無窮級數的應用【畢業(yè)論文+文獻綜述+開題報告】

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p><b>　　無窮級數的應用</b></p><p>　　所在學院 </p><p>　　專業(yè)班級

2、 數學與應用數學 </p><p>　　學生姓名 學號 </p><p>　　指導教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p>　　摘要：無窮級數是一個具有悠久歷史的數學

3、概念，實際上其思想的起源早于公元前，級數的分類大致包括正項級數、交錯級數、函數項級數，級數的主要性質是級數的斂散性。比起無窮級數本身的研究，更重要的是級數無窮分割求和思想的利用。本文在重新學習無窮級數內容的基礎上研究其在積分計算和級數求和方面的應用并嘗試解決用無窮級數逼近連續(xù)函數和用無窮級數構造處處連續(xù)但處處不可導函數的問題，最后對全文進行歸納總結。</p><p>　　關鍵詞：無窮級數；計算；逼近；構造<

4、/p><p>　　Infinite Series`s Application</p><p>　　Abstract:The Infinite series is a math concepts with long history.In fact its thinking originated in BC.Series classification include roughly Positiv

5、e series，Staggered series，F(xiàn)unction of series.The main properties of the series is the divergence feature of series.It is much more important to take advantage of its infinitely divisible summation than research it.This a

6、rticle discuss its applications in the Integral calculation and the sum of series,try to solve the approximation of continuous func</p><p>　　Key words:infinite series; consideration; approximation; Construct

7、ion</p><p><b>　　目 錄</b></p><p>　　1 無窮級數的背景和內容……………………………………………………………………………… 1</p><p>　　1.1 級數的起源與簡介……………………………………………………………………………… 1</p><p>　　1.2 級數的主要內容……

8、…………………………………………………………………………… 1</p><p>　　2 無窮級數在積分計算和級數求和方面的應用……………………………………………………… 7</p><p>　　2.1 無窮級數在積分計算中的應用…………………………………………………………………7</p><p>　　2.2 無窮級數在級數求和中的應用…………………………………

9、………………………………8</p><p>　　3 用無窮級數逼近連續(xù)函數……………………………………………………………………………13</p><p>　　3.1 連續(xù)函數的冪級數逼近……………………………………………………………………… 13</p><p>　　3.2 連續(xù)函數的傅里葉級數逼近………………………………………………………………… 14<

10、;/p><p>　　4 用無窮級數構造處處連續(xù)且處處不可導的函數……………………………………………………16</p><p>　　結束語…………………………………………………………………………………………………… 17</p><p>　　致謝……………………………………………………………………………………………………… 18</p><p>

11、　　參考文獻………………………………………………………………………………………………… 19</p><p>　　1 無窮級數的背景和內容</p><p>　　1.1 級數的起源與簡介</p><p>　　無窮級數及其思想的起源可以追溯到公元以前,早在古希臘學者芝諾的二分法就涉及到把分解成無窮級數，古代中國的“一尺之棰，日取其半”也含有與二分法相類似的思想，但是

12、級數最早被正式研究是在中世紀(14至16世紀)的印度咯拉拉學校，該校的學者馬德哈瓦(Madhava)和尼拉坎特哈(Nilakantha)首先發(fā)現(xiàn)并著手研究無窮級數，之后由造訪印度的歐洲傳教士傳播到了歐洲,之后和牛頓的微分緊密地結合在了一起，構成數學分析的兩大支柱。</p><p>　　無窮級數作為一個擁有悠久歷史的數學思想，對它本身的研究并不是十分多，這是因為它僅僅是從數列中引申出來的一個概念，并不是一個全新的東

13、西，比它本身更重要的是這一種數學思想“分割，近似求和，取極限”的應用，這種思想是數學史上的一種創(chuàng)新，因為難度不大，應用廣，因此無窮級數的性質僅僅在討論斂散性之后就少有討論，主要研究方向放在了這種思想方法的應用上，比如之后出現(xiàn)的函數項級數，函數項級數中又出現(xiàn)了一致收斂性，接著出現(xiàn)了特殊的函數項級數:冪級數。冪級數的出現(xiàn)為級數的應用又打開了一扇新的大門，從函數項級數到冪級數的研究，使得函數這一復雜的數學形式得以在冪級數的形態(tài)下加以研究，這得

14、益于函數的冪級數展開，在這基礎之上，特殊坐標系下的函數也得以解放出來，比如三角坐標系中三角函數級數又稱傅里葉級數，之后又引申到周期函數項級數以及奇偶性函數項級數。而級數思想的另一體現(xiàn)是結合微分和積分，在這一廣大領域中，發(fā)揮了很大的作用，從積分定義的產生，到利用積分求平面不規(guī)則圖形的面積，還有空間圖形的面積之后引申到泛函等領域，然而由于級數自身的局限性，使得它不可能成為萬能的數學工具，但是級數在以上領域作出重大貢獻之后在其他領域</

15、p><p>　　1.2 級數的主要內容</p><p>　　1.2.1 級數的定義</p><p>　　級數的定義的明確表述如下：</p><p>　　給定一個序列,我們用</p><p>　　來表示的和。由和這種表示方法,我們可以得到,其中</p><p>　　當然我們也可以用或者更簡單的&l

16、t;/p><p>　　來表示。表達式稱為無窮級數,或簡稱為級數。</p><p>　　1.2.2 數項級數</p><p>　　數項級數一般指無窮級數，在與函數項級數作比較時指的是正項級數和一般項級數，而一般項級數又包括交錯級數和絕對收斂級數。正項級數是在無窮級數的概念產生之后首先出現(xiàn)的概念，指的是級數中每一項都大于等于即，而一般項級數是和正項級數相對的概念，因此一般

17、項級數的定義與正項級數相反，指的是級數中每一項不都大于等于，所以一般項級數又稱為非正項級數，在一般項級數中，特殊的各項之間符號正負相間的級數又稱為交錯級數，在一般項級數中，由于出現(xiàn)了符號不統(tǒng)一的情況，所以討論的斂散性分為絕對收斂和條件收斂。</p><p>　　1.2.3 函數項級數</p><p>　　函數項級數是級數的思想應用在函數領域后發(fā)展出來的一個概念，函數項級數的定義是：設為定

18、義在區(qū)間上的函數，則稱為定義在區(qū)間上的函數項級數。由于函數項級數與函數的相關性，因此在函數項級數中出現(xiàn)了一個一致收斂的概念，具體內容在下面的級數的斂散性中介紹。</p><p>　　在函數項級數中，存在擁有特殊形式的冪級數：由冪級數列所產生的函數項級數稱為冪級數，其中稱為冪級數系數，冪級數之所以特殊是因為它不僅僅是函數作用在級數之中的表現(xiàn)，更重要的是，冪級數反過來可以作為函數的一種表現(xiàn)形式，這主要是由于泰勒公式以

19、及麥克勞林公式使得函數可以寫成無窮項相加的形式。</p><p>　　此外還有一種建立在三角函數正交性上的傅里葉級數：設函數是周期為的周期函數，并在區(qū)間上可積，則稱為在上的傅里葉級數，將右端級數逐項積分，則有，，傅里葉級數還可以擴展到以為周期的函數上，函數的傅里葉級數展開的核心是任何周期函數都可以用正弦函數和余弦函數構成的無窮級數來表示。</p><p>　　函數在級數中的應用發(fā)散到特殊函

20、數時，產生冪級數和傅里葉級數的這一過程，大大地擴展了級數的應用性。也是級數真正開始跨領域應用的開始:函數的級數表達，這一點使得級數能夠以較簡單的方法來表達更復雜的函數，換言之就是為函數多了一種表達方式，使得求函數的問題轉化為求級數的問題，至此，級數思想在其他數學領域開始發(fā)揮越來越大的作用。</p><p>　　1.2.4 級數的斂散性</p><p>　　各種級數的概念產生之后，首先出現(xiàn)

21、并急待解決的問題就是級數的基本性質其中包括級數的斂散性與級數本身的計算，而這里更重要的就是級數的斂散性。級數的斂散性定義如下：如果把稱為級數的部分和，即當收斂于,則稱該級數收斂,記作,如果發(fā)散,則級數也是發(fā)散的，這里稱為級數的和。</p><p>　　由級數收斂定義發(fā)展而來最基本的判斷法則的是級數收斂的柯西準則:級數收斂的充要條件是，任給的一個正數，總存在正整數，使得當以及對任意的正整數，都有。</p>

22、;<p>　　對于正數項級數，有兩個新的收斂判斷方法:達朗貝爾判別法和柯西判別法，又可稱為比式判別法和根式判別法。</p><p>　　比式判別法的定義如下：</p><p><b>　　對級數：</b></p><p><b>　　若，則收斂，</b></p><p>　　若或者對某

23、個給定的正整數,有所有的,則發(fā)散。</p><p>　　根式判別法的定義是：</p><p><b>　　對級數，令則：</b></p><p><b>　　若，則有級數收斂；</b></p><p><b>　　若，則有級數發(fā)散；</b></p><p&g

24、t;<b>　　若，測試無意義。</b></p><p>　　證明不贅述，從應用效果來看比式判別法一般比根式判別法更實用,這是因為計算比式比計算根式更簡單，而且比式判別法比根式判別法具有更廣泛的應用范圍。</p><p>　　在根式判別法和比式判別法之后還出現(xiàn)了一個更加簡便的比較原則:</p><p>　　設和是兩個正項級數，如果存在某正數，對

25、一切都有，則:</p><p>　　若級數收斂，則級數也收斂；</p><p>　　若級數發(fā)散，則級數也發(fā)散。</p><p>　　在一般項級數中，由于加入了絕對值，因此判斷級數收斂出現(xiàn)了絕對收斂與非絕對收斂，又稱為條件收斂，判斷級數絕對收斂與否的方法是分別討論級數項在絕對值有無的情況下的收斂情況：對非正項級數，如果有收斂則稱為絕對收斂，若發(fā)散而收斂則稱為條件收斂，

26、值得注意的是若級數絕對收斂，則必收斂。</p><p>　　函數應用于級數中出現(xiàn)的函數項級數還有一致收斂和收斂發(fā)散點（域）的定義。函數項級數一致收斂的定義：設函數列與函數定義在同一數集上，若對任給的正數，總存在某一正整數，使得當時，對一切，都有，則稱函數列在上一致收斂于，一致收斂定義是在函數項級數中產生的一個全新的定義，它標志著級數思想在函數領域的應用。在全新的一致收斂定義出現(xiàn)后應運而生的判斷函數項級數一致收斂的

27、方法有威爾斯特拉斯判別法，阿貝爾判別法和狄利克雷判別法，不贅述。在函數項級數中，為關于未知數的函數，則對每一個級數的斂散性都可能不同，如果在點發(fā)散，則稱為級數的發(fā)散點，而把所有發(fā)散點構成的集合稱為級數的發(fā)散域，收斂點和收斂域的定義亦然。</p><p>　　特殊的函數項級數：冪級數和傅里葉級數還有一些與一般函數項級數不同的地方。在冪級數中除了提到收斂定義，還提到了冪級數的收斂半徑：對冪級數，如果除了在點外還有收斂

28、點，則必存在一個正數，使得對任意滿足的，級數收斂，而對任意滿足的，級數發(fā)散，則稱為該冪級數的收斂半徑。傅里葉級數的收斂定理則可以直接求得其級數的收斂值：設函數是以為周期的周期函數且在區(qū)間上按段光滑，則在，的傅里葉級數收斂于在點的左，右極限的算術平均值。</p><p>　　1.2.5 積分中的級數思想</p><p>　　級數思想在積分中也有體現(xiàn)：在曲邊梯形中，用已知的直邊梯形求解法已經不

29、適用了，因此提出了“分割，近似求和，取極限”的解決方法，這就是后來發(fā)展出來的定積分的背景，首先由區(qū)間的分割，再到函數的分割，而面積就接近于上底函數和下底函數在范圍內分割之后產生的無窮多個長方形的和。</p><p><b>　　區(qū)間的分割：</b></p><p>　　設閉區(qū)間上有個點，依次為，它們把分割成個小區(qū)間。這些閉子區(qū)間構成對的一個分割，記為，小區(qū)間的長度為，

30、并記為分割的模。</p><p><b>　　函數的分割：</b></p><p>　　設是定義在上的一個函數，對于的一個分割任取點，并作合式稱此式為函數在上的一個積分和，也稱黎曼和。</p><p><b>　　定義定積分：</b></p><p>　　設是定義在上的一個函數，是一個確定的實數，若

31、對任給的正數，總存在某一正數，使得對的任何分割，以及在其上任意選取的點集，只要，就有，則稱函數在區(qū)間上可積，數稱為函數在區(qū)間上的定積分。</p><p>　　至此，定積分的產生過程已經完整的呈現(xiàn)出來，由此可見定積分的幾何意義就是對于在區(qū)間上的連續(xù)函數，當時，定積分就是該函數與軸所圍成的所有封閉圖形的面積，這里要注意一點，函數在軸下的部分所圍成的圖形面積與實際所得的結果成相反數。</p><p&

32、gt;　　2 無窮級數在積分計算和級數求和方面的應用</p><p>　　2.1 無窮級數在積分計算中的應用</p><p>　　積分分為定積分和不定積分，求不定積分就是求被積函數的原函數，而我們知道常數的導數是，因此不定積分一般有無數個解，求定積分就是在求出原函數基礎上，代入區(qū)間兩端的數和得出的函數差，因此只有唯一解。無窮級數可以應用在積分直接求被積函數的原函數過于困難，或者被積函數

33、過于復雜的時候，利用函數的級數展開，就可以把原來復雜的被積函數表示成冪級數的形式即無窮個簡單函數的和，之后利用積分的性質把求無窮個簡單函數和的積分轉化成求無窮個簡單函數積分的和，這是級數在積分計算中比較直接的應用也是最主要的應用，一般常用的是函數的冪級數展開，如：</p><p><b>　　求積分</b></p><p>　　解：先根據公式，把化作的形式，即<

34、/p><p>　　由性質和，原積分可化為，這樣就把求復雜函數的積分轉化為求簡單函數的積分再用無窮求和表示結果，連續(xù)步驟是：</p><p><b>　　求積分</b></p><p>　　解：根據三角函數的冪級數展開有：，，因此</p><p>　　由積分運算性質得，即：</p><p>　　由于積分

35、這種解題過程中用到了積分中函數的冪級數展開，所以這種方法又稱為不定積分的冪級數解法，這種方法要求被積函數能夠滿足冪級數展開的條件，就是被積函數要存在階導數。</p><p>　　根據黎曼積分和無窮分割求和的關系，求定積分的幾何意義其實就是在區(qū)間上求被積函數的原函數與軸所圍成圖形的面積，即由四條線段所包圍的面積，這種級數的思想與積分實際計算相互的轉化可以大大簡化積分的計算過程，如：</p><p

36、><b>　　求積分</b></p><p>　　解：直接利用積分公式并不方便，而實際上從圖形角度來講函數即以為圓心以為半徑的圓：，因此在區(qū)間上求積分即求以為邊的曲邊圖形面積，其面積值是長方形面積減去四分之一圓的面積，因此</p><p><b>　　求積分，其中</b></p><p>　　解：在分段函數的積分中，

37、如果根據積分的運算性質，積分要分成在不同區(qū)間內的積分來討論：，這樣積分的步驟會變得復雜，如果結合積分和級數的思想就能發(fā)現(xiàn)實際上積分求的是由被積函數與軸所圍成的封閉圖形的面積，根據所給函數的定義不難看出所圍成的圖形是一個梯形，因此積分的計算方法可以寫作：</p><p>　　2.2 無窮級數在級數求和中的應用</p><p>　　無窮級數在級數求和中的應用即對級數本身性質的研究，級數求和的

38、方法多種多樣，這里介紹幾種常用的無窮級數求和方法:</p><p>　　分析法：這種方法的關鍵是將級數的一般項分解為部分分式的和的形式。如：</p><p><b>　　求級數</b></p><p><b>　　解:因為</b></p><p><b>　　所以</b><

39、;/p><p><b>　　于是</b></p><p><b>　　從而，</b></p><p><b>　　求級數</b></p><p><b>　　解：因為，所以有：</b></p><p><b>　　從而<

40、/b></p><p><b>　　故</b></p><p>　　公式法：利用一些常見數列的求和公式對部分和進行計算。如：</p><p><b>　　求級數</b></p><p>　　解：

41、</p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　于是</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　故</b></p><p><b>　　求級數的和</b>

42、;</p><p><b>　　解：</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　從而</b></p><p>　　分和法：和分析法類似，把無窮級數中單位元分解為若干項的簡單式子，再在整個無窮級數范圍內把類似有規(guī)律的項組合排列，構成若干個原無窮

43、級數下的級數，再通過計算子級數來得出原來級數的解。如：</p><p><b>　　求級數</b></p><p><b>　　解：</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　故</b></p><p

44、>　　逐項積分與逐項微分法:利用冪級數在其收斂區(qū)間內可以逐項積分與逐項微分的性質求級數的和。如：</p><p><b>　　求冪函數的和函數</b></p><p>　　解：由已知冪級數在區(qū)間內收斂，且和函數為，即 </p><p>　　此式兩邊逐項微分得：</p><p&g

45、t;　　即 </p><p><b>　　求冪級數的和函數</b></p><p>　　解：易知冪級數的收斂半徑為，收斂區(qū)間為。設該冪級數和函數為，于是在收斂區(qū)間內兩邊求導：</p><p>　　又 </p><p>　　即

46、 </p><p>　　設為內任一點，在上逐項積分，得：</p><p><b>　　即 </b></p><p>　　代入法：利用函數的冪級數展開式以及傅里葉級數展開式，把收斂區(qū)間內的數代入展開式中，從而可以求出一些數項級數的和：</p><p><b>　　求級數</b></p>

47、;<p>　　解：將在上展成傅里葉級數有:</p><p><b>　　令，得</b></p><p><b>　　從而</b></p><p><b>　　求級數的和</b></p><p><b>　　解：因為，令，得</b></p

48、><p><b>　　于是</b></p><p>　　3 用無窮級數逼近連續(xù)函數</p><p>　　在數學的理論研究和實際應用中經常遇到下類問題:在選定的一類函數中尋找某個函數，使它是已知函數在一定意義下的近似表示，給定之后,如何確定作為的近似表示函數的方法是多種多樣的。在級數范圍內，連續(xù)函數的逼近一般是利用函數的級數展開式，即利用冪級數，傅

49、里葉級數等來逼近連續(xù)函數。</p><p>　　3.1 連續(xù)函數的冪級數逼近</p><p>　　用冪級數逼近連續(xù)函數可以利用函數的泰勒展開式</p><p><b>　　實際中常取，即：</b></p><p>　　如：三角函數的冪級數的展開式為：</p><p>　　上式就可成為三角函數的冪

50、級數逼近，實際上函數的展開式還包含一個無窮小量，可以理解為無窮級數后面項的和，因此冪級數展開式也可寫成：</p><p>　　將函數展開成的冪級數</p><p><b>　　解：， </b></p><p><b>　　于是得級數：</b></p><p><b>　　它的收斂半徑，&l

51、t;/b></p><p>　　考察余項，當時，有：</p><p><b>　　所以</b></p><p>　　冪級數展開有時也可以直接利用已知函數的冪級數展開式。如：</p><p><b>　　將展開成的冪級數</b></p><p><b>　　解：

52、因為</b></p><p><b>　　逐項求導：</b></p><p>　　但是由于泰勒展開式中導數的存在，因此要求被逼近的函數存在無窮階導數，而根據連續(xù)不一定可導的性質，函數的冪級數展開有一定的使用范圍。</p><p>　　3.2 連續(xù)函數的傅里葉級數逼近</p><p>　　用傅里葉級數逼近函數

53、則利用了函數的三角多項式逼近，也稱為傅里葉展開，根據傅里葉級數展開的定義，要求被展開的函數以或者為周期，即要求該函數是一個周期函數，如：</p><p>　　求函數的傅里葉級數展開式</p><p>　　解：因為函數是奇函數，所以是奇函數，因此在上積分為。于是：</p><p>　　于是，函數的傅里葉級數展開式為</p><p>　　4 用

54、無窮級數構造處處連續(xù)且處處不可導的函數</p><p>　　在數學分析的發(fā)展歷史上，數學家們一直猜測：連續(xù)函數在其定義區(qū)間中，至多除去可列個點外都是可導的。也就是說，連續(xù)函數的不可導點至多是可列集。</p><p>　　在當時，由于函數的表示手段有限，而僅僅從初等函數或從分段初等函數表示的角度出發(fā)去考慮，這個猜想是正確的。但是隨著級數理論的發(fā)展，函數表示的手段擴展了，數學家可以通過函數項級

55、數來表示更廣泛的函數類。Weierstrass是一位研究級數理論的大師，他于1872年利用函數項級數第一個構造出了一個處處連續(xù)而處處不可導的函數，為上述猜測做了一個否定的終結： 。</p><p>　　下面敘述的例子在證明上要相對簡易些：設表示與最鄰近的整數之間的距離，例如當，則；當，則。顯然是周期

56、為1的連續(xù)函數，且，注意當或時，有。給出例子：，由，及的收斂性，根據威爾斯特拉斯判別法，上述函數項級數關于一致收斂，所以在連續(xù)。</p><p>　　接下來是處處不可導的證明：現(xiàn)考慮在任意一點的可導性。由于的周期性，不妨設，并將表示成無限小數：。若是有限小數時，則在后面添上無窮多個0。然后取例如：設，則我們取，顯然。于是只要驗證極限的存在性即可，由函數性質及級數求和的方法有，再通過把級數變式，討論和的大小關系，即

57、可證明，極限不存在，也就是說，在任意一點是不可導的。這樣，一個處處連續(xù)，但處處不可導的函數就通過級數這一工具被構造出來了。</p><p><b>　　結束語</b></p><p>　　無窮級數作為近千年的智慧結晶，雖然其基本思想只是無窮項之和，但是它的作用之廣泛，能力之強大，涉及到了數學的很多領域，為微積分，特別是數學分析的發(fā)展提供了源源不斷的動力。正由于級數的概

58、念簡約，內容豐富，思想淵遠，使得它在經過悠久的歷史洗禮之后，越發(fā)璀璨，在將來，它的光芒依舊會照耀在數學殿堂的上方。</p><p>　　經過對級數的重新學習，我對級數思想也有了一個新的認識，級數的無窮求和作用在積分上是多么的精辟，它對積分的解釋大大降低了積分的難度，它在函數表達上的作用也使函數的討論變得更為簡便，總的來說，無窮級數作為一種研究數學的工具，大大推動了數學的發(fā)展，它的出現(xiàn)可以說是在人類研究的數學高塔上

59、架起了扶梯。從級數的重新認識，到概括總結，級數也為我對利用其他數學知識作出了一個榜樣，在學習數學概念內容的基礎上，更重要的是各種數學思想的融匯和利用，這才是數學的精髓。</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1] 華東師范大學數學系．數學分析（第三版）[M]．北京：高等教育出版社，2003．</p><p>　　[

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61、lt;/p><p>　　[6] 裴禮文．數學分析中的典型問題與方法[M]．北京：高等教育出版社，1993．</p><p>　　[7] 胡適耕，姚云飛．數學分析-定理．問題．方法[M]．北京：科學出版社，2007．</p><p>　　[8] Walter Rudin．Principles of Mathematical Analysis（Third Edition）[

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64、t;/p><p>　　[14] 林智勇，易正明．對消法在無窮級數上的應用[J]．理工研究學報．2006,40(1);93103．</p><p>　　[15] 梅向明，黃敬之．微分幾何(第四版)[M]．北京：高等教育出版社，2008.</p><p><b>　　文獻綜述</b></p><p>　　無窮級數的應用　　　　　

65、　　</p><p><b>　　一、前言部分</b></p><p>　　無窮級數是序列的一種特殊形式[1~2]，一方面它的特殊結構使得有關級數收斂性及其求和的問題得到深入的研究，另一方面由于作為表達函數的一種工具，具有一些明顯的優(yōu)勢。</p><p>　　無窮級數又稱為數項級數簡稱為級數是序列的一種特殊形式，定義如下:給定一個序列，用來表示

66、的和，一般的就把稱為無窮級數(1~9]。由這種關系可知，級數的一些性質實際上只是序列的性質的另一種表述，然而級數這一種新的形式為理論的展開提供了特別有效的途徑，比如積分的計算[1~9]以及發(fā)散到其他領域的結論如拓撲學[10]。此外在函數表達上利用比較簡單的函數形式，逼近比較復雜的函數，這一點使得無窮級數在很多情況下是不可替代的。</p><p><b>　　主題部分</b></p>

67、;<p>　　一，無窮級數的歷史背景</p><p>　　無窮級數思想的起源可以延續(xù)到公元前，古希臘的學者芝諾的二分法涉及到把1分解成無窮級數，古代中國的"一尺之棰，日取其半"[11]也含有類似的思想，但是級數最早被發(fā)現(xiàn)并研究于中世紀(14至16世紀)的印度的咯拉拉學校，該校的學者馬德哈瓦(Madhava)和尼拉坎特哈(Nilakantha)，之后由造訪印度的精通數學的耶穌會傳教

68、士帶到了歐洲，并和牛頓的微積分緊密的結合在一起[11~12]。隨著歐洲數學的不斷發(fā)展，無窮級數也出現(xiàn)了許多新的內容。首先應運而生的是級數收斂性質的各種判別法，從最簡單的正數項級數比式判別法和根式判別法到拉貝判別法，之后在一般項級數中出現(xiàn)了級數不收斂的現(xiàn)象，又產生了一個絕對收斂的概念[1~9]。</p><p>　　級數的概念產生之后，首先出現(xiàn)并急待解決的問題就是級數的一系列性質包括級數本身的運算[13~14]，而

69、這里面比較重要的就是級數的收斂性，最普通的有級數收斂的柯西準則:級數收斂的充要條件是，任給的一個正數，總存在正整數，使得當以及對任意的正整數，都有[1~9]。這是級數收斂的一般判別方法，對于正數項級數，又產生了新的收斂判斷方法:達朗貝爾判別法和柯西判別法，以上又可稱為比式判別法和根式判別法[1~9]。之后由正數項級數的特點更衍生出了一個比較簡單的比較原則:設和是兩個正項級數，如果存在某正數，對一切都有，則:</p><

70、;p>　　(i)若級數收斂，則級數也收斂，</p><p>　　(ii)若級數發(fā)散，則級數也發(fā)散，</p><p>　　[1~9]。這個方法使得快速判斷簡單級數的斂散性成為可能，之后在一般項級數中出現(xiàn)的交錯級數，絕對收斂級數以及應運而生的阿貝爾判別法和狄利克雷判別法[1~10]完善了數項級數的斂散性討論。在把函數應用在數項級數的思想中之后，又出現(xiàn)了函數項級數，同樣的是討論了函數項級數

71、的斂散性之后得出了判斷方法，不同的在于函數項級數出現(xiàn)了一個特殊的一致收斂性質:設函數列與函數定義在同一數集上，若對任給的正數，總存在某一正整數，使得當時，對一切，都有，則稱函數列在上一致收斂于[1~9]。一致收斂性是由于函數項級數的特殊性擁有的性質.函數在級數中的應用在發(fā)散到特殊函數時，產生的一個新的級數稱為冪級數這一過程，大大的擴展了級數的應用性，冪級數是由冪級數列所產生的函數項級數[1~9]，冪級數的研究與其他級數的研究一樣，在討論

72、了斂散性之后更加注重于它的應用，也是級數真正開始跨領域應用的開始:函數的冪級數展開，這一點使得級數能夠以較簡單的方法來表達更復雜的函數，換言之就是為函數多了一種表達方式，這使得級數在某種程度上完全和函數掛鉤，使得求函數的問題轉化為求級數的問題，級數在函數中的另一應用體現(xiàn)在特殊坐標系下的函數，如</p><p>　　二，無窮級數在積分計算中的應用</p><p>　　無窮級數在積分中的運算主

73、要是運用無窮求和的思想，來進一步的研究在級數下的無窮和，定積分的提出和解決就用到了級數，在曲邊梯形中，用已知的直邊梯形求解法已經不適用了，因此提出了"分割，近似求和，取極限"[1]的解決方法，這就是后來發(fā)展出來的定積分的概念背景，首先有區(qū)間的分割，再到函數的分割，而面積就接近于頂邊函數和底邊函數在分割之后產生的無窮多個長方形的和，具體的定義如下</p><p>　　定義1 設閉區(qū)間上有個點，

74、依次為，</p><p>　　它們把分割成個小區(qū)間。這些閉子區(qū)間構成對的一個分割，記為，小區(qū)間的長度為，并記為分割的模[1~9]。</p><p>　　區(qū)間的分割僅僅是函數分割的一個思想發(fā)源，把這種無窮分割求和的方法作用在函數中后就有了如下定義</p><p>　　定義2 設是定義在上的一個函數，對于的一個分割任取點并作合式稱此式為函數在上的一個積分和，，也稱黎曼

75、和[1~9]。</p><p>　　這個定義為下面定積分定義的出現(xiàn)做了充足的鋪墊:</p><p>　　定義3 設是定義在上的一個函數，是一個確定的實數，若對任給的正數，總存在某一正數，使得對的任何分割，以及在其上任意選取的點集，只要，就有，則稱函數在區(qū)間上可積，數稱為函數在區(qū)間上的定積分[1~9]，至此，定積分的抽象概念已經完整的敘述出來，由此可見定積分的幾何意義就是對于在區(qū)間上的連續(xù)函

76、數，當時，定積分就是該函數與軸所圍成的所有封閉圖形的面積，這里要注意一點，函數在軸下的部分所圍成的圖形面積與實際所得的結果稱相反數[1~9]。</p><p>　　此外由定積分這種性質推導到普通積分中，級數也有另外的作用。然而積分和的極限與函數的極限之間存在很大的差別，:在函數極限中，對每一個極限變量來說，的值是唯一確定的，而對于積分和的極限而言，每一個并不唯一對應積分和的一個值，這使得積分和的極限要比通常的函數

77、極限復雜得多[1~9]。</p><p>　　三，無窮級數在困難函數表達中的作用</p><p>　　無窮級數在困難函數的表達中主要是把所給出的復雜的函數通過級數的形式化成較簡單的函數形式，再加以解決，這里就必須要用到無窮級數中函數的冪級數展開，而關于一個函數在一個點的展開式在導數和積分之后便有提及，對于一般函數設它在點存在直到階的導數，由這些導數構造一個次多項式</p>&

78、lt;p>　　稱為函數在點處的泰勒多項式[1~7]，而在積分的實際運算中只考慮=0的情況，因此，泰勒展開式又可以簡化為</p><p>　　又稱為麥克勞林公式[1~7]，至此，一些復雜函數積分的計算就可以得到簡化，比如</p><p>　　但是，這種方法有一個前提，即函數的級數表達式必須收斂于函數本身，而對任意的在點具有任意階導數，則其在內等于其級數的和函數的充分條件是"對

79、一切滿足不等式的，有"[1~]，即泰勒公式的余項要趨于0，這就把級數在積分中的應用局限在一個范圍內，而對于其他范圍之外的復雜函數，級數的這種表達方式就無能為力了。而由于函數的多項性，泰勒公式在微分幾何的向量函數一部分中也有很大的用處[14]。</p><p><b>　　三、總結部分</b></p><p>　　無窮級數并不是近代最新出現(xiàn)的，作為一個有上百年

80、歷史的數學概念，它本身的研究并不是十分多，這是因為它僅僅是從數列中引申出來的一個概念，比它本身更重要的是這一種數學思想"分割，近似求和，取極限"這種概念是數學史上的一種創(chuàng)新，因為難度不大，應用廣，所以比無窮級數的性質利用更多的是在它的基礎上衍生出來的思想方法以及類似的問題處理方法。因此無窮級數的性質僅僅在討論斂散性之后就少有討論，而研究的主方向放在了這種思想方法的應用上，比如后面出現(xiàn)的函數項級數，包括函數項級數中又出

81、現(xiàn)的一致收斂性，再后面，出現(xiàn)了特殊的函數項級數:冪級數。冪級數的出現(xiàn)為級數的應用又打開了一扇新的大門，從函數項級數到冪級數的研究，使得函數這一復雜的數學形式得以在冪級數的形勢下加以研究，這得益于函數的冪級數展開，在這基礎之上，特殊坐標系下的函數也得以解放出來，比如三角坐標系中三角函數級數，之后又引申到周期函數級數以及奇偶性函數級數。而級數思想的另一體現(xiàn)是結合微分和積分，在這一廣大領域中，發(fā)揮了很大的作用，從積分定義的產生，到利用積分求平

82、面不規(guī)則圖形的面積，還有空間圖形的面積之后發(fā)散到泛函等等領域，由此可見，級數的思想在數學中有著</p><p><b>　　四、參考文獻</b></p><p>　　[1] 華東師范大學數學系．數學分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003．</p><p>　　[2] 歐陽光中，朱學炎，金福臨等.數學分析（第三版）[M].北京：高等

83、教育出版社，2007.</p><p>　　[3] 菲赫金哥爾茨．微積分學教程（第八版）[M].北京：高等教育出版社，2006．</p><p>　　[4] 朱永忠.高等數學[M].科學出版社，2009.</p><p>　　[5] 唐月紅，曹榮美，王正盛.高等數學[M].科學出版社，2009.</p><p>　　[6] 裴禮文.數學分析中

84、的典型問題與方法[M].北京：高等教育出版社，1993．</p><p>　　[7] 胡適耕，姚云飛．數學分析-定理.問題.方法[M].北京：科學出版社，2007．</p><p>　　[8] Walter Rudin．Principles of Mathematical Analysis（Third Edition）[M]. Beijing：China Machine Press，

85、2007．</p><p>　　[9] 何琛，史濟懷，徐森林．數學分析[M].北京：高等教育出版社，1985．</p><p>　　[10] Jerrold E.Marsden，Michael J.Hoffman.Elementary Classical Analysis(Second Edition)[M].New York：W.H.Freeman and Company，1993.&l

86、t;/p><p>　　[11] 朱家生.數學史.(第一版)[M].北京：高等教育出版社.2002.</p><p>　　[12] 王輝.無窮級數的發(fā)展演化[D].河北師范大學,2006．</p><p>　　[13] 畢道旺.無窮級數的求和方法舉隅[J].寧波教育學院學報.2009,11(4).</p><p>　　[14] 林智勇，易正明.對消

87、法在無窮級數上的應用[J].理工研究學報.2006,40(1)；93103.</p><p>　　[15] 梅向明，黃敬之.微分幾何(第四版)[M].北京：高等教育出版社，2008.</p><p><b>　　開題報告</b></p><p><b>　　無窮級數的應用</b></p><p>　

88、　一、選題的背景、意義</p><p>　　無窮級數思想的起源可以延續(xù)到公元前,但是級數最早被發(fā)現(xiàn)并研究于中世紀(14至16世紀)的印度,之后由造訪印度的傳教士帶到了歐洲,并和牛頓的微積分緊密的結合在一起,隨著歐洲數學的不斷發(fā)展,無窮級數的內容也不斷增加,研究的方向也從級數本身的性質延伸到應用中來,從最簡單的正數項級數和性質開始，漸漸囊括了一般項級數及其性質,再和函數結合在一起,發(fā)展出了函數項級數,冪級數和傅里葉

89、級數,之后就是級數思想的發(fā)展,從函數項級數和冪級數延伸來的函數的冪級數展開,發(fā)展到定積分,不定積分的概念,再發(fā)展到無窮逼近等等領域。無窮級數的研究推進了微積分的建立，作為一種研究數學的工具和思想，級數的誕生更推進了世界數學的發(fā)展</p><p>　　由于級數的發(fā)展經過近百年的時間,并和牛頓的理論一起構成了微積分學的兩大支柱,級數的重要性由此可見，由于級數的普遍性，所以在中學以及高等教育學校中便有提及，現(xiàn)今級數的研

90、究方向大致都放在了級數求和,函數表達以及無窮分割求近似的應用方面,國內的學者在理論上趨向于研究冪級數,函數的冪級數展開以及泰勒展式上,在實際中很多需要求近似的地方也用到了級數,比如國防工業(yè)彈道,火箭飛行軌跡與回收等領域。</p><p>　　研究的基本內容與擬解決的主要問題</p><p><b>　　基本內容是:</b></p><p>　　

91、1，級數的背景和研究狀況,包括數項級數,函數列級數,冪級數的斂散性等基礎知識；</p><p>　　2，函數的冪級數展開以及積分和數列的轉換。</p><p><b>　　擬解決的主要問題:</b></p><p>　　1、無窮級數在積分計算和級數求和方面的應用；</p><p>　　2、用無窮級數逼近連續(xù)函數；<

92、/p><p>　　3、用無窮級數構造處處連續(xù)且處處不可導的函數。</p><p>　　三、研究的方法與技術路線、研究難點，預期達到的目標</p><p>　　1，研究方法與技術路線:</p><p>　　主要是通過搜集并閱讀文獻中有關無窮級數及其延伸的資料，包括它的背景意義、性質及應用的現(xiàn)狀和發(fā)展方向等內容。然后對資料進行整理歸納構成級數知識的完

93、整結合，形成論文的主要內容，并補充自己的想法，使之成為一個整體。</p><p>　　本文主要從級數的無窮逼近及其收斂要求和近似求和的性質上來研究函數的級數表示和構造。</p><p><b>　　2，研究難點是:</b></p><p>　　連續(xù)函數的級數逼近中需要滿足的收斂性質以及在構造處處連續(xù)但不可導的函數時級數和連續(xù)以及可導的共存關系。

94、</p><p><b>　　3，預期的目標是:</b></p><p>　　通過本文的研究得以對級數和級數有關的系統(tǒng)知識連接起來,并形成一個統(tǒng)一的整體,并參考解決的級數問題,加深級數的應用思想。</p><p>　　四、論文詳細工作進度和安排</p><p>　　1、第七學期第9周至第11周：論文選題，查閱文獻資料，收

95、集信息；</p><p>　　2、第七學期第12周至第18周：在廣泛查閱文獻資料的基礎上，完成文獻綜述及其論文開題報告，完成外文翻譯；</p><p>　　3、第八學期第1周至第3周：完成畢業(yè)論文初稿；</p><p>　　4、第八學期第4周至第13周:反復修改畢業(yè)論文，最后定稿，準備答辯。</p><p><b>　　五、主要參考

96、文獻：</b></p><p>　　[1] 華東師范大學數學系．數學分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003．</p><p>　　[2] 菲赫金哥爾茨．微積分學教程（第八版）[M].北京：高等教育出版社，2006．</p><p>　　[3] 朱永忠.高等數學[M].科學出版社，2009.</p><p>　　[4]

97、 唐月紅，曹榮美，王正盛.高等數學[M].科學出版社，2009.</p><p>　　[5] 裴禮文.數學分析中的典型問題與方法[M].北京：高等教育出版社，1993．</p><p>　　[6] 胡適耕，姚云飛．數學分析-定理.問題.方法[M].北京：科學出版社，2007．</p><p>　　[7] Walter Rudin．Principles of Ma