數(shù)學思想

1、,,古希臘的數(shù)學,古希臘的數(shù)學家泰勒斯，被譽為科學之祖畢達哥拉斯，發(fā)現(xiàn)勾股定理歐幾里德，以后歐洲幾何學的基礎阿基米德，善用窮舉法、趨近觀念丟番圖，代數(shù)之父,數(shù)學進展的大致概況,數(shù)學發(fā)展的歷史非常悠久，大約在一萬年以前，人類從生產實踐中就逐漸形成了“數(shù)”與“形”的概念，但真正形成數(shù)學理論還是從古希臘人開始的．公元300多年以前，希臘數(shù)學家歐幾里德（Euclid，公元前330-前275）寫了《幾何原本》一書，這是自古以來所有科學著

2、作中發(fā)行量最廣、沿用時間最長的巨著．兩千多年來，數(shù)學的發(fā)展大體可以分為三個階段：17世紀以前是數(shù)學發(fā)展的初級階段，其內容主要是常量數(shù)學，如初等幾何、初等代數(shù)；從文藝復興時期開始，數(shù)學發(fā)展進入第二個階段，即變量數(shù)學階段，產生了微積分、解析幾何、高等代數(shù)；從19世紀開始，數(shù)學獲得了巨大的發(fā)展，形成了近代數(shù)學階段，產生了實變函數(shù)、泛函分析、非歐幾何、拓撲學、近世代數(shù)、計算數(shù)學、數(shù)理邏輯等新的數(shù)學分支．,古希臘第一位科學家—泰勒斯,科學和哲學

3、之祖希臘最早的哲學學派——米利都學派（也稱愛奧尼亞學派）創(chuàng)始人西方思想史上第一個有記載有名字留下來的思想家是古希臘及西方第一個自然科學家和哲學家,泰勒斯生平,出身奴隸主貴族家庭身兼哲學家，科學家，商人等眾多身份游學兩河流域，埃及等諸多亞洲國家創(chuàng)立了伊奧尼亞學派第一次引入了命題證明的思想，為其后科學的誕生奠定了基礎,,,萬物皆數(shù)——畢達哥拉斯,畢達哥拉斯古希臘數(shù)學家、哲學家無論是解說外在物質世界，還是描寫內在精神世界，

4、都不能沒有數(shù)學!最早悟出萬事萬物背后都有數(shù)的法則在起作用,,,萬物皆數(shù)——畢達哥拉斯,畢達哥拉斯古希臘數(shù)學家、哲學家無論是解說外在物質世界，還是描寫內在精神世界，都不能沒有數(shù)學!最早悟出萬事萬物背后都有數(shù)的法則在起作用,畢達哥拉斯和泰勒斯的關系,畢達哥拉斯并非泰勒斯的學生，而是在當時的文化中心米利都游學期間受到了米利都學派學者的影響(主要受益于阿那克西曼德（另一位米莉都學派的代表人物，其他的還有阿拉克希米尼（萬物皆氣）等）)

5、 ，拜訪泰勒斯時受其指點到東方實地探尋萬物的起源畢達哥拉斯學派也非泰勒斯學派的繼承，相反，兩者在后期針鋒相對，時間上有重疊，并非簡單地延續(xù),關于畢達哥拉斯的萬物皆數(shù),畢達哥拉斯的“萬物皆數(shù)”思想是錯的，不同于華羅庚的《大哉數(shù)學之為用》華老的指的是世間萬物皆有量的關系在作用（舉例：做飯放少許鹽油，睡覺的最佳時間）萬物皆數(shù)：是因為他們學派要把數(shù)這個作為學派基本教義的東西深入人心，所以刻意強化數(shù)的重要性，且此處萬物由數(shù)構成主要是將數(shù)和形

6、相結合，把數(shù)認為是原子（《古今數(shù)學思想_3_古典希臘數(shù)學的誕生》）,畢達哥拉斯學派的主要成就,繼泰勒斯之后傳承了學術事業(yè)的火炬將數(shù)學從哲學中獨立出來進行研究用幾何方法研究數(shù)的關系用幾何方法探尋等差數(shù)列的求和問題探討數(shù)之間的比例關系，深入描述有理數(shù)發(fā)現(xiàn)無理數(shù)的存在發(fā)現(xiàn)并證明無理數(shù)的存在,數(shù)學的幾種定義,,芝諾-厄里亞學派,Zeno與其老師Parmenides來自于畢達哥拉斯學派。提出四個關于運動的悖論，開啟了人類對極限和連續(xù)

7、的思考四個悖論的核心：利用人們對空間和時間有兩種對立的看法普魯塔克：大哉芝諾，鼓舌如簧，無論你 說什么，他總認為荒唐。,數(shù)學的幾種定義,,畢達哥拉斯及其學派軼事,畢達哥拉斯是比同時代中一些開壇授課的學者進步一點；因為他容許婦女（當然是貴族婦女而不是奴隸女婢）來聽課。他認為婦女也是和男人一樣有求知的權利，因此他的學派中就有十多名女學者。這是其他學派所沒有的現(xiàn)象。（是希臘女子科學家的開端，鼎

8、盛在柏拉圖學院）熱心的聽眾中就有他后來的妻子西雅娜，她年輕漂亮，曾給他寫過傳記，可惜已經(jīng)失傳了。,畢達哥拉斯及其學派軼事,畢達哥拉斯盟會甚至還一度取得了克羅頓的統(tǒng)治權。他們重視科學研究，鼓勵發(fā)展工商業(yè)，在意大利率先鑄造金幣，從而使克羅頓成為該地區(qū)最為強大的城幫?？肆_頓人贊美道：“由于他的降臨，把幸福的火花和哲學帶給人類，作為神的禮物，那是過去不曾有過的，也不能有更大的善了。因此，到今天還流傳著，用最莊嚴的方式公開贊揚這個長頭發(fā)的薩摩斯

9、人?！贝_實，畢達哥拉斯給他們帶來的不僅僅是智慧，還有無盡的財富與幸福美好的生活。,畢達哥拉斯學派及其影響,在畢達哥拉斯死后，由于學派四散，由于幫規(guī)不能向外人傳道，反而促使各自自行發(fā)展，從而在一定程度上促生了雅典時期以及亞歷山大前期的百家爭鳴的盛況（例如著名的芝諾及其老師都是畢達哥拉斯學派的，智人學派中大多數(shù)都來源于該學派）許多門徒逃回希臘本土，在弗利奧斯重新建立據(jù)點，另一些人到了塔蘭托，繼續(xù)進行數(shù)學哲學研究，以及政治方面的活動，直到公

10、元前4世紀中葉。畢達哥拉斯學派持續(xù)繁榮了兩個世紀之久。,畢達哥拉斯學派及其影響,在宇宙論方面，畢達哥拉斯結合了米利都學派以及自己有關數(shù)的理論。他認為存在著許多但有限個世界，并堅持大地是圓形的，不過則拋棄了米利都學派的地心說。,畢達哥拉斯學派及其影響,畢達哥拉斯對數(shù)學的研究還產生了后來的理念論和共相論。即有了可理喻的東西與可感知的東西的區(qū)別，可理喻的東西是完美的、永恒的，而可感知的東西則是有缺陷的。這個思想被柏拉圖發(fā)揚光大，并從此一直支配

11、著哲學及神學思想。（柏拉圖哲學的本體論被稱為“客觀唯心主義” ）（《情定愛琴?！?lt;蘇有朋和蔡琳: “柏拉圖的永恒”在電視里它是一串美麗的手鏈，它串起了一段美麗的愛情。 ）,畢達哥拉斯學派及其影響,他還堅持數(shù)學論證必須從“假設”出發(fā)，開創(chuàng)演繹邏輯思想，對數(shù)學發(fā)展影響很大。,關于無理數(shù),大約在公元前370年，這個"矛盾"被畢氏學派晚期的重要成員阿爾希塔斯的學生，杰出的歐多克斯通過給比例下新定義的方法解決了。,

12、畢達哥拉斯的音樂比例,算術平均值A幾何平均值G調和平均值H,畢達哥拉斯的音樂比例,算術平均值A 加和除以總數(shù)幾何平均值G 乘積再開方調和平均值H 倒數(shù)的算術平均值的倒數(shù) 之間的關系,黃金分割,公元前300年前后歐幾里得撰寫《幾何原本》時吸收了歐多克索斯的研究成

13、果，進一步系統(tǒng)論述了黃金分割，成為最早的有關黃金分割的論著。,,,希臘化時代,超出了希臘地域范疇的東西方文化交融發(fā)展的時代共分兩個階段： 亞歷山大前期：馬其頓王朝統(tǒng)治時期 亞歷山大后期：羅馬統(tǒng)治時期代表城市：亞歷山大里亞,雅典時期到亞歷山大時期的傳承,,希臘化時代著名數(shù)學家,歐幾里德阿基米德丟番圖西帕提亞,幾何原本——歐幾里德,建立了比較嚴格的幾何體系第五公設——非歐幾何亞歷山大

14、學派的代表人物提出分析法、綜合法和歸謬法,目前主要的非歐幾何,羅氏幾何： 同一直線的垂線和斜線不一定相交。 　　垂直于同一直線的兩條直線，當兩端延長的 時候，離散到無窮。 　　不存在相似的多邊形。 　　過不在同一直線上的三點，不一定能做一個圓。 歐式幾何： 　　同一直線的垂線和斜線相交。 　　垂直于同一直線的兩條直線互相平行。 　　存在相似的多邊形。 　　過不在同一直線上的三點可以做

15、且僅能做一個圓。,歐式幾何和非歐幾何的區(qū)別,,Non-Euclidean geometry 非歐幾里得幾何是一門大的數(shù)學分支，一般來講 ，它有廣義、狹義、通常意義這三個方面的不同含義。所謂廣義式泛指一切和歐幾里得幾何不同的幾何學，狹義的非歐幾何只是指羅氏幾何來說的，至于通常意義的非歐幾何，就是指羅氏幾何和黎曼幾何這兩種幾何。,到了十九世紀二十年代，俄國喀山大學教授羅巴切夫斯基在證明第五公設的過程中，他走了另一條路子。他提出了一個和歐式平

16、行公理相矛盾的命題,用它來代替第五公設，然后與歐式幾何的前四個公設結合成一個公理系統(tǒng)，展開一系列的推理。他認為如果這個系統(tǒng)為基礎的推理中出現(xiàn)矛盾，就等于證明了第五公設。我們知道，這其實就是數(shù)學中的反證法。但是，在他極為細致深入的推理過程中，得出了一個又一個在直覺上匪夷所思，但在邏輯上毫無矛盾的命題。最后，羅巴切夫斯基得出兩個重要的結論：第一，第五公設不能被證明。第二，在新的公理體系中展開的一連串推理，得到了一系列在邏輯上無矛盾的新

17、的定理，并形成了新的理論。這個理論像歐式幾何一樣是完善的、嚴密的幾何學。這種幾何學被稱為羅巴切夫斯基幾何，簡稱羅氏幾何。這是第一個被提出的非歐幾何學。從羅巴切夫斯基創(chuàng)立的非歐幾何學中，可以得出一個極為重要的、具有普遍意義的結論：邏輯上互不矛盾的一組假設都有可能提供一種幾何學,黎曼幾何是德國數(shù)學家黎曼創(chuàng)立的。他在1851年所作的一篇論文《論幾何學作為基礎的假設》中明確的提出另一種幾何學的存在，開創(chuàng)了幾何學的一片新的廣闊領域。黎曼幾何

18、中的一條基本規(guī)定是：在同一平面內任何兩條直線都有公共點(交點)。在黎曼幾何學中不承認平行線的存在，它的另一條公設講：直線可以無限延長，但總的長度是有限的。黎曼幾何的模型是一個經(jīng)過適當“改進”的球面。近代黎曼幾何在廣義相對論里得到了重要的應用。在物理學家愛因斯坦的廣義相對論中的空間幾何就是黎曼幾何。在廣義相對論里，愛因斯坦放棄了關于時空均勻性的觀念，他認為時空只是在充分小的空間里以一種近似性而均勻的，但是整個時空卻是不均勻的。在物理學中

19、的這種解釋，恰恰與黎曼幾何的觀念是相似的。此外，黎曼幾何在數(shù)學中也是一個重要的工具。它不僅是微分幾何的基礎，也應用在微分方程、變分法和復變函數(shù)論等方面。,兩類幾何的關系,歐氏幾何、羅氏幾何、黎曼幾何是三種各有區(qū)別的幾何。這三種幾何各自所有的命題都構成了一個嚴密的公理體系，各公理之間滿足和諧性、完備性和獨立性。因此這三種幾何都是正確的。 在我們的日常生活中，歐式幾何是適用的；在宇宙空間中或原子核世界，羅氏幾何更符合客觀實際；在地球表面

20、研究航海、航空等實際問題中，黎曼幾何更準確一些。,在農業(yè)方面的成績,阿基米德螺旋：一種螺旋形汲水器，目前仍有使用。杠桿原理《論平面圖形的平衡》 泵軸轉動時，螺桿一方面繞本身的軸線旋轉，另一方面它又沿襯套內表面滾動，于是形成泵的密封腔室。螺桿每轉一周,密封腔內的液體向前推進一個螺距，最后擠出泵體。,阿基米德之死,阿基米德被后世的數(shù)學家尊稱為“數(shù)學之神”，在人類有史以來最重要的三位數(shù)學家中，阿基米德占首位，另兩位是牛頓和高斯。,代

21、數(shù)之父——丟番圖,經(jīng)典之作——《算數(shù)》使得代數(shù)成為一門獨立的學科丟番圖的墓志銘,古希臘的數(shù)學學派,伊奧尼亞學派 ——泰勒斯畢達哥拉斯學派 ——畢達哥拉斯智人學派 ——雅典眾學者柏拉圖學派——柏拉圖埃利亞學派——芝諾 原子論學派——德謨克利特亞歷山大學派——亞歷山大城,希帕提亞之死,,女數(shù)學家希帕蒂婭之死昭示古希臘數(shù)學的徹底結束美國著名的無神論者莫斯利：希帕提亞的殉難意味著“古典世界的消亡”,古希臘數(shù)學與中國數(shù)學之

22、比較,起源的比較早期文獻的比較經(jīng)典之作的比較發(fā)展特點的比較衰退原因的比較,東方數(shù)學的萌芽和發(fā)展,巴比倫 (至公元前二世紀）的數(shù)學古埃及的數(shù)學（至公元前332年）古代中國的數(shù)學古印度及阿拉伯數(shù)學（公元9世紀至13世紀）,巴比倫,巴比倫(Babylon)位于伊拉克首都巴格達以南90公里是與古代中國、印度、埃及齊名的人類文明發(fā)祥地。巴比倫意即“神之門”，公元前2000年至公元前1000年曾是西亞最繁華的政治、經(jīng)濟以及商業(yè)和文

23、化中心。,楊輝及其數(shù)學成就,宋元數(shù)學四大家之一（秦九韶、李治、朱世杰 ）開方作法本源（楊輝三角）(x+1)n《續(xù)古摘奇算法》——縱橫圖（幻方）,劉 徽 劉徽（生于公元250年左右），是中國數(shù)學史上一個非常偉大的數(shù)學家，在世界數(shù)學史上，也占有杰出的地位．他的杰作《九章算術注》和《海島算經(jīng)》，是我國最寶貴的數(shù)學遺產． 賈 憲 賈憲，中國古代北宋時期杰出的數(shù)學家。曾撰寫的《黃帝九章算法細草》（九卷）和《算法斆古集》（二卷）（

24、斆xiào，意：數(shù)導）均已失傳。 他的主要貢獻是創(chuàng)造了"賈憲三角"和增乘開方法，增乘開方法即求高次冪的正根法。目前中學數(shù)學中的混合除法，其原理和程序均與此相仿，增乘開方法比傳統(tǒng)的方法整齊簡捷、又更程序化，所以在開高次方時，尤其顯出它的優(yōu)越性，這個方法的提出要比歐洲數(shù)學家霍納的結論早七百多年。,李冶 原名李治，號敬齋，金代真定欒城人，曾任鈞州（今河南禹縣）知事，1232年鈞州被蒙古軍所破，遂隱居治學，被

25、元世祖忽必烈聘為翰林學士，僅一年，便辭官回鄉(xiāng)。1248年撰成《測圓海鏡》，其主要目的是說明用天元術列方程的方法。“天元術”與現(xiàn)代代數(shù)中的列方程法相類似，“立天元一為某某”，相當于“設x為某某“，可以說是符號代數(shù)的嘗試。李冶還有另一步數(shù)學著作《益古演段》（1259）也是講解天元術的。 祖沖之 是南北朝時代的一位杰出科學家。他不僅是一位數(shù)學家，同時還通曉天文歷法、機械制造、音樂等領域，并且是一位天文學家。 祖沖之在數(shù)學方面的主要成

26、就是關于圓周率的計算，他算出的圓周率為3.1415926<π<3.1415927，這一結果的重要意義在于指出誤差的范圍，是當時世界最杰出的成就。祖沖之確定了兩個形式的π值，約率355/173(≈3.1415926）密率22/7(≈3.14)，這兩個數(shù)都是π的漸近分數(shù)。,趙 爽 趙爽，三國時期東吳的數(shù)學家。曾注《周髀算經(jīng)》，他所作的《周髀算經(jīng)注》中有一篇《勾股圓方圖注》全文五百余字，并附有云幅插圖（已失傳），這篇注文簡練地總

27、結了東漢時期勾股算術的重要成果，最早給出并證明了有關勾股弦三邊及其和、差關系的二十多個命題，他的證明主要是依據(jù)幾何圖形面積的換算關系。 趙爽還在《勾股圓方圖注》中推導出二次方程 (其中a>0,A>0)的求根公式 在《日高圖注》中利用幾何圖形面積關系，給出了"重差術"的證明。（漢代天文學家測量太陽高、遠的方法稱為重差術）。,15－17世紀的中國數(shù)學,珠算 西學漸入中國科技的代表作程大位（明，153

28、3－1606年）1592年編著了《直指算法統(tǒng)宗》。從它流傳的長久和廣泛方面來講，那是中國古代數(shù)學史上任何著作也不能與之相比,西學漸入,西方數(shù)學在中國早期傳播的第一次高潮是從17世紀初到18世紀初（明末清初），標志性事件是歐幾里得《原本》的首次翻譯。最早來中國從事傳教活動的是1582年來華的意大利傳教士利瑪竇，被中國人尊稱為“西學東漸第一師”。徐光啟（明，1562—1633年），中國近代科學的啟蒙大師。1607年，徐光啟與利瑪竇合作翻

29、譯的歐幾里得《原本》前6卷出版?！稁缀卧尽肥侵袊g西方數(shù)學書籍的開始，相繼出現(xiàn)了許多歐洲數(shù)學著作。,徐光啟及其《條議歷法修正歲差疏 》,徐光啟 給崇禎皇帝上奏折《條議歷法修正歲差疏》，論述了“數(shù)學和其他科學的關系，數(shù)學在生產實踐中作用”，他是把數(shù)學作為其他一切自然科學和工程學的基礎來看待，這比馬克思恩格斯論述數(shù)學在自然科學中的作用早了幾百年。 徐光啟提出的“格物窮理之學”核心就是以數(shù)學的演繹推理和數(shù)量計算來探求客

30、觀事物的規(guī)律，具有近現(xiàn)代科學的特征他希望借助演繹推理，尋求事物的數(shù)學規(guī)律，形成“有理，有義，有法，有數(shù)”，使中國的科學思想在質上邁進了一大步 ——中國的“泰勒斯”,世界數(shù)學年,2000年是聯(lián)合國宣布的“世界數(shù)學年”，聯(lián)合國教科文組織指出：“純粹數(shù)學與應用數(shù)學是理解世界及其發(fā)展的一把主要鑰匙?！?西歐數(shù)學的復蘇,時間：公元十一世紀至十六世紀階段劃分黑暗的中世紀吸收東方文化——十字軍遠征文藝復興運動,西歐數(shù)學的復蘇,十字軍東征

31、 使西歐直接接觸到了當時更為先進的東方文明，為歐洲的文藝復興開辟了道路。文藝復興 帶來一段科學與藝術革命時期，揭開了近代歐洲歷史的序幕，被認為是中古時代和近代的分界。馬克思主義史學家認為是封建主義時代和資本主義時代的分界。,十字軍東征,在1096年到1291年發(fā)生的多次宗教性軍事行動的總稱 由西歐基督教（天主教）國家對地中海東岸的國家發(fā)動的戰(zhàn)爭 由于羅馬天主教圣城耶路撒冷落入伊斯蘭教徒手中,近代數(shù)學的基本分支,幾何學代數(shù)

32、學 微積分 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 微分方程,幾何學,1、幾何原本和非歐幾何《幾何原本》是由公理方法建立的演繹數(shù)學體系的最早典籍。波爾約(1802-1860),匈牙利數(shù)學家,等人創(chuàng)立了幾種否定歐氏幾何第(5)公設的新幾何,給出了一個非歐幾里得的完整而無矛盾的新體系。這種幾何叫非歐幾何。2、解析幾何1637年,笛卡兒的名著《幾何學》問世,宣布解析幾何的誕生。,代數(shù)學,1,集合論集合是全部數(shù)學的最基本概念之一,是整個數(shù)學大

33、廈的基礎. 2,圖論圖論是離散數(shù)學的重要分支,由歐拉創(chuàng)立3,數(shù)理邏輯萊布尼茲發(fā)表的數(shù)學論文,首次提出數(shù)理邏輯的思想,把邏輯推理代數(shù)化,把用自然語言含糊表達的形式邏輯符號化,這種邏輯被稱為數(shù)理邏輯.,代數(shù)學,4,數(shù)論數(shù)論是研究數(shù)的科學,含初等數(shù)論,代數(shù)數(shù)論,解析數(shù)論等. 核心人物 畢達哥拉斯 丟番圖 花拉子密,文藝復興,文藝復興三巨人：達芬奇(《蒙娜麗莎》) 莎士比亞(《哈姆雷特》)但丁(《神曲》

34、),文藝復興,文藝復興時期的技術進步文藝復興時期的數(shù)學代數(shù)學 三角學 對 數(shù)幾何學,重要意義,到16世紀末、17世紀初，整個初等數(shù)學的主要內容基本定型，文藝復興促成的東西方數(shù)學的融合，為近代數(shù)學的興起及以后的驚人發(fā)展鋪平了道路。,代數(shù)學,帕西奧里（意，1445－1517年），1494年出版《算術集成》是一部數(shù)學百科全書，其中采用了優(yōu)越的記號及大量的數(shù)學符號，推進了代數(shù)學的發(fā)展。塔塔利亞（意，1499－1557年）發(fā)表了《