shù)學最引人注目的特點是它的思維的抽象性、推理的嚴謹性和應用的廣泛性。對于數(shù)學地位的認識，并不是新問題。人們常說，數(shù)學是其他學科的基礎，是訓練邏輯思維能力的體操；也有人說數(shù)學是一種文化、一種思想，是今天作為科技工作者所必備的素質(zhì)；更有人直截了當?shù)卣J為，現(xiàn)代數(shù)學本身就是一種高科技、一種生產(chǎn)力。</p><p>　　數(shù)學是由于現(xiàn)實世界的需要而發(fā)展起來的，數(shù)學絕不是什么符號游戲，而是人類生活、生產(chǎn)經(jīng)驗的總結(jié)。

21、生活需要數(shù)學，生產(chǎn)需要數(shù)學，科學技術需要數(shù)學，社會的發(fā)展需要數(shù)學，而作為現(xiàn)實社會的每一個人，不論是工程師、藝術家、普通工作人員等都必須掌握一定的數(shù)學，并能為自己的需要服務，而這種服務的本身就是對生產(chǎn)發(fā)展和社會進步的促進。學校進行數(shù)學教育的目的就是為了每一個人都能夠?qū)W習數(shù)學、了解數(shù)學。正如荷蘭數(shù)學教賴登塔爾說的：“數(shù)學源于現(xiàn)實，就必須寓于現(xiàn)實，并且用于現(xiàn)實”?！皵?shù)學是屬于所有人的，因此我們必須將數(shù)學教給所有人”。</p>&

22、lt;p>　?。ǘ┲袑W數(shù)學教育的現(xiàn)狀</p><p>　　1.傳統(tǒng)教學中的錯誤意識難以改變</p><p>　　新中國成立后，我國教育對于數(shù)學的要求越來越高。到現(xiàn)在還有很多人認為學好數(shù)理化，走遍天下都不怕，這足以看清楚數(shù)學教育在中國人意識中的地位。由于歷史原因，我國的教育初期對數(shù)學教育的要求格外苛刻，認為數(shù)學是一切知識的基礎。對數(shù)學教育的重視是非常正確的。但是中國的數(shù)學教育方式卻沒

23、有吸取其它先進國家的經(jīng)驗，而是強行將傳統(tǒng)的“頭懸梁”、“錐刺股”的教育方式與數(shù)學課程聯(lián)系起來，認為只有死記硬背才能夠真正掌握這門學科。這是我國數(shù)學教育存在的最大問題。數(shù)學作為一門科學學科，它具有開發(fā)學生智力，提高學生思維能力的作用，這是其他學科無法替代的?？墒窃趥鹘y(tǒng)的教學中，如果過分地強調(diào)機械學習，那么即使得到了高分，也不能培養(yǎng)出社會需要的人才，僵化的教學和學習模式，必然會給教育帶來很大的隱患。</p><p>

24、　　2.升學壓力沒有減輕</p><p>　　隨著我國教育的不斷發(fā)展，很多教育家意識到我們數(shù)學教育存在的問題，提出了減負概念。雖然這種觀念的初衷是好的，但是在實施過程中卻出現(xiàn)了偏差，這主要是因為升學思維沒有發(fā)生一點改變，家長和學校對學生的升學理念從來沒有發(fā)生改變，這些都導致了“減負”成為幌子，教育過程沒有發(fā)生實質(zhì)性的改變。中國人雖然知道“范進中舉”是很好笑的事情，但是卻看不到自己對學生的要求，也正是要培養(yǎng)這樣的“

25、人才”。試想一下，這樣下去，我們的教育還會長久嗎？我們的學校培育出來的學生，能夠真正適應將來社會的考驗和國際形式發(fā)展的考驗嗎？答案是明確的，“高分低能”的學生在我國已經(jīng)大量存在了，這樣的教育模式下，教育改革勢在必行。</p><p>　　3.教師教學方式單調(diào)</p><p>　　目前很多數(shù)學教師在講課過程中，過分注重“講”，而忽略了學生反饋。教學過程包括老師的“講述”和學生的“反饋”，缺一

26、不可。一些年輕、教學經(jīng)驗不豐富的老師，在講課過程中，要求學生對知識進行死記硬背，而不是通過細心講解，讓學生吃透知識。這對于學生的發(fā)展是非常不利的，嚴重影響了學生對數(shù)學知識中公式的理解，學生不明白公式的來歷，不能夠去推導公式的組成，這樣不僅會造成課堂的乏味，而且導致學生的學習成績難以提高。</p><p>　　數(shù)學作為人類文化重要的組成部分，是一門有組織的，獨立而理性的學科，在人類生活的各個領域發(fā)揮著重要的作用。怎

27、樣學好數(shù)學，一直以來數(shù)學教育工作者關注的一個熱門話題。我國正進行著課程的改革，數(shù)學教學目的也發(fā)生著重大的變化。我國著名數(shù)學家徐利治說：“數(shù)學教學的目的之一，應當是使學生獲得對數(shù)學的審美能力，即能使學生增進對數(shù)學美的主觀感受能力，學生的學習應該是主動的，富有美感的智力活動，學習材料的興趣和帶來美的愉悅和享受是推動學習的最好動力?！?lt;/p><p>　　本文將從數(shù)學與美的關系出發(fā)，結(jié)合數(shù)學美的特征，在新課標的指導下，

28、運用舉例法挖掘數(shù)學教材以及生活中的美學因素。著重從新課標所關注的思維，情感態(tài)度及數(shù)學價值觀三個方面闡述數(shù)學美對數(shù)學教育的作用，從而說明數(shù)學審美教育的重要性，并指出教師開展審美教育的多種途徑。</p><p><b>　　二、數(shù)學的美</b></p><p><b>　?。ㄒ唬?shù)學與美</b></p><p><b&g

29、t;　　1.數(shù)學家與藝術</b></p><p>　　歷史上許多數(shù)學家與藝術有不解之緣，成為引人注目的歷史現(xiàn)象。</p><p>　　在古代，可以說這一現(xiàn)象更為典型。在古希臘時，亞里士多德、柏拉圖、德謨克利特等人的著作中，許多既是杰出的科學和哲學著作，又是優(yōu)秀的藝術著作，尤其是畢達哥拉斯學派中的許多成員，他們不僅僅是一批著名的數(shù)學家、物理學家、天文學家，同時他們還研究音樂和繪畫

30、，被稱為最早用自然科學觀點看待美學的美學家。</p><p>　　畢達哥拉斯是音樂理論的一位始祖，他闡明了單弦的調(diào)和樂音與單弦弦長之間的關系，并發(fā)現(xiàn)單弦所發(fā)出的聲音取決于弦的長度，繃得一樣緊的弦若其長度乘整數(shù)比時，就會發(fā)出諧音。歐幾里得、普托拉米等數(shù)學家也寫過音樂方面的著作，研究過諧音的配合，而且還制訂過音階。</p><p>　　達·芬奇既是文藝復興時期的一位大畫家，同時又是一

31、位數(shù)學家，著名的“黃金分割”的名稱就是出自這位畫家之口。他曾說：“一個人如懷疑數(shù)學的極端可靠性就會陷入混亂”，他非常贊同數(shù)學的說明和論證。</p><p>　　大科學家克斯韋爾是另一位同時具備數(shù)學才能和寫詩才能的代表。俄國卓越的女數(shù)學家柯瓦列夫斯卡婭既能寫小說，又能寫劇本。20世紀最優(yōu)秀的數(shù)學家之一馮·諾依曼也是博才多藝，他除了是語言學家外，還極愛喜劇。我國著名的數(shù)學家華羅庚、蘇步青、李國豪的書法也是我

32、國學術界為人所知的。</p><p>　　這里，我們不是想由所列舉的歷史現(xiàn)象得出凡數(shù)學家同時是藝術家的結(jié)論，只是想提出數(shù)學與美學之間究竟有些什么聯(lián)系的問題。也許，數(shù)學家自己關于數(shù)學與美學的論述還能直接說明一些問題。這正是我下面要介紹的。</p><p><b>　　2.數(shù)學家論數(shù)學美</b></p><p>　　古代哲學家、數(shù)學家普洛克拉斯曾斷

33、言：“哪里有數(shù)，哪里就有美?！?lt;/p><p>　　現(xiàn)代美國數(shù)學家克萊因?qū)?shù)學美描述為：“音樂能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學使人獲得智慧，科技可改善物質(zhì)生活，但數(shù)學卻能提供以上一切?！?lt;/p><p>　　懷特海德曾說：“只有音樂堪與數(shù)學媲美?！绷_素也說過：“數(shù)學，如果正確的看它，不但擁有真理，而且也具有至高的美，正像雕刻的美，是一種冷而嚴肅額美，這種美不是投合我

34、們天性的微弱的方面，這種美沒有繪畫或音樂那些華麗的裝飾，他可以純凈到崇高的地步，能夠達到嚴格的只有最偉大的藝術才能顯示的那種完滿的境地?！?lt;/p><p>　　馮·諾依曼也講過這樣的話：“我認為數(shù)學家無論是選擇題材還是判斷成功標準主要都是美學的?！彼终f：“數(shù)學思想來源于經(jīng)驗，我想這一點是比較接近真理的，真理實在太復雜了，對之只能說接近，別的都不能說。雖則經(jīng)驗和數(shù)學思想之間的宗譜，有時既長又不明顯，但是

35、，數(shù)學思想一旦被這樣構思出來，這門學科就開始經(jīng)歷它本身所特有的生命，把它比作創(chuàng)造性的，受幾乎一切審美因素支配的學科，就比把他比作別的事物特別是經(jīng)驗科學要更好一些?！?lt;/p><p><b>　　3.美的數(shù)學</b></p><p>　　首先，我們來看一組數(shù)字美</p><p>　　1·9+2=11

36、 9·9+7=88</p><p>　　12·9+3=111 98·9+6=888</p><p>　　123·9+4=1111 987·9+5=8888</p><p>　　1234·9+5=11111

37、 9876·9+4=88888</p><p>　　··· ···</p><p>　　1·1=1 9·9=81</p><p>　　11·11=121

38、 99·99=9801</p><p>　　111·111=12321 999·999=998001</p><p>　　1111·1111=1234321 9999·9999=99980001 </p><p>　　·&#

39、183;· ···</p><p>　　再看一組圖形美（如圖2-1）</p><p><b>　　圖2-1</b></p><p>　　當然，美的數(shù)學數(shù)學更表現(xiàn)在更為廣泛的方面。</p><p>　　感受到自然和人類，并用美麗的

40、語言去謳歌她，這就是詩歌；用美麗的色彩和筆調(diào)去描述她，這就是繪畫；用美麗的音符和旋律去表現(xiàn)她，這就是音樂；感受到存在于數(shù)和圖形之間的美，并在理智引導下的證明去表現(xiàn)她，這就是數(shù)學。</p><p>　　高懸的日月，奇異的地貌，五彩繽紛的世界，甚至生物的活動中都有許多美麗的地方，至于人類生活中就有更多美麗的東西了。這些“美”的東西里面竟深藏著許多數(shù)學的奧妙，這就是“美”中的數(shù)學。</p><p&g

41、t;　　例如，人們最常見的植物葉片、花瓣，都是呈規(guī)則的幾何圖形。再如，經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)成年人人體分高、中、低三等身材，其中中等男人軀干部分寬與高的比是1:1.61878。三種人平均計算其比為1:1.61.盡管世界各地各種族間人體高差別很大，但軀干部分的寬與高之比都接近于1:1.618。</p><p>　　中等男子的軀干大概是最美的了。在古希臘，門窗的寬與高之比如果等于0.618就被認為是最美的，就好像人的軀干一樣。此

42、外，人體中還有眾多的部分為1:1.618.因而人體是最有美感的。</p><p>　　數(shù)學是從自然界中抽象出來的，然而，柏拉圖認為：“神永遠是按幾何規(guī)律辦事的，世界是按數(shù)學的定律設計的，數(shù)學是最完美的，數(shù)學處于主宰的地位，感官所認識的世界是不完美的、不持久的?！蔽译m然不能贊成這種夸大了的甚至是顛倒了的觀點。但是我認為，數(shù)學是來自自然的美的科學，同時，數(shù)學作為科學，她本身又顯示出耀眼的科學美。</p>

43、<p>　?。ǘ?shù)學美的基本特征</p><p>　　和任何美感一樣，數(shù)學美具有強烈的感性色彩，不是虛無縹緲、不可捉摸，而是有其確定內(nèi)容的，它的基本特征是相對穩(wěn)定的，具有簡單性、對稱性、統(tǒng)一性和奇異性。</p><p><b>　　1.數(shù)學的簡單美</b></p><p>　　簡單美又稱簡潔美，是數(shù)學美的重要標志。數(shù)學理論的過人之

44、處，就在于能用最簡單的方式解釋現(xiàn)實世界中的量及關系的規(guī)律性。龐加萊說過：“簡單性就是一種美?！?lt;/p><p>　　我們?nèi)粘Ｋf“這個解法很美”，這里所說的“美”，則往往就包括了簡單性的含義。對此，狄德羅曾指出：“數(shù)學中所謂美的解答則是指一個困難、復雜問題的簡單回答?！瘪T·諾依曼指出：“人們要求一個數(shù)學定理或數(shù)學理論，不僅能用簡單和優(yōu)美的方法對大量的先天彼此毫無聯(lián)系的個別情況加以描述，并進行分類，而且也

45、期望它在建筑結(jié)構上優(yōu)美?！?lt;/p><p>　　例如，對于數(shù)學表達式來說，所含符號較少，結(jié)構簡單、醒目，直觀性強，但它卻概括了直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線五中曲線方程，這就體現(xiàn)了數(shù)學關系式的簡單性。</p><p>　　又如相對論的數(shù)學公式，是那樣的簡潔明了，它指導人們許多年的實驗，給人開辟新的能源——核能。</p><p>　　簡單性充分表現(xiàn)在數(shù)學符號的運用、數(shù)

46、學的抽象形式與抽象方法、數(shù)學的解題方法與技巧上面?？梢哉f簡單性充滿了整個數(shù)學。</p><p><b>　　例如常見的數(shù)學符號</b></p><p>　　等，它們?nèi)绱撕啙?，使人們明白無誤。</p><p>　　表示7個12相乘，固然形式更為簡潔，又使這些表示具有了更為復雜的內(nèi)容，不然用普通語言來敘述是這么麻煩。</p><

47、p>　　不太常見的數(shù)學符號，表示不超過的素數(shù)的個數(shù)，人們將歌德巴赫猜想證明的進程，分別用（9+9），（7+7)，(6+6)，...，（3+3）以及（1+9），（1+5），...，（1+2）等來表示，這樣簡單又明確。</p><p><b>　　2.數(shù)學的對稱美</b></p><p>　　對稱美又稱勻稱美。對稱，是自然中萬物具有的共性之一。對稱的圖案，對稱的建筑

48、物，這是到處可見的。繪畫中利用對稱，文學作品中也使用對稱手法。</p><p>　　數(shù)學中的對稱有點對稱、線對稱、面對稱。球形既是點對稱又是線對稱，還是面對稱，古代希臘數(shù)學家畢達哥拉斯認為：“一切立體圖形中最美的是球形，一切平面圖形中最美的是圓形?！边@種贊譽，其原因可能主要是基于球形、圓形的對稱性、勻稱性。</p><p>　　二項式展開也顯示出一種對稱美：</p><

49、p>　　與二項式展開式系數(shù)相關聯(lián)的楊輝三角更是組成一個美麗的對稱圖案：</p><p><b>　　1 1</b></p><p><b>　　1 2 1 </b></p><p>　　1 3 3 1 </p><p>　　1 4 6 4 1 </p><

50、;p>　　1 5 10 10 5 1 </p><p>　　1 6 15 20 15 6 1 </p><p>　　1 7 21 35 35 21 7 1</p><p><b>　　···</b></p><p>　　下面兩個集合運算中的公式的對稱

51、性也是很優(yōu)美的：</p><p>　　同時，可進一步推廣為：</p><p>　　許多互逆的運算之間存在著對稱性。作為一個例子我們再舉出對數(shù)運算與指數(shù)運算的兩個式子，其中表示。</p><p>　　再如，數(shù)列極限問題。我們知道數(shù)列</p><p>　　存在極限的“”說法如下：“對任何，有某，使任何”</p><p>　

52、　那么，數(shù)列不存在極限應該怎么說呢？即上述說話的否定形式應該是怎樣的呢？實際上有一種簡單的對稱說法，我們只要將上述說法中的“任何”兩字換成“某”，而將“某”字換成“任何”兩字，然后將最后的不等式改換，變成：“有某，對任何，有某”</p><p>　　這就是說，數(shù)學中常見的對稱性，既有概念的對稱，如：三角形的內(nèi)切圓，圓的內(nèi)接三角形，四面體的內(nèi)切球，球的內(nèi)接四面體；又有性質(zhì)的對稱性，如：</p><

53、;p>　　等，以及法則、公式的對稱性，圖像的對稱性等。</p><p><b>　　3.數(shù)學統(tǒng)一美</b></p><p>　　統(tǒng)一美又稱為和諧美，數(shù)學中部分與部分，部分與整體之間往往追求和諧統(tǒng)一。</p><p>　　i 是最簡單的虛數(shù)，它是一個虛數(shù)單位，就好比1是一個實數(shù)單位一樣，1和i是兩個最簡單的數(shù)。從另一方面看，人類曾經(jīng)長期捉摸

54、不透的又有兩個數(shù)，知道19世紀后半葉，才發(fā)現(xiàn)它們還是超越數(shù)，當然可謂是最復雜的數(shù)了。</p><p>　　這兩個最簡單的數(shù)1和i，同兩個最復雜的數(shù)看來，他們彼此缺乏聯(lián)系，似乎毫不沾親帶故，但后來發(fā)現(xiàn)它們四個數(shù)竟然可以統(tǒng)一在一個式子里：</p><p>　　數(shù)學的統(tǒng)一性使人感嘆不已。統(tǒng)一性確實是數(shù)學美的重要特征之一，而且也是數(shù)學追求的目標之一。</p><p>　　人

55、們總是力圖把簡潔美與統(tǒng)一美聯(lián)系起來，我們考察一些事例，最簡單的運算當然是加法了。</p><p>　　引進了負數(shù)后，減法可以統(tǒng)一為加法。引進了倒數(shù)后，除法可以統(tǒng)一為乘法。而引進了對數(shù)后，乘法與除法又可以統(tǒng)一為加法，這樣，有了對數(shù)，乘方、開方等也都可以歸結(jié)為乘法，從而最終歸結(jié)為加法。甚至，微積分的近似計算，微分方程的近似求解等也可歸結(jié)為加法。</p><p>　　原來，在如此眾多的運算之間也

56、存在統(tǒng)一性，而且在一定條件下統(tǒng)一在最簡單的加法上。</p><p>　　在數(shù)學的各科中，我們到處可舉出這些由“小統(tǒng)一”到“大統(tǒng)一”的范例。而且不同形式的公式可統(tǒng)一為同一個公式，不同類型的問題可統(tǒng)一為統(tǒng)一形式的問題。</p><p>　　從自然數(shù)之后陸續(xù)產(chǎn)生新數(shù)，先是負整數(shù)、0、分數(shù)，然后是無理數(shù)、虛數(shù)。但這些數(shù)都統(tǒng)一在復數(shù)系內(nèi)，實數(shù)系成了復數(shù)系的一部分。</p><p&

57、gt;　　復數(shù)是形如的數(shù)，其中為實數(shù)；實數(shù)則形如。怎么說實數(shù)系是復數(shù)系的一部分呢？實際上，實數(shù)集與復數(shù)集的子集之間不僅存在一一對應關系，而且對于實數(shù)的加法和復數(shù)的加法而言，由和，可推知。用熟知的術語說，集合和之間存在同構關系。對實數(shù)集上的乘法而言，也存在同構關系。因此，集合和可以看作是同一個東西，所以我們把實數(shù)系視為復數(shù)系的一部分。這是按同構的觀點把實數(shù)納入復數(shù)的。</p><p>　　同構成為統(tǒng)一代數(shù)結(jié)構的重要

58、概念，比同構更寬的是同態(tài)概念。在同構概念下，“許多”空間可視為同一個空間。</p><p>　　同構的觀念屬于近世代數(shù)的范疇，其實早在萊布尼茲時代就提出過“類似”的概念，與同構相似。追求統(tǒng)一美不是近代數(shù)學家開始的。</p><p>　　畢達哥拉斯時代把一切統(tǒng)一于數(shù)而且是統(tǒng)一于自然數(shù)，乃至一切起源于“1”。</p><p>　　然而，柏拉圖和隨后的歐幾里得，則以幾何學

59、為主體統(tǒng)一數(shù)學。這時，代數(shù)問題也以幾何形式并用幾何語言表達，例如，是面積為A的正方形的邊長，則是長、寬分別為的矩形面積。這樣，二次代數(shù)方程</p><p>　　求解的問題就都可以用幾何語言來表述，體現(xiàn)出以幾何為主體的統(tǒng)一。</p><p>　　數(shù)學作為一門具有2600多年發(fā)展史的古老學科，它似乎本身就具有被統(tǒng)一的特性。然而到20世紀初，隨著數(shù)學的不斷發(fā)展，眾多的數(shù)學分支出現(xiàn)，以至于一個人要

60、弄清楚全部數(shù)學的幾分之一也是困難的，甚至同是數(shù)學家，由于各自朝不同的分支走去，也會使得彼此之間缺乏了解。數(shù)學的統(tǒng)一性會不會使人懷疑呢？20世紀的第一年，希爾伯特曾作了有意義的回答。他在舉出了一些例子之后說：“他們已經(jīng)充分顯示今日的數(shù)學科是何等豐富多彩，何等范圍廣闊！我們面臨著這樣的問題：數(shù)學會不會遭到像其他有些科學那樣的厄運，被分割成許多孤立的分支，它們的代表人物很難互相理解，它們的關系變得更松懈了？我不相信會有這樣的情況，也不希望有這

61、樣的情況。我認為，數(shù)學科學是一個不可分割的有機整體，它的生命力正是在于個部分之間的聯(lián)系。盡管數(shù)學知識千差萬別，我們?nèi)匀磺宄匾庾R到：在作為整體的數(shù)學中，使用著相同的邏輯工具，存在概念的親緣關系，同時，在它的不同部分之間，也有大量相似之處，我們還注意到，數(shù)學理論越是向前發(fā)展，它的結(jié)構就變得越加調(diào)和一致，并且，這門科學一向相互隔絕的分支之間也會顯露出原先意想不到的關系。因此，隨著數(shù)學的發(fā)展，它的有機特性不會喪失，</p>&l

62、t;p><b>　　4.數(shù)學的奇異美</b></p><p>　　奇異美又稱奇特美。對稱、均勻、統(tǒng)一，這些反應數(shù)學的協(xié)調(diào)、調(diào)和；但如果僅僅是這樣，則數(shù)學必然顯得單調(diào)，數(shù)學只有出現(xiàn)奇異，人們認識奇異，尋求新的和諧統(tǒng)一，數(shù)學才能發(fā)展，因此數(shù)學這幅圖畫的完整的美無疑還應包括它的奇異性。</p><p>　　我們已經(jīng)知道，最早無理數(shù)的出現(xiàn)，虛數(shù)的出現(xiàn)，人們感到奇異，不可

63、理解。當然，今天沒有人非議了。17世紀，費爾馬曾猜想，所有形如的數(shù)都是素數(shù)。到18世紀，歐拉指出當時，就不是素數(shù)。這就證明費爾馬的猜想錯了。至此，人們似乎完全可以忘記形如這一類數(shù)了。但是，1796年竟然出現(xiàn)了一個奇跡，19歲的高斯證明了正十七邊形可用圓規(guī)和直尺作出，然而17正是！</p><p>　　公元前，人類就會作正三角形、正五邊形。但是，用圓規(guī)、直尺作正十七邊形、正十一邊形的嘗試都失敗了。1796年高斯作出

64、了正十七邊形，這是多么奇異而令人震驚的大事啊！據(jù)說高斯為這一奇異的發(fā)現(xiàn)所鼓舞，而選擇數(shù)學作為自己的終身職業(yè)。</p><p>　　接著，高斯還證明了這樣奇妙的定理：凡邊數(shù)為費爾馬素數(shù)的正多邊形必可用圓規(guī)、直尺作出。當邊數(shù)為數(shù)學而非費爾馬素數(shù)時，這樣的正多邊形不能用圓規(guī)、直尺作出。例如，正七邊形、正十一邊形、正十三邊形等不能用圓規(guī)、直尺作出。</p><p>　　對于數(shù)學中的這種奇特性，肯定

65、不只是高斯一個人感受到其中的美。數(shù)學的美必定是以真為基礎的。費爾馬說形如的數(shù)都是素數(shù)，這是失真了，就此而言，費爾馬猜想似乎無美可言，但這種數(shù)卻包含了另一個令人意向不到的科學真實，人們由此獲得的美感更為濃郁。</p><p>　　誰曾料到，公元前4世紀歐多克斯研究過的黃金分割，到20世紀50年代被基弗用于優(yōu)選法，黃金分割還蘊藏著如此奇異的特性。</p><p>　　誰曾想到，公元前3世紀阿波

66、羅尼斯研究過的圓錐曲線，會在兩千年之后倍開普勒用來描述行星的運動，而太陽正處于那曲線的焦點上。</p><p>　　以上是相距遙遠的呼應，從而顯示特殊的奇異色彩。1820年，伽羅華為研究代數(shù)方程求根公式而引進群的概念，誰曾料到，一百多年之后物理學的基本原理可以用群的概念來表示，1826年以后誕生的非歐幾何，又有誰能料到，愛因斯坦竟用它們來創(chuàng)立相對論學說。</p><p>　　也沒有誰想到2

67、0世紀30年代建立的數(shù)理邏輯會成為后來數(shù)學計算機的基本工具。</p><p>　　統(tǒng)一，協(xié)調(diào)，再加上新奇，這幅美麗的圖畫就會更加光彩奪目。</p><p>　　當人們認為一切函數(shù)都是連續(xù)的時侯，這種奇異性的發(fā)現(xiàn)，反而使人們對連續(xù)性的美妙看得更加清楚了。</p><p>　　同樣，當人們把可微與連續(xù)看做是一回事的時候，絕不會感到可微有什么新的特色可供欣賞。然而，當處處

68、不可微的連續(xù)函數(shù)呈現(xiàn)在我們面前時，那是多么令人激動不已呵！當然，對于某些看慣了連續(xù)與可微是同一色調(diào)的圖畫的人來說，可能會有一段時間對新的奇異的發(fā)現(xiàn)感到刺眼，但這不是這幅圖畫本身的問題。</p><p>　　牛頓—萊布尼茲積分從一開始直到很長時間內(nèi)都被認為是暢行無阻的。但當?shù)依死鬃鞒龊瘮?shù)</p><p>　　原有的積分就失靈了。這種奇異現(xiàn)象給積分帶來新的生機，人們開始創(chuàng)立新的積分，以解決更

69、廣一類的函數(shù)的積分，且積分問題與測度問題緊密聯(lián)系在一起。勒貝格測度產(chǎn)生之后，新的勒貝格積分也產(chǎn)生。正當人們感到這種積分的對象是無所不包的時候，在勒貝格意義下不可測的集合被發(fā)現(xiàn)，從而勒貝格積分包羅萬象的格局又被打破。新的積分，如彼隆積分、丹若阿積分又相繼出現(xiàn)。數(shù)學世界豐富多彩，五光十色，如果沒有了奇異性，那將黯然失色。</p><p>　　我們曾看到各種各樣的奇異點：幾何的、代數(shù)的、分析的；我們還看到各種各樣的奇異

70、解：奇異數(shù)、奇異函數(shù)、奇異級數(shù)、奇異積分、奇異方程、奇異算子......</p><p>　　對于代數(shù)方程，二次的有求根公式，三次有求根公式，四次有求根公式，五次時發(fā)生斷裂了，一般求根公式?jīng)]有了。</p><p>　　對于歐氏公設，第一公設至第四公設的獨立性未曾引起注意，第五公設引起長時期的探索，居然發(fā)現(xiàn)將第五公設改換一下也可以，甚至導致新的幾何學誕生。</p><p&

71、gt;　　被馬克思譽為“英國唯物主義和整個現(xiàn)代實驗科學的正真始祖”的弗蘭西斯·培根：“沒有一個極美的東西不是在調(diào)和中有著某些奇異！”數(shù)學這種“東西”正是調(diào)和中有著許許多多的奇異現(xiàn)象。</p><p>　　至此，我們已經(jīng)看清楚了數(shù)學的和諧性（簡潔、統(tǒng)一、對稱等）與奇異性的辯證關系。</p><p>　　奇異性的出現(xiàn)，似乎是對和諧性的沖擊。但是，隨著人的認識深化，新的更高層次的和諧被

72、發(fā)現(xiàn)，奇異的色彩被糅合到更美的和諧中去了。也許，新的奇異又將出現(xiàn)，再達到新的和諧境地，如此循壞往復，以至美不勝收，美妙無比。</p><p>　　三、數(shù)學美在中學數(shù)學教育中的作用</p><p>　　數(shù)學課程改革特別強調(diào)要改變傳統(tǒng)的中學數(shù)學觀和中學數(shù)學教育觀，要用新的數(shù)學觀來認識數(shù)學和用新的數(shù)學教育觀來指導中學數(shù)學教學，從而提高學生的數(shù)學素養(yǎng)和促進數(shù)學素質(zhì)教育的開展。數(shù)學觀的一個重要方面就

73、是數(shù)學是一種文化，它有豐富的人文價值和美學價值。數(shù)學教育觀的要求之一是中學數(shù)學教學要和數(shù)學的審美結(jié)合起來，使數(shù)學教學過程既是學生學習數(shù)學知識的過程，又是對數(shù)學美的鑒賞過程。</p><p>　　在社會生活中，人們通過自然美、社會美、科學美的途徑可以美化精神。美育對使學生樹立正確的審美觀,提高學生的審美能力，塑造學生完善的人格，促進學生的全面發(fā)展,都起著非常重要和積極的作用。數(shù)學美的作用，主要體現(xiàn)在下面幾個方面:&

74、lt;/p><p>　　（一）數(shù)學美是激發(fā)學習興趣的源泉</p><p>　　興趣是思維的動因,是強烈而又持久的學習動機。沒有絲毫興趣的強制性學習,將會扼殺學生探求真理的欲望，只有學生熱愛數(shù)學，才能產(chǎn)生積極持久的學習動力。因此,教師應當充分挖掘中學數(shù)學教材的美學因素,應把數(shù)學教學組織成發(fā)現(xiàn)數(shù)學美，鑒賞數(shù)學美，創(chuàng)造數(shù)學美的過程,運用數(shù)學美引起學生深厚的學習興趣。學生只有在數(shù)學美學方法中才能體會到

75、數(shù)學的魅力不僅在于形式的簡潔，和諧與優(yōu)美，更在于嚴密的結(jié)構和邏輯推理。數(shù)學美的這種強烈感染力，能激發(fā)學生主動學習數(shù)學的動力。</p><p>　?。ǘ?shù)學美能培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力和獨創(chuàng)精神</p><p>　　正如著名科學家錢學森教授所說：“美是主觀實踐與客觀實際交互作用以后的主觀和客觀的統(tǒng)一。假如做到了這一點,那么人就感到是美的,而這種相互作用是通過思維來實施的。所以，研究美學對思維科學

76、是有啟發(fā)的,而思維科學的成就也會有助于美學的研究?！睌?shù)學美對數(shù)學家的數(shù)學發(fā)現(xiàn)在動力，方法，思維等方面都有巨大的作用，所以研究數(shù)學美是十分必要的。</p><p>　　使學生具有初步的創(chuàng)新精神和實踐能力已成為中學數(shù)學教育的一個重點，在學習過程中教會學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學具有獨特的美,可以促使學生喜歡數(shù)學，老師可以指引學生按照“美”的思想方法去探索“真”的數(shù)學知識，讓學生感受數(shù)學美，欣賞數(shù)學美，運用數(shù)學美，發(fā)展數(shù)學美。<

77、/p><p>　?。ㄈ?shù)學美有助于提高學生的思維水平</p><p>　　數(shù)學美與數(shù)學思維有著密切的聯(lián)系。數(shù)學審美教學有助于發(fā)展學生的數(shù)學直覺思維。數(shù)學發(fā)明創(chuàng)造的關鍵在于選擇數(shù)學觀念間的“最佳組合”，這種“最佳組合”往往是依靠美的直覺作出的。另一方面，數(shù)學美所具有的特征也是數(shù)學觀念間的“最佳組合”。因而正如錢學森教授所說,人們的審美與數(shù)學的直覺思維在數(shù)學美的基礎上是統(tǒng)一的。審美和數(shù)學的直覺思

78、維在追求數(shù)學真理的功能上是統(tǒng)一的。因此，審美與數(shù)學直覺思維在生理機制上也是一致的。數(shù)學審美教學也有助于發(fā)展學生的形象思維。形象思維是借助于圖形或表象為支柱的思維。數(shù)學美具有形象性的特征。如一個處處對稱的圓，等邊三角形，平行線，符合黃金分割的矩形，都是優(yōu)美的圖形，有著明顯的形象性。數(shù)形結(jié)合的解析幾何，給人們以動態(tài)的優(yōu)美的形象等。</p><p>　　另外，數(shù)學審美教學還可以培養(yǎng)學生的聯(lián)想思維能力，發(fā)散思維能力，從而

79、培養(yǎng)學生的數(shù)學創(chuàng)造力。在學習過程中，出于數(shù)學美的考慮將數(shù)學的簡潔美，對稱美與問題的條件或結(jié)論相結(jié)合，然后在從知識經(jīng)驗與數(shù)學美的引導，可以找到解決問題的突破口，使問題得到完美解決。于是美的啟示就能大大促進學生邏輯思維的發(fā)展，幫助學生提高分析解決問題的能力，使學生體會到數(shù)學美的作用，從而使課堂展現(xiàn)出更強的活力和魅力。</p><p>　?。ㄋ模├脭?shù)學美陶冶學生的思想情操</p><p>　　

80、數(shù)學美的研究是一個時時探索又時有新意的課題，對數(shù)學美的深入和全面的認識，無論是改善中學數(shù)學教學，還是促進數(shù)學的創(chuàng)造、發(fā)明都有重要的意義。研究數(shù)學美，旨在比較、借鑒前人的研究成果的基礎上，提出數(shù)學審美教學的策略并結(jié)合教學實際探索，從而激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，啟迪學生的思維活動，并幫助學生深化理解數(shù)學知識,陶冶思想情操。因此，數(shù)學的審美教育具有潛在的思想教育功能。通過數(shù)學思想和精神提升人的精神生活，培養(yǎng)既有健全的人格，又有生活技能，明確生活

81、目標的人。數(shù)學美是美的高級形式，但是青少年受閱歷、知識的局限，還不具備足夠的知識素養(yǎng)，不可能輕易地感受和意識到。這就需要教育工作者要不斷提高自身的專業(yè)知識水平和美學修養(yǎng)，有意識的培養(yǎng)學生對數(shù)學美感的直覺，引導學生按照美的規(guī)律去發(fā)現(xiàn)美、感受美、鑒賞美,進行審美教育，提高審美能力，培養(yǎng)審美意識。通過情感教育培養(yǎng)學生以自己的知、意、情去追求客觀世界的真、善、美，培養(yǎng)學生良好的個性品質(zhì)和形成他們正確的人生觀、完美的世界觀。</p>

82、<p>　　在講課過程中，可以向?qū)W生介紹我國古代數(shù)學家的的歷史故事。例如，著名數(shù)學家陳景潤對數(shù)學的著迷，不論吃飯，睡覺，白天，黑夜都不停的在思考數(shù)學問題，就是在文革時期，沒有桌椅，沒有稿紙，沒有電燈的情況下，還仍然拼命學習。當然這不是要學生從形式上去模仿陳景潤，而是學習他執(zhí)著的學習的精神，對學生進行愛國主義教育。通過數(shù)學美的鑒賞和創(chuàng)造可以培養(yǎng)學生高尚的審美情趣,陶冶學生的思想情操。</p><p>　

83、　總之，以上足以說明數(shù)學美的因素無論對于數(shù)學教師的“教”，還是對于學生們的“學”，無疑都是極其重要、有意義的。在數(shù)學教學中，要更多的挖掘出教材中的美學因素，使學生靈活運用數(shù)學知識，活躍數(shù)學思維，提高學生分析解決數(shù)學問題的能力。</p><p>　　四、中學數(shù)學審美教育</p><p>　　審美能力的培養(yǎng)，即培養(yǎng)學生正確的審美觀點，發(fā)展他們感受美、鑒賞美和創(chuàng)造美的能力的教育。其基本任務包括：

84、培養(yǎng)學生正確的審美觀點，使他們具有感受美、鑒賞美和創(chuàng)造美的能力的知識和能力；培養(yǎng)學生藝術活動的技能，發(fā)展他們體現(xiàn)和創(chuàng)造美的能力；培養(yǎng)學生美好心靈和行為，使他們在生活中體現(xiàn)內(nèi)在美與外在美的統(tǒng)一。</p><p>　?。ㄒ唬?shù)學教育中培養(yǎng)數(shù)學審美能力的依據(jù)</p><p>　　學校教育的目的應該包含兩個基本方面，一個是傳授知識，一個是培養(yǎng)能力。對此，我們可以對我國教育目的進行簡單的歷史回顧：&

85、lt;/p><p>　　1982年，《中華人民共和國憲法》規(guī)定：“國家培養(yǎng)青年、少年、兒童在品德、智力、體質(zhì)等方面全面發(fā)展。</p><p>　　1986年，《中華人民共和國義務教育法》規(guī)定：“義務教育必須貫徹國家的教育方針，努力提高教育質(zhì)量，使兒童、少年在品德、智力、體質(zhì)等方面全面發(fā)展，為提高全民族素質(zhì)，培養(yǎng)有理想有道德、有文化、有紀律的社會主義的建設人才奠定基礎?！?lt;/p>

86、<p>　　1995年，《中華人民共和國教育法》規(guī)定：“教育必須為社會主義現(xiàn)代化建設服務，必須與生產(chǎn)勞動相結(jié)合，培養(yǎng)德、智、體等全面發(fā)展的社會主義事業(yè)的建設者和接班人?！?lt;/p><p>　　1999年，《中共中央國務院關于深化教育改革全面推進素質(zhì)教育決定》把教育目的表述為“以提高國民素質(zhì)為根本宗旨，以培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和實踐能力為重點，造就“有理想、有道德、有文化、有紀律”的、德智體美等全面發(fā)展的社會

87、主義事業(yè)建設者和接班人”。</p><p>　　2010年7月頒布的《國家中長期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要（2010—2020）》強調(diào)：“促進德育、智育、體育、美育有機融合，提高學生綜合素質(zhì)，使學生成為德智體美全面發(fā)展的社會主義建設者和接班人。</p><p>　　通過上面的歷史回顧，可以發(fā)現(xiàn)我國在1999年前，教育目的中并沒有提出“美育”的要求，而到2010年，我國在《國家中長期教育改革和發(fā)

88、展規(guī)劃綱要（2010—2020）》中明確提出“美育”的要求。由此可見，“美育”對我們?nèi)缃竦慕逃@得尤為重要。數(shù)學教育作為我國學校教育的重要內(nèi)容，當然應該按照我國法律規(guī)定的內(nèi)容去實施。在教育過程中，除了知識的傳授之外，更應該注重審美和創(chuàng)造美的能力的培養(yǎng)。對于數(shù)學美育的內(nèi)容已在前文中闡述過，為此，下面我講主要闡述，在數(shù)學教育中如何進行“美育”——數(shù)學審美能力的培養(yǎng)。</p><p>　?。ㄒ唬?shù)學審美能力的培養(yǎng)<

89、;/p><p>　　1.提高數(shù)學教師的美學修養(yǎng)</p><p>　　數(shù)學教師對數(shù)學美必須有強烈的感受，才能在數(shù)學中自覺進行審美教育，培養(yǎng)學生的審美能力。目前大多數(shù)數(shù)學教師缺乏系統(tǒng)的美育訓練，數(shù)學審美能力不強，缺乏審美意識，習慣抽象思維和邏輯推理，不善于形象思維和運用無概念的情感邏輯(包括生動的類比、豐富的想象和合理的假設等)。因而把數(shù)學課講得單調(diào)乏味，毫無數(shù)學美感可言。提高教師的教學藝術，讓教

90、師不僅有數(shù)學美的鑒賞力，還能設計優(yōu)美的數(shù)學問題，繪制精美的數(shù)學圖形，尋找優(yōu)美的解題方法，使用精煉的數(shù)學語言。只有這樣才能將抽象的數(shù)學理性形式中所包含的豐富的美學內(nèi)容揭示出來并展現(xiàn)在學生面前，使學生在五彩繽紛的數(shù)學奇境的漫游中，充分領略數(shù)學之美，受到良好的數(shù)學審美教育和提高自己的審美能力。</p><p>　　2.挖掘教材中潛在的美學因素</p><p>　　挖掘教材中潛在的美學因素，使學生

91、自覺認識什么是數(shù)學美，這是培養(yǎng)學生審美能力的關鍵。數(shù)學教材中有許許多多潛在的美學因素，例如，數(shù)學歸納法的和諧統(tǒng)一美，反證法與反例的奇異美，代換法的簡潔明快美，數(shù)學符號的簡單美，數(shù)學語言的精煉美，數(shù)學推理的完全美，數(shù)學定理的和諧美，數(shù)學構思的創(chuàng)新美等等。所有這一切教師都應當加以挖掘，并用自己的審美活動與審美觀去啟發(fā)學生的審美意識，去誼染學生的審美心境，使學生在美的熏陶下去領會數(shù)學美的含義,培養(yǎng)自己的數(shù)學審美能力。</p>&

92、lt;p>　　3.數(shù)學教學中要為學生提供創(chuàng)造數(shù)學美的機會</p><p>　　數(shù)學教學活動中，不僅要有教師創(chuàng)造數(shù)學美的機會，也要有學生創(chuàng)造數(shù)學美的機會。學生創(chuàng)造數(shù)學美的機會很多，例如，教學中要求學生繪制標準的圖形，編制合格的圖表，制作精美的模型和教具，改進一證明方法，壓縮證明過程，提出數(shù)學反駁，提出數(shù)學猜想等等。原則上在任何類型的數(shù)學課教學中，都存在學生創(chuàng)造數(shù)學美的機會，但尤以采用“發(fā)現(xiàn)法”教學和解題教學機

93、緣最好。發(fā)現(xiàn)法為學生提供了數(shù)學發(fā)現(xiàn)和數(shù)學創(chuàng)造的機會，而在解題教學中，學生可以進行多種形式的創(chuàng)造美活動，其中最能激起學生創(chuàng)美興趣的是按審美原則去鼓勵學生設計最優(yōu)解題方案和問題的最佳解答。因此，在解題教學中，教師應當為學生精心選擇題目，明確解題的審美要求。啟發(fā)學生思維，引導學生反復探索，直到作出有創(chuàng)美特征的解答來。在這里要防止學生僵硬的解題經(jīng)驗對創(chuàng)造性思維的阻礙和對追求數(shù)學美的活動的禁錮，注意鼓勵他們多向思維,努力尋找有美學特征的創(chuàng)造性解答

94、。</p><p>　　4.教師要有培養(yǎng)學生審美能力的熱情和耐心</p><p>　　教學是一種艱苦的勞動，培養(yǎng)學生的審美能力也是一種艱苦的勞動，而且是一種艱苦的創(chuàng)造性勞動。它不僅需要教師的智慧，還需要教師的熱情和對教育事業(yè)的執(zhí)著追求。只有熱愛學生的老師才能肥自己對學生的摯愛與對數(shù)學美的鑒賞力和熱愛之情傾注到教學之中，在課堂上創(chuàng)造出一種師生間和諧交往的氣氛，達到“以知識激學，以情激學，以美

95、激學”的境界，把教學過程變成為既是一個傳受知識的過程，又是一個審美教育的過程，讓學生理解數(shù)學美，品嘗數(shù)學美和追求數(shù)學美。</p><p>　?。ㄈ?shù)學美學方法與中學數(shù)學</p><p>　　人們對大數(shù)學家龐加萊關于數(shù)學發(fā)現(xiàn)（創(chuàng)造）的論述有很高的評價，龐加萊認為：數(shù)學創(chuàng)造的本質(zhì)就是在已知的數(shù)學事實所可能造成的新組合之中做出正確的選擇；由于從已有的概念、圖像、變換、結(jié)構等出發(fā)可以構造出不計其

96、數(shù)的新組合，而其中的大多數(shù)的卻是無用的，而且人們也不可能實際地去構造出每一個可能的組合，并逐一去檢查它們是否有價值，因此，數(shù)學發(fā)現(xiàn)的本質(zhì)就在于作出正確的選擇，而正確選擇的基礎在于直覺。龐加萊還認為：直覺是一種無意識的思維活動，在這種無意識的思維活動中，審美情感發(fā)揮著選擇作用，所以選擇的直覺經(jīng)常表現(xiàn)為美的直覺。</p><p>　　這里所說的數(shù)學美學方法，就是指在數(shù)學學習和研究中可以自覺地運用美學的思考去決定可能的

97、研究方向或?qū)?shù)學問題的解決作出判斷。與龐加萊關于審美感與無意識狀態(tài)下的作用相同。這里所說的美學方法其主要功能也是一種選擇的作用，而且是一種自覺的應用。</p><p>　　1.數(shù)學美學方法在中學數(shù)學解題中的應用</p><p>　　例1.已知半徑為的圓上有兩點，試確定當點位于圓上何處時，取最大值，并求出最大值。</p><p>　　分析：由于圓是對稱圖形，美的直覺啟

98、示我們，當點位于優(yōu)弧的中</p><p><b>　　點時,將最大。</b></p><p><b>　　解：如圖4-1所示</b></p><p>　　設分別是弧與弧上任一點， </p><p><b>　　，，，</b></p><p&g

99、t;<b>　　圖4-1</b></p><p>　　顯然，當點 C 在優(yōu)弧上移動時，的大小不變。故要使 S 最大只需最大，即也最大，這時點C應位于弧的中點。</p><p>　　在中，根據(jù)正弦定理得：，故 </p><p><b>　　例2.化簡</b></p><p>　　分

100、析：上式本身存在著一種和諧美，四個余切值排列整齊，角度逐漸增大， 每 </p><p>　　次增加，且首末兩項以及中間兩項角度之和為，因此化簡時，必須利用這種和諧關系，而采用重新組合的解題策略。</p><p><b>　　解：</b></p><p>　　例3.展開式中各項系數(shù)之和為 （ ）

101、</p><p>　　A.1024 B.512 C.8 D.1</p><p><b>　　解：令</b></p><p>　　本題實際是求，只要令，故選（D）。這是運用數(shù)學的簡單美。</p><p>　　例4.在等差數(shù)列中，，則為 （ ）</p&

102、gt;<p>　　A.200 B.75 C.30 D.100</p><p>　　解：因為，所以，，故選（D）。這里，通過觀察發(fā)現(xiàn)關系，這是數(shù)學的對稱美的運用。</p><p>　　例5.已知為有理函數(shù)，且，則</p><p>　　等于 （

103、 ）</p><p>　　A. B. C. D.</p><p>　　解：由于的次數(shù)不低于2次，所以的次數(shù)不低于4次，故選（C）。</p><p>　　例6.在已知，求證：</p><p>　　解：左邊為邊的關系，右邊為角的關系，顯然左右兩邊不協(xié)調(diào)、不和諧，為此,我們將設法將右邊化為左邊（統(tǒng)一為邊與

104、邊的關系），或?qū)⒆筮吇癁橛疫叄ńy(tǒng)一為角與角的關系），而這是不難辦到的，即</p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　這就完成了證明。</b></p><p><b>　　總結(jié)</b></p><p>　　我們在了解了數(shù)學美的內(nèi)涵，并掌握了在解題過程中感

105、知數(shù)學美的基本方法后，就會對數(shù)學美有了一個客觀的認識。我們在解決實際數(shù)學問題過程中就有可能會應用數(shù)學的美學方法。下面就通過怎樣的途徑運用數(shù)學美解決數(shù)學問題，進行總結(jié)：</p><p>　　（1）利用數(shù)學的簡潔美，尋求最佳解法</p><p>　　簡潔美是數(shù)學美的主要特征之一，它說明了數(shù)學總是追求邏輯的簡潔，推理的簡捷及解答的簡明。很多數(shù)學問題表面上看比較復雜，但其內(nèi)核往往都存在著簡單的一面

106、，一般情況下我們都能夠用簡潔的方法對復雜的數(shù)學問題進行轉(zhuǎn)化。例如對一些文字性的數(shù)學難題，我們可以在充分把握題目的情況下作出圖形，借助圖形的直觀性來解題。對一些數(shù)學難題可從反面著手，換一種角度找尋突破口。</p><p>　?。?） 利用數(shù)學的和諧統(tǒng)一美，啟迪解題思路</p><p>　　數(shù)學是一種具有統(tǒng)一美的學科，古希臘的數(shù)學融代數(shù)、幾何、算術于一體，是古代數(shù)學統(tǒng)一的代表?，F(xiàn)代數(shù)學各分支的

107、界限日趨模糊，各分支的交叉越來越廣泛和深入，這都說明了數(shù)學具有統(tǒng)一性。當我們要解決和諧性數(shù)學難題時，可以利用數(shù)學的統(tǒng)一性，來啟迪思路。例如，當遇到讓用多種方法證明一個命題時，就可以從數(shù)學的統(tǒng)一美出發(fā)，從幾何、代數(shù)等多種數(shù)學分支加以考慮。</p><p>　　（3）利用數(shù)學的對稱美，獲取解題思路</p><p>　　對稱美是數(shù)學美的外在特征，在數(shù)學題目中，數(shù)與形的對稱現(xiàn)象經(jīng)常出現(xiàn)，有的是形象

108、的，有的則是抽象的。在解決數(shù)學難題的程中，我們應該學會用對稱的眼光去分析問題，并利用數(shù)字或圖形的對稱獲得解題思路。實踐證明，對稱性的有效利用，可以使復雜的問題變得簡單有條理，往往能起到事半功倍的效果。</p><p>　?。?）利用數(shù)學的奇異美，尋找突破口</p><p>　　在解決數(shù)學問題時的一些奇思妙想，有時不僅有效而且還能讓人贊嘆不已，這就是數(shù)學獨特的魅力。某些數(shù)學問題，若進行奇異的