歐式期權定價的monte―carlo方法

1、<p>　　歐式期權定價的Monte―Carlo方法</p><p>　　摘 要：討論各種歐式期權價格的Monte-Carlo方法。根據(jù)Black-Scholes期權定價模型以及風險中性理論，首先詳細地討論如何利用Monte-Carlo方法來計算標準歐式期權價格；然后討論如何引入控制變量以及對稱變量來提高Monte-Carlo方法的精確性；最后用Monte-Carlo方法來計算標準歐式期權、歐式―兩值期

2、權、歐式―回望期權以及歐式―亞式期權的價格，并討論相關方法的優(yōu)缺點。 </p><p>　　關鍵詞：Black-Scholes方程；歐式期權定價；Monte-Carlo方法 </p><p>　　中圖分類號：F830.9 文獻標志碼：A 文章編號：1673-291X（2015）15-0104-06 </p><p><b>　　引言 </b>&

3、lt;/p><p>　　期權在金融工程中廣泛用于構造各種新型金融產(chǎn)品，是最活躍的衍生工具之一[2，3，5]。期權作為一種衍生金融衍生產(chǎn)品，它依附于某種標的資產(chǎn)而存在，因而它的定價決定于標的資產(chǎn)價格的變化。由于標的資產(chǎn)的價格變化是不確定的以及隨機的。由此產(chǎn)生的期權的價格變化也定是隨機的。但是一旦標的資產(chǎn)價確定下來，那么期權作為它的衍生產(chǎn)品的價格亦將隨之確定。這就是說，若在t時刻原生資產(chǎn)的價格為S，期權價格為V，則存在函

4、數(shù)V（S，t）使得V=V（S，t）。通常在期權的到期日那天，期權的價值（或稱為期權的收益、或稱為期權的價格）V（S（T），T）是確定的。但是期權生效日t=0那天的價值（或稱為期權價格）是未知的。期權生效日t=0那天的價值也稱為期權金，它是期權購買者為了取得這個期權未定權益所需要付出的代價。 通常，計算目的就是要求出期權生效日t=0那天的價格，也即V（S（0），0）的值。 </p><p>　　歐式期權定價的方法主

5、要有三種：偏微分方程數(shù)值解法（如有限差分法、有限元法、有限容量法等）[1，8]，二叉樹法[2，4，7]以及Monte-Carlo方法[9]。三種方法都有各自的優(yōu)缺點。Monte-Carlo方法最主要的優(yōu)點是具有一般性，可以應用于各種金融衍生產(chǎn)品包括期權的定價中。在期權定價中，有基于二叉樹法的Monte-Carlo模擬，也有基于隨機過程的Monte-Carlo模擬[8，9]。本文僅考慮后者。在國內，利用Monte-Carlo方法來為歐式期

6、權定價的研究工作主要是體現(xiàn)在標準歐式期權、歐式―亞式期權以及標準美式期權的計算上[1-10]，但是較少有作者系統(tǒng)討論如何提高Monte-Carlo方法的精確性以及討論它的優(yōu)缺點。本文系統(tǒng)討論各式歐式期權定價的Monte-Carlo方法的實現(xiàn)過程以及如何改進它們。 </p><p>　　一、標準歐式期權的定價 </p><p>　　在Black-Scholes期權定價模型假設條件下，可得到計

7、算標準歐式看漲期權的價格公式（1）～（7）。雖然有計算標準歐式看漲（或看跌）期權的價格公式，但還是希望探討標準歐式期權定價的Monte-Carlo方法。這是因為標準歐式期權是一種最簡單的期權，許多復雜的期權都是由它派生出來，一旦掌握了標準歐式期權定價的Monte-Carlo方法，就可以把該方法應用到更為復雜的期權價格的計算中去。下面先討論標準歐式期權定價的Monte-Carlo方法。 </p><p>　　設S（

8、t）表示在時刻時標準歐式期權標的資產(chǎn)的價格（0≤t≤T），它是隨機變化的。根據(jù)Black-Scholes期權定價模型[1，8，9，10]，標的資產(chǎn)價格服從下列隨機過程： </p><p>　　dS=μS（t）dt+σS（t）dW（t） （1） </p><p>　　其中參數(shù)μ是代表標的資產(chǎn)的平均收益率，σ是標的資產(chǎn)價格變化的波動率，W（t）是服從標準布朗運動的隨機變量，dS表示標的資產(chǎn)價格

9、的變化量，dt表示時間的變化量，dW（t）表示W(wǎng)（t）的變化量。如果假定μ等于無風險利率r，則模型式（1）變?yōu)閇1，4，7，9]： </p><p>　　dS=rS（t）dt+σS（t）dW（t） （2） </p><p>　　再根據(jù)風險中性理論就可得[1，9，10]： </p><p>　　V（S，t）=e-r（T-t） </p><p>

10、　　E[f（ S（T））] （3） </p><p>　　這里假設歐式期權在T時刻的收益為某一確定收益函數(shù)f（S（T））（對于標準歐式期權，f（S（T））為max（S-K；0）或max（K-S；0））。從式（3）可知，期權生效日t=0那天的價值（也即期權的價格）為： </p><p>　　V（S，t=0）=e-rT </p><p>　　E[f（S（T））] （4）

11、 </p><p>　　公式（4）是Monte-Carlo方法計算歐式期權價格的起點，下面將利用Monte-Carlo方法來計算公式（4）中出現(xiàn)的數(shù)學期望。 </p><p>　　在模型（2）式假設下，有≈Φ（rdt，σ）。因此有： </p><p>　　S（T）=S（0）e-（r-σ2/2）T+σW（t） </p><p><b>

12、;　　（5） </b></p><p>　　其中S（0）是在t=0時刻的標的資產(chǎn)價格。由于W（t）服從均值為0、方差為的T正態(tài)分布。 如假設Z是服從標準正態(tài)分布的隨機變量，則可通過下式來計算式（5）： </p><p>　　S（T）=S（0）e（r-σ2/2）T+σ </p><p><b>　　Z </b></p>

13、<p><b>　　（6） </b></p><p>　　通過用Monte-Carlo方法分別近似式（6）以及式（4），從而就可得到歐式期權的價格近似值。為此，首先利用Matlab自帶的程序生成服從標準正態(tài)分布的隨機變量Z，然后由Z和式（6）就可生成隨機變量S（T）。 再通過下面的算法就可以得標準歐式看漲期權的價格的近似值： </p><p>　　for i

14、=1，…，n </p><p>　　隨機產(chǎn)生服從標準正態(tài)分布的隨機變量zi： </p><p>　　Si=S（0）e（r-σ2/2）T+σ </p><p><b>　　Zi </b></p><p>　　Ci=e-rTmax（Si-K，0） （7） </p><p><b>　　end

15、 </b></p><p>　　令 n=（C1+C2+LCn）/n，則 為標準歐式看漲期權的價格的近似值。根據(jù)概率論中的大數(shù)定理，易知：當n→+∞時 n→e-rTE（max（S-K，0））。 　　說明1：如果把（7）式中的e-rTmax（Si-K，0）改為e-rTmax（K-Si，0），那么可通過上面的算法可以得到標準歐式看跌期權的價格的近似值。 </p><p>　　然而，

16、如果采用上面的標準Monte-Carlo方法，計算誤差可能較大?？赏ㄟ^下面兩種方法來分別減少此方法的計算誤差。 </p><p>　?。ㄒ唬┩ㄟ^引入控制變量法（簡記為CV）來減少方法的計算誤差 </p><p>　　設 是通過Z（為一服從標準正態(tài)分布的隨機變量）得到的歐式期權價格，而 *是通過Z*（也為一服從標準正態(tài)分布的隨機變量）得到的歐式期權價格；V*是真正的歐式期權價格，它為一常數(shù)。

17、如果 與 *的相關系數(shù)較大，也即： </p><p>　　Cov（ ， *）≈Var（ ）+Var（ *） </p><p>　　從而：Cov（ ， *）>Var（ *）。如果我們再引入控制變量： </p><p>　　VCV= +V*- * （8） </p><p>　　由于Var（VCV）=Var（ - *）=Var（ ）+Var（

18、 *）-2Cov（ ， *），考慮到式（8），從而有Var（VCV）<Var（ ）。 </p><p>　?。ǘ┩ㄟ^引入對稱變量法（簡記為AV）來減少方法的計算誤差 </p><p>　　設 +是通過Z（為一服從標準正態(tài)分布的隨機變量）得到的歐式期權價格，而 -是通過-Z得到的歐式期權價格?？闪睿?</p><p>　　VAV=（ ++ -） （9） <

19、;/p><p>　　它是通過引入對稱變量得到的新估計值。它可用來近似歐式期權的價格，并且它的方差滿足：Var（VAV）<Var（ +）。 </p><p>　　二、其他各種歐式期權的定價 </p><p>　　在本節(jié)里，主要討論如何把第二節(jié)之中介紹的三種Monte-Carlo方法來推廣到歐式―兩值期權、歐式―回望期權以及歐式―亞式期權的價格計算中。 </p&

20、gt;<p>　　（一）歐式―兩值期權定價的Monte-Carlo法 </p><p>　　歐式―兩值期權具有兩種形式：現(xiàn)金期權和資產(chǎn)期權。它們又分為看漲期權與看跌期權?，F(xiàn)金看漲期權是指在到期日標的資產(chǎn)價格低于執(zhí)行價格時收益為零， 當標的資產(chǎn)價格超過執(zhí)行價格時收益為一固定數(shù)額現(xiàn)金Q。因而，現(xiàn)金看漲期權在到期日的價格（或收益）為： </p><p>　　f（S（T））=Q S（

21、T）>K </p><p><b>　　0 S（T）≤K </b></p><p>　　資產(chǎn)看漲期權在到期日標的資產(chǎn)價格低于執(zhí)行價格時收益為零，標的資產(chǎn)價格超過執(zhí)行價格時收益為標的資產(chǎn)價格本身的款額，因而資產(chǎn)看漲期權收益為： </p><p>　　f（S（T））=S（T） S（T）>K </p><p>&l

22、t;b>　　0 S（T）≤K </b></p><p>　　由于歐式―兩值期權是弱路徑依賴期權，歐式―兩值期權價格的Monte-Carlo計算過程與標準歐式期權的算法過程式（7）基本類似。 </p><p>　　對于現(xiàn)金看漲期權，只要把式（7）中的Ci=e-rTmax（Si-K，0）改為： </p><p>　　Ci=e-rTQ Si>K &

23、lt;/p><p>　　0 Si≤K （10） </p><p>　　對于資產(chǎn)看漲期權，只要把式（7）中的Ci=e-rTmax（Si-K，0）改為： </p><p>　　Ci=e-rTSi Si>K </p><p><b>　　0 Si≤K </b></p><p>　　同理，也可為現(xiàn)金看跌

24、期權價格與資產(chǎn)看跌期權價格的計算構造相應的Monte-Carlo計算法。 </p><p>　　（二）歐式―回望期權定價的Monte-Carlo法 </p><p>　　在期權的到期日那天（t=T），歐式―回望期權的收益取決于在一段特定時間內標的資產(chǎn)價格變化的最高價或最低價。通常有兩種類型的歐式―回望期權，它們分別是固定的回望期權和浮動的回望期權。 </p><p>

25、;　　假設J為一段時間（0≤t≤T）內資產(chǎn)變化的最高價格，則浮動的回望看跌期權的收益為f（S（T））=max（J-S（T），0），這里J=St。相應地，浮動的回望看漲期權的收益為f（S（T））= </p><p>　　max（S（T）-J，0）這里J=St。固定的回望看跌期權的收益為f（S（T））=max（K-J，0），這里J=St。同理，固定的回望看漲期權的收益為f（S（T））=max（J-K，0）這里J=St

26、。 </p><p>　　下面僅以浮動的回望看漲期權為例子，采用n次離散抽樣，即得到式（6），從而就可知道最小值 J=min（St1，St2，…Stn）。于是，對浮動的歐式―回望看漲期權的價格E[e-rT </p><p>　　f（ S（T））] ，可以采用以下的Monte-Carlo方法： </p><p>　　for i=1，…，m </p>&l

27、t;p>　　for j=1，…，n </p><p>　　隨機產(chǎn)生服從標準正態(tài)分布的隨機變量zij： </p><p><b>　　Sitj=S </b></p><p>　　i（tj-1）e（r-σ2/2）（tj-ti）+σ </p><p><b>　　Zij </b></p>

28、<p><b>　　end </b></p><p>　　S（T）=Si（tn），J=min（Sit1，Sit2，…Sitn） </p><p>　　Ci=e-rT（S（T）-J）+ （11） </p><p><b>　　end </b></p><p>　　C=（C1+C2+…+C

29、m）/m </p><p>　　說明2：上面的算法可以用來計算浮動的歐式―回望看跌期權的價格，只要將算法式（11）中的（S（T）-J）+改為（J-S（T））+（J=max（St1，St2，…Stn））。 </p><p>　　說明3：上面的算法也可以用來計算固定的歐式―回望看漲期權的價格，只要將算法式（11）中的（S（T）-J）+ 改為（K-J）+即可。 </p><p

30、>　?。ㄈW式―亞式期權定價的Monte-Carlo法 </p><p>　　歐式―亞式期權賦予期權持有者在規(guī)定的時間內以平均價格買入標的資產(chǎn)的權利。但是必須決定如何進行抽樣，通常有兩種求抽樣的方式以及有兩種求平均值的方法（見表1）。 </p><p>　　亞式期權又可分為浮動的執(zhí)行價格亞式期權以及固定的執(zhí)行價格亞式期權。當執(zhí)行價格依賴于平均價格時，這種期權就叫作浮動的執(zhí)行價格亞式

31、期權；當執(zhí)行價格固定時，就稱該種期權為固定的執(zhí)行價格亞式期權。各種亞式期權在交割日t=T那天的收益可以總結為： 　　對于固定的亞式期權：看漲期權的收益為：f（S（T））= </p><p>　　max{AT-K，0}；看跌期權的收益為：f（S（T））=max{K-AT，0}；對于浮動的亞式期權：看漲期權的收益為：f（S（T））=max{S-AT，0}；看跌期權的收益為：f（S（T））=max{AT-S，0}。

32、</p><p>　　下面僅以固定的亞式看漲期權為例子，也采用n次算術平均離散抽樣，這里需要先知道平均值S=S（ti）。 為計算固定的亞式看漲期權的價格，也即E[e-rT（S-K）+]，可采用以下的Monte-Carlo方法： </p><p>　　for i=1，…，m </p><p>　　for j=1，…，n </p><p>　　隨

33、機產(chǎn)生服從標準正態(tài)分布的隨機變量zij： </p><p><b>　　Sitj=S </b></p><p>　　i（tj-1）e（r-σ2/2）（tj-ti）+σ </p><p><b>　　Zij </b></p><p><b>　　end </b></p>

34、;<p>　　S=（Sit1，Sit2，…Sitn）/n （12） </p><p>　　Ci=e-rT（S-K）+ </p><p><b>　　end </b></p><p>　　C=（C1+C2+…+Cm）/m </p><p>　　說明4：上面的算法可以用來計算固定的亞式看跌期權的價格，只要將算法

35、式（12）中的（S-K）+改為（K-S）+。 </p><p>　　說明5：上面的算法也可以用來計算幾何平均抽樣下的固定亞式看漲期權的價格，只要將算法式（12）中的S=（Sit1，Sit2，…Sitn）/n改為S=exp（lnSitj ）即可。 </p><p><b>　　三、數(shù)值計算結果 </b></p><p>　　在本節(jié)里，分別記標準的

36、Monte-Carlo方法計算得到的價格為V、通過引入控制變量而改進的Monte-Carlo方法計算得到的價格為CV、通過引入對稱變量得到的改進Monte-Carlo方法計算得到的價格為AV。在編程計算中，對看漲期權，控制變量為標準歐式看漲期權相對應的參變量；對看跌期權，控制變量為標準歐式看跌期權相對應的參變量。 </p><p>　?。ㄒ唬├肕onte-Carlo方法來計算標準歐式期權的價格 </p&g

37、t;<p>　　假設當前標的資產(chǎn)價格S=100，執(zhí)行價格K=100，短期利率r=0.1，到期日T=1（年），波動率σ=0.25。對標準看漲期權以及看跌期權，它們價格都有準確公式。通過公式，得到看漲期權準確價格為14.9758、看跌期權準確價格5.45954。對于看漲期權與看跌期權，編程計算結果分別（見表2、下頁表3）。 </p><p>　　觀察上頁表2與表3不難看出：未改進的Monte-Carlo

38、方法得到的誤差較大；通過引入控制變量和引入對稱變量，都可提高Monte-Carlo方法的精確度；相比較而言，通過引入控制變量得到的改進Monte-Carlo方法精確度較高，通過引入對稱變量得到的改進Monte-Carlo方法精確度相對較低。隨著模擬次數(shù)n的增大，各種Monte-Carlo方法精確度有相對的提高。 </p><p>　?。ǘ├肕onte-Carlo方法來計算歐式―兩值期權的價格 </p&g

39、t;<p>　　假設當前標的資產(chǎn)價格S=100，執(zhí)行價格K=100，短期利率r=0.1，到期日T=1（年），波動率σ=0.25，現(xiàn)金值Q=1。對于現(xiàn)金看漲期權與現(xiàn)金看跌期權，通過編程算得它們的價格，計算結果分別（見表4、表5）。 </p><p>　　另外，對于資產(chǎn)看漲期權與資產(chǎn)看跌期權，它們的價格分別（見表6、下頁表7）。 </p><p>　　觀察表6與下頁表7可以看出：

40、隨著模擬次數(shù)n增大，標準的 Monte-Carlo方法與通過引入控制變量得到的改進Monte-Carlo方法的收斂性較好。通過引入對稱變量得到的改進Monte-Carlo方法的收斂性較差。當模擬次數(shù)n很大時（如n=50 000），三者得到的結果非常接近。 </p><p>　?。ㄈ├肕onte-Carlo方法來計算浮動的歐式―回望期權的價格 </p><p>　　假設當前標的資產(chǎn)S=1

41、00，執(zhí)行價格K=120，短期利率r=0.1，到期日T=1（年），波動率σ=0.25。對于看跌期權，通過計算得其準確價格為14.2665；對于看漲期權，通過計算得其準確價格為22.8 089（其公式參見[1]）。 </p><p>　　1.對于看跌期權，通過編程算得它的價格（見表8）。 </p><p>　　2.對于看漲期權，通過編程算得它的價格（見表9）。 </p><

42、;p>　　觀察表8、表9不難看出：隨著模擬次數(shù)m的分別增大，三種Monte-Carlo方法的收斂性都較好。在計算看漲期權的價格時，三種Monte-Carlo方法的誤差都較??；但是在計算看跌期權的價格時，三種Monte-Carlo方法的誤差都較大（通過增加模擬次數(shù)n，可適當減少此誤差）。 </p><p>　?。ㄋ模├肕onte-Carlo方法來計算歐式―亞式期權的價格 </p><p&

43、gt;　　假設當前標的資產(chǎn)價格S=100，執(zhí)行價格K=120，短期利率r=0.1，到期日T=1（年），波動率σ=0.25。在下面的計算中僅僅考慮離散抽樣和固定的亞式期權的計算。并且分別記算術平均抽樣的亞式看漲期權為（I）、算術平均抽樣的亞式看跌期權為（II）、幾何平均抽樣的亞式看漲期權為（III）以及幾何平均抽樣的亞式看跌期權為（IV）。通過編程算得它們的價格，計算結果分別（見表10與表11（在計算中，抽樣次數(shù)m = 5 000； n

44、= 250））。 </p><p>　　觀察表10、表11不難看出：除了亞式期權（III）的計算結果，三種方法的計算結果均較為接近。產(chǎn)生的原因可能是：在亞式期權（III）的計算中，生成的隨機數(shù)是偽（下轉112頁）（上接108頁）隨機數(shù)，它們可能造成計算產(chǎn)生較大誤差。 </p><p><b>　　結論 </b></p><p>　　根據(jù)Blac

45、k-Scholes期權定價模型以及風險中性理論，本文詳細地討論了各種歐式期權價格的Monte-Carlo方法。通過編程計算，可以發(fā)現(xiàn)Monte-Carlo方法的主要優(yōu)點是該方法具有一般性，可推廣應用于各種期權價格的計算中。缺點是精確度較低，計算量較大。本文也發(fā)現(xiàn)通過減少隨機變量的方差（如引入控制變量以及對稱變量）是可以大幅提高Monte-Carlo方法的精確度。筆者相信本文研究的Monte-Carlo方法可以推廣應用到其他類型的期權包括

46、美式期權、利率期權以及債券期權等的定價中。 　　參考文獻： </p><p>　　[1] 姜禮尚.期權定價的數(shù)學模型和方法[M].北京：高等教育出版社，2003. </p><p>　　[2] [英]Robert.Tompkins.解讀期權[M].陳宋生，崔宏，劉鋒，譯.北京：經(jīng)濟管理出版社，2003. </p><p>　　[3] 姜禮尚，等.金融衍生產(chǎn)品定價的

47、數(shù)學模型與案例分析[M].北京：高等教育出版社，2007. </p><p>　　[4] 馬俊海.金融衍生證券定價的數(shù)值分析方法[M].杭州：浙江人民出版社，2002. </p><p>　　[5] J.C.Hull.Options，futures and other derivatives，Prentice-Hall，London，1989. </p><p>　

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51、 options </p><p>　　ZHANG Li-hong </p><p>　?。⊿chool of Marxism，Yunnan University of Finance and Economics，Kunming 650221，China） </p><p>　　Abstract：We discuss Monte-Carlo methods for

52、pricing European options.Based on the famous Black-Scholes model，we first discuss the Monte-Carlo simulation method to pricing standard European options according to Risk neutral theory.Methods to improve the Monte-Carlo

53、 simulation performance including introducing control variates and antithetic variates are also discussed.Finally we apply the proposed Monte-Carlo methods to price the European binary options，European lookback options a