農夫的選擇數學建模論文

1、<p><b>　　摘要</b></p><p>　　本文主要對草場所能承受的羊群數量的問題提出規(guī)劃方案。分析題中所給數據可知，這是一個動態(tài)規(guī)劃問題。由于有限的草場資源限制能夠飼養(yǎng)的羊群數量的最大值，所以通過建立線性規(guī)劃模型，運用LINGO軟件求得最優(yōu)解，即在草場達到最大利用率的情況下，找到草場的最大容納量。</p><p>　　模型一建立線性規(guī)劃模型，目標

2、函數為這片草場能夠飼養(yǎng)的羊群數，約束條件為每個季節(jié)中羊的吃草量小于等于草的生長量。根據母羊在每個年齡段生產羊羔數，可知每頭母羊平均生產2頭羊羔，即。在草場面積為1000平方米時，利用LINGO軟件求得最優(yōu)解，得到母羊和羊羔的數量分別約為，，即得到草場所能承受的最大羊群數量為204頭，夏季應儲存的干苜蓿草量即為母羊冬天的需草量。春季草的生長率最低，而羊群食草量量大，羊的最大飼養(yǎng)量受春季影響最大，造成夏、秋兩季有草剩余，剩余的草為50724

3、，可以用來圈養(yǎng)公羊51頭。</p><p>　　由于母羊在每個年齡段生產得羊羔數不同，所以模型二將模型一中求得的草場所能承受的母羊數按比例劃分。當時，才能滿足每年各年齡段羊群更替數量比例保持不變。根據模型一得知且，可找到，，，的大致取值范圍。再次利用LINGO軟件求得最優(yōu)解，得到各年齡段的母羊的數量分別為，，，。當草場面積發(fā)生變化時，每年應飼養(yǎng)的母羊數量會發(fā)生相應的變化，而各年齡段的母羊數量比保持不變，為23：2

4、3：17：4 。</p><p><b>　　問題重述</b></p><p>　　農夫有x平方米的草場，草場中長著多年生苜蓿草。他希望今后幾年通過養(yǎng)山羊獲得不錯的效益。已知苜蓿草的平均生長率（表一）和一只母山羊在每個年齡段生產的平均羊羔數（表二）及每頭羊日平均所需飼料（表三）。要求通過數學模型解決如問題：1、他應該飼養(yǎng)多少只山羊？2、夏季應儲存多少干苜蓿草用作冬季飼

5、料？3、為了繁殖，每年保留多大比例的母山羊？</p><p>　　表一 苜蓿草的平均生長率</p><p>　　母山羊的生育期是5至8年，每年產一頭、兩頭或三頭。假定每只母羊僅喂養(yǎng)5年就出售。</p><p>　　表二 一只母山羊在每個年齡段生產的平均羊羔數</p><p>　　表三 每頭羊日平均所需飼料</p>

6、<p><b>　　二、問題分析</b></p><p>　　在草原上牧民的主要經濟來源是畜牧，然而隨著人口的增加和資源的緊缺牧民養(yǎng)羊受著各種因素的制約，如何在各種制約的條件下，利用現有的資源使得牧民的效益最大，科學放牧，實現羊群的可持續(xù)發(fā)展是一個很現實的問題。建立模型的目的是使牧民的經濟效益最大，即能夠給牧民提供最優(yōu)的決策，這就相當于使得草場的容量達到最大，并且不破壞生態(tài)的平衡,

7、在保持羊群數量不變的情況下最大程度的利用現有草場面積所能提供的草料，實現資源的最大利用率。建立線性規(guī)劃模型，目標函數為草場所能承受的羊數量的最大值，約束條件為四個季節(jié)的羊的吃草量小于等于草的生長量。利用Lingo軟件求得最優(yōu)解，得到母羊和羊羔的大致數量，即得到草場所能承受的羊數量。計算出冬季的羊的吃草量即為夏季應儲存的苜蓿草數量。根據母羊在每個年齡段生產羊羔數不同，將草場所能承受的母羊數細致劃分，得到各年齡段之間的數量比例。</p

8、><p><b>　　問題假設</b></p><p>　　1、飼養(yǎng)過程中沒有羊的意外死亡。</p><p>　　2、母羊產小公羊和小母羊的比例是1：1。</p><p>　　3、只考慮羊的數量，而不管他們的重量。</p><p>　　4、母羊都在春季產小羊。</p><p>

9、　　5、春季的時候賣掉一部分羊，保持羊群數量不變。6、草場的草的長勢都一樣，無差別，且每天長出來的嫩草羊都能吃，不影響草的增長率。</p><p>　　7、假設每一個季節(jié)都為90天。</p><p>　　8、羊羔至少飼養(yǎng)一年再出售。</p><p>　　9、能生育的母羊在交配季節(jié)一律引進公羊進行交配，且交配之后送走公羊且公羊吃的草忽略不計。</p>

10、<p><b>　　符號說明</b></p><p><b>　　模型的建立與求解</b></p><p><b>　　5．1 模型一：</b></p><p>　　因為草場面積是定值平方米，要求應飼養(yǎng)多少羊，即在當前資源下可供養(yǎng)的羊數，因此考慮在保持羊群數量不變的情況下最大程度的利用現有草

11、場面積所能提供的草料，實現資源的最大利用率，建立了線性規(guī)劃的模型使得草料的利用率達到最大，目標函數為在草場面積一定的條件下，草場所能容納的最多羊數，最后運用Lingo編程求解。假設每年賣出的羊包括小羊和成年羊數目的最多，效益越好。</p><p>　　5.11 目標函數的確立：</p><p>　　資源量已經確定，所以在該資源條件下求羊的最大頭數，即是目標函數。只考慮母羊數量和母羊每年所產

12、羊羔數量：</p><p>　　目標函數為： (1.1)</p><p>　　5.12 約束條件的確定：</p><p><b>　　根據模型假設得出：</b></p><p>　　若第年春天的母羊數為；</p>

13、<p>　　這一年所產的羊羔數目為：；</p><p>　　平方米的草地上，苜蓿草的生長率單位為，換算成，即得：</p><p>　　苜蓿草的春季、夏季、秋季、冬季的日生長量分別為：0.3、0.7、0.4、0；</p><p>　　根據羊春夏秋冬的日需草量不同，要保證草的生長量要滿足要求，因此有：</p><p>　　春季羊食草

14、量與草生長量關系： (1.2) </p><p>　　秋天羊食草量與草生長量關系： （1.3）</p><p>　　因為夏季還要為冬季儲備草，所以夏季日生草量要分成兩部分，一部分為羊夏季食用，一部分為羊冬季食用，所以夏季和冬季羊日食草量與夏季草的日生長量的關系為：</p&

15、gt;<p><b>　　（1.4） </b></p><p>　　根據表二，一頭母羊在每個年齡段生產的平均羊羔數，若不考慮母羊年齡可以得出一頭母羊每年所產羊羔平均數為 則每年羊羔數</p><p><b>　　（1.5）</b></p><p>　　由此建立了線性規(guī)劃模型：</p><p

16、><b>　　目標函數為：</b></p><p>　　約束條件：羊食草量草生長量</p><p><b>　?。?.6） </b></p><p>　　由于草場面積未定，所以假設有草場1000平方米，即將（1.6）時中的換成1000，于是用軟件編輯（程序見附錄一）求出在草場面積為1000平方米時應飼養(yǎng)的母羊數和可能

17、產的羊羔數：</p><p>　　當草場面積是1000平方米時，每年春季要保留的母羊數應為68頭，這些母羊生產的羊羔數約為136頭（因為是引進外來公羊交配，所以可以大體控制羊羔出生量），夏季應儲存的干苜蓿草量為：。</p><p>　　此時，我們可以反過來計算羊的食草量，以驗證上述模型結論的合理性。這塊牧場一年</p><p>　　年之內可以生長的草的重量為：。&l

18、t;/p><p>　　而羊群每季食草量如下：</p><p><b>　　總計：</b></p><p><b>　　剩余的食草量為：</b></p><p>　　從題中給出的數據我們知道，春季草的生長率是最低的，但食草量卻是最高的，羊的最大飼養(yǎng)量受春季的影響最大，而夏季和秋季的草生長率相對較高，羊的食

19、草量也不大，因此造成了草的剩余，為了最大程度的利用資源，提高經濟效益，我們把剩下的草用來圈養(yǎng)公羊，設公羊每天的吃草量比母羊多一千克,則可圈養(yǎng)公羊數：</p><p>　　50724/（3.1+3.4+2.15+2.35）/90=51.2364，取整數51只。</p><p><b>　　5．2 模型二：</b></p><p>　　因為羊群會出

20、現更替現象，所以考慮在保證每年母羊飼養(yǎng)數量不變的情況下，保證各年齡段的母羊數量不變，即每年都將母羊以及長成成羊的羊羔賣掉一部分以保證各年齡段母羊保持均衡。</p><p>　　在模型一的基礎上建立模型二：</p><p>　　各年齡段的母羊數分別為：（1-2年）、（2-3年）、（3-4年）、（4-5年）</p><p>　　每年母羊生產的羊羔數為：</p>

21、;<p>　　5.21 目標函數仍然為羊群的數量：</p><p>　　5.22 約束條件的確立：</p><p>　　羊食草量與草的生長量依然是約束條件，即</p><p><b>　　(2.1)</b></p><p>　　羊存在更替現象，即羊羔長一年后成為1-2年齡的成羊，原來1-2年齡的成長為2-3

22、年齡的成羊，2-3年齡的成長為3-4年齡的成羊，3-4年齡的成長為4-5年齡的成羊，4-5年齡的羊要賣出。為了滿足每年各年齡段的母羊數量不變，因此必須有否則不能確保每年各年齡段母羊數量保持一致。根據模型一1000平方米的草場可以最多養(yǎng)約68頭母羊，136頭羊羔，由此條件知：</p><p><b>　　(2.2)</b></p><p><b>　?、?lt

23、;/b></p><p><b>　　②</b></p><p><b>　?、?#215;1.8－②得:</b></p><p><b>　　③</b></p><p><b>　　將③式代入①式得：</b></p><p>

24、;<b>　?、?lt;/b></p><p>　　由③式得： (2.3)</p><p><b>　　(2.4)</b></p><p>　　根據的取值范圍及與的關系可以確定

25、 (2.5)</p><p>　　還要考慮產出的母羊羔數能在一年后補足原來1-2年的母羊數，母羊和公羊出生的機率是1：1所以有</p><p><b>　　(2.6)</b></p><p>　　由此建立了線性規(guī)劃模型：</p><p><b>　　目標函數：</b></p><

26、p><b>　　約束條件：</b></p><p><b>　?。?.7）</b></p><p>　　于是用軟件編輯（程序見附錄二）求得在1000平方米草場每年春天應保留的1-2年的母羊數為23頭，2-3年的母羊數為23頭，3-4年的母羊數為17頭，4-5年的母羊數為4頭，飼養(yǎng)的羊羔數約138頭。</p><p>

27、　　模型一和模型二都是在草場面積為1000平方米的情況下計算的，當草場面積變?yōu)?000平方米時，每年應飼養(yǎng)的母羊頭數為136頭（求解見附錄三），各年齡段母羊的數量比例仍為23:23:17:4（求解見附錄四）。由此，當草場面積發(fā)生變化時，每年應飼養(yǎng)的母羊頭數會發(fā)生變化，而各年齡段母羊的數量比例不會發(fā)生變化。</p><p><b>　　六、模型分析</b></p><p&g

28、t;　　模型一容易理解，而且計算方法簡單明了。通過搜集資料，以及用得出的羊的只數反過來計算食草量來檢驗結論正確與否可知， 1000平方米能飼養(yǎng)的羊的最大數量符合實際，且也能夠維持這種生態(tài)的平衡，保持這種最佳的循環(huán)狀態(tài)，為牧民的決策提供了較好的參考依據。這個模型使得羊的數量達到最大的同時，也考慮了生態(tài)是否平衡的狀況。模型的創(chuàng)新之處在于，在得到結論以后，反過來帶入原來的式子以檢驗結論的合理性，而且還把夏、秋季節(jié)所剩余草用來圈養(yǎng)公羊，最大程度

29、的利用了草的剩余量，提高了經濟效益。該模型亦有不足之處，即只得出了每年春季要保留的母羊總數，而不知道其年齡比例。模型二對該問題進行了討論，根據實際情況，找出各個年齡段的母羊之間的關系，利用Lingo軟件求解，得出各個年齡段的母羊數，即求出了母山羊的年齡比例。該模型計算量少,容易理解。</p><p><b>　　七、參考文獻</b></p><p>　　[1] 胡運

30、權著，《運籌學基礎及應用》 ，第五版，高等教育出版社</p><p>　　[2] 謝金星、薛毅著，《優(yōu)化建模與LINDO/LINGO軟件》，清華大學出版社</p><p><b>　　八、附錄</b></p><p><b>　　8．1 附錄一：</b></p><p><b>　　程序：

31、</b></p><p><b>　　max=n+y;</b></p><p>　　3.25*n+1.65*y<=700;</p><p>　　2.4*n+y<=300;</p><p>　　1.35*n<400;</p><p><b>　　y=2*n;&

32、lt;/b></p><p><b>　　n>0;</b></p><p><b>　　y>0;</b></p><p><b>　　運行結果：</b></p><p>　　Global optimal solution found.</p>

33、<p>　　Objective value: 68.18182</p><p>　　Total solver iterations: 0</p><p>　　Variable Value Reduced Cost</p>

34、<p>　　N 68.18182 0.000000</p><p>　　Y 136.3636 0.000000</p><p>　　Row Slack or Surplus Dual Price</p><p>　　1 68.18182

35、 1.000000</p><p>　　2 253.4091 0.000000</p><p>　　3 0.000000 0.2272727</p><p>　　4 307.9545 0.000000</p><p>　　5

36、 0.000000 -0.2272727</p><p>　　6 68.18182 0.000000</p><p>　　7 136.3636 0.000000</p><p><b>　　8．2 附錄二：</b></p><p&g

37、t;<b>　　程序：</b></p><p>　　max=n1+n2+n3+n4+(1.8*n1+2.4*n2+2*n3+1.8*n4);</p><p>　　3.25*(n1+n2+n3+n4)+1.65*(1.8*n1+2.4*n2+2*n3+1.8*n4)<=700;</p><p>　　2.4*(n1+n2+n3+n4)+1.8

38、*n1+2.4*n2+2*n3+1.8*n4<=300;</p><p>　　1.35*(n1+n2+n3+n4)<=400;</p><p>　　(1.8*n1+2.4*n2+2*n3+1.8*n4)*0.5-n1>0;</p><p><b>　　n2>=17;</b></p><p><

39、;b>　　n2<23;</b></p><p><b>　　n1>n2;</b></p><p><b>　　n3<17;</b></p><p><b>　　n4<n3;</b></p><p><b>　　n4<17

40、;</b></p><p><b>　　運行結果：</b></p><p>　　Global optimal solution found.</p><p>　　Objective value: 205.7333</p><p>　　Total sol

41、ver iterations: 3</p><p>　　Variable Value Reduced Cost</p><p>　　N1 23.00000 0.000000</p><p>　　N2 23.00000

42、 0.000000</p><p>　　N3 17.00000 0.000000</p><p>　　N4 4.333333 0.000000</p><p>　　Row Slack or Surplus Dual Price</p><p>　

43、　1 205.7333 1.000000</p><p>　　2 252.8067 0.000000</p><p>　　3 0.000000 0.6666667</p><p>　　4 309.1000 0.000000&l

44、t;/p><p>　　5 46.20000 0.000000</p><p>　　6 6.000000 0.000000</p><p>　　7 0.000000 0.2000000</p><p>　　8 0.000000

45、 0.000000</p><p>　　9 0.000000 0.6666667E-01</p><p>　　10 12.66667 0.000000</p><p>　　11 12.66667 0.000000</p><

46、p><b>　　8．3 附錄三：</b></p><p><b>　　程序：</b></p><p><b>　　max=n+y;</b></p><p>　　3.25*n+1.65*y<=1400;</p><p>　　2.4*n+y<=600;</p

47、><p>　　1.35*n<800;</p><p><b>　　y=2*n;</b></p><p><b>　　n>0;</b></p><p><b>　　y>0;</b></p><p><b>　　運行結果：</

48、b></p><p>　　Global optimal solution found.</p><p>　　Objective value: 409.0909</p><p>　　Total solver iterations: 0</p&g

49、t;<p>　　Variable Value Reduced Cost</p><p>　　N 136.3636 0.000000</p><p>　　Y 272.7273 0.000000</p><p>　　Row Slack or Su

50、rplus Dual Price</p><p>　　1 409.0909 1.000000</p><p>　　2 506.8182 0.000000</p><p>　　3 0.000000 0.6818182</p><p&g

51、t;　　4 615.9091 0.000000</p><p>　　5 0.000000 0.3181818</p><p>　　6 136.3636 0.000000</p><p>　　7 272.7273 0.00000

52、0</p><p><b>　　8．4 附錄四：</b></p><p><b>　　程序：</b></p><p>　　max=n1+n2+n3+n4+(1.8*n1+2.4*n2+2*n3+1.8*n4);</p><p>　　3.25*(n1+n2+n3+n4)+1.65*(1.8*n1+2.

53、4*n2+2*n3+1.8*n4)<=1400;</p><p>　　2.4*(n1+n2+n3+n4)+1.8*n1+2.4*n2+2*n3+1.8*n4<=600;</p><p>　　1.35*(n1+n2+n3+n4)<=800;</p><p>　　(1.8*n1+2.4*n2+2*n3+1.8*n4)*0.5-n1>0;</

54、p><p><b>　　n2>=34;</b></p><p><b>　　n2<46;</b></p><p><b>　　n1>n2;</b></p><p><b>　　n3<34;</b></p><p>

55、;<b>　　n4<n3;</b></p><p><b>　　n4<34;</b></p><p><b>　　運行結果：</b></p><p>　　Global optimal solution found.</p><p>　　Objective value

56、: 411.4667</p><p>　　Total solver iterations: 3</p><p>　　Variable Value Reduced Cost</p><p>　　N1 46.0

57、0000 0.000000</p><p>　　N2 46.00000 0.000000</p><p>　　N3 34.00000 0.000000</p><p>　　N4 8.666667 0.000000</p>&

58、lt;p>　　Row Slack or Surplus Dual Price</p><p>　　1 411.4667 1.000000</p><p>　　2 505.6133 0.000000</p><p>　　3 0.000000

59、0.6666667</p><p>　　4 618.2000 0.000000</p><p>　　5 92.40000 0.000000</p><p>　　6 12.00000 0.000000</p><p>　　7

60、 0.000000 0.2000000</p><p>　　8 0.000000 0.000000</p><p>　　9 0.000000 0.6666667E-01</p><p>　　10 25.33333 0.000000</p