發(fā)散級數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用【開題報告+文獻綜述+畢業(yè)論文】

1、1本科畢業(yè)設(shè)計本科畢業(yè)設(shè)計開題報告開題報告數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)關(guān)于發(fā)散級數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用關(guān)于發(fā)散級數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用一論文的研究意義及其目的著名數(shù)學(xué)家abel說過：發(fā)散級數(shù)是魔鬼的發(fā)明。把不管什么樣的任何證明建立在發(fā)散級數(shù)的基礎(chǔ)之上都是一種恥辱。利用發(fā)散級數(shù)人們想要什么結(jié)論就可以得到什么結(jié)論，而這也是發(fā)散級數(shù)已經(jīng)產(chǎn)生了如此多的謬論和悖論的原因。然而數(shù)學(xué)家在處理象微分方程那樣的問題時發(fā)現(xiàn)發(fā)散級數(shù)大有作為。彭加萊在考慮天文問題的過程中更離不了發(fā)散級數(shù)，力

2、圖弄清楚這里面什么東西是有意義的，以及具有何種數(shù)學(xué)意義，于是在1886年發(fā)明了漸近級數(shù)的概念?，F(xiàn)今，漸近級數(shù)在奇異攝動理論、組合數(shù)學(xué)（包括費曼圖）等等領(lǐng)域中的應(yīng)用取得了巨大的成功。既然發(fā)散級數(shù)漸近級數(shù)這么重要，因此本論文就是要從級數(shù)的基本性質(zhì)引出發(fā)散級數(shù)，通過發(fā)散級數(shù)的病態(tài)性介紹實用性極強的漸近級數(shù)（為漸近級數(shù)大部分是發(fā)散的）。二研究的主要內(nèi)容1.級數(shù)的概念，級數(shù)的發(fā)散與收斂2.收斂級數(shù)與漸近級數(shù)3.漸近級數(shù)的定義以及怎樣將函數(shù)展開成漸

3、近級數(shù)4.發(fā)散級數(shù)的各種意義下的正則求和。比如齊查羅和，阿貝爾和，歐拉和，波雷爾和等漸近級數(shù)在計算數(shù)值積分，近似計算方面，解分方程的應(yīng)用。三研究的主要方法和手段結(jié)合學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)分析中的級數(shù)課程，查閱關(guān)于漸近級數(shù)的介紹和應(yīng)用，因為大部分漸近級數(shù)是發(fā)散的，而漸近級數(shù)在數(shù)學(xué)物理中有大量應(yīng)用。通過發(fā)散級數(shù)的求和以及發(fā)散級數(shù)的一個使用來窺測漸近級數(shù)的一個小小的作用，進一步理解漸近級數(shù)的定義，并學(xué)會對一個函數(shù)展開成漸近級數(shù)，舉出幾個漸近級數(shù)在數(shù)學(xué)物

4、理中的應(yīng)用，加深對漸近級數(shù)的理解。四計劃進度3文獻綜述文獻綜述數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)發(fā)散級數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用發(fā)散級數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用一級數(shù)中的發(fā)散級數(shù)自從級數(shù)誕生以來，發(fā)散級數(shù)就困擾著數(shù)學(xué)家們。比如為人所熟知的調(diào)和級數(shù)，調(diào)和級數(shù)是發(fā)散的，這是一個令人困惑的事情，事實上調(diào)和級數(shù)以令人不耐煩地慢向無窮大靠近，調(diào)和級數(shù)的和要想達到51那么它需要有2的100次方那個多項才OK。而2的100次方這個項是一個大到我們能夠處理范圍以外的數(shù)字，在計算

5、機元科學(xué)領(lǐng)域，這屬于一個不可解的數(shù)。雅各布.伯努利還曾寫過一首數(shù)學(xué)短詩，大意是無窮小中竟然蘊含這巨大，因為1n是趨與0的，而這些趨于0的數(shù)之和竟然是無窮大的，確實讓人震驚。這些在可惜意義下不可收斂的級數(shù)卻常常要應(yīng)用的。數(shù)學(xué)家們開始給他們定義各種正則和，比如齊查羅和，阿貝爾和等，這些和對于收斂級數(shù)來說仍然是有效的，對發(fā)散級數(shù)卻有著重大意義。二發(fā)散級數(shù)中的漸近級數(shù)隨著生產(chǎn)力發(fā)展的需要，人們必須深入到非線性研究領(lǐng)域中，在這一領(lǐng)域中，疊加原理不

6、再適用，原來的那一套數(shù)學(xué)方法失效了，我們必須尋找新的途徑，漸近方法中的奇異攝動理論是解決非線性問題行之有效的方法之一。尤其在數(shù)學(xué)物理中，漸近方法可分為兩大部分：1.漸近分析包括漸近級數(shù)，積分的漸近展開，微分方程的漸近解。2.奇異攝動理論，它的應(yīng)用領(lǐng)域涉及波動，穩(wěn)定性，粘性流，氣泡運動等方面。這些理論最最基礎(chǔ)的就是漸近級數(shù)了，數(shù)學(xué)家龐加萊在解決天文問題時就遇到了漸近級數(shù)，這也是我們了解漸近級數(shù)的一般定義。聯(lián)系發(fā)散級數(shù)的求和問題，漸近級數(shù)在