量子力學基礎 1

1、第五講、量子力學基礎,經(jīng)典物理的困惑能量的量子化波粒二象性物質(zhì)波測不準原理薛定諤方程,黑體輻射,光電效應,氫原子光譜,康普頓效應,1899年開爾文在歐洲科學家新年聚會的賀詞中說：物理學晴朗的天空上， 飄著幾朵令人不安的烏云,經(jīng)典物理的困惑,物體的運動 --- 牛頓力學光、電磁波 --- Maxwell方程熱現(xiàn)象 --- 熱力學及統(tǒng)計物理,（一）、黑體輻射,熱輻射：由熱運動引起的輻射現(xiàn)象。如：太陽發(fā)光，火爐。黑 體：

2、對入射的電磁波能全部吸收，且不反射和折射電磁波的物體。,■ 輻出度 M(T )：單位時間內(nèi)，從物體表面單位面積上發(fā)出的所有波長的電磁波的總能量,吸收比：,維恩公式： (1893),2 瑞利—金斯公式： (1900-1905),經(jīng)典理論與實驗結(jié)果的矛盾：,1、維恩公式在短波段與實驗相符，但在長波段與 實驗不符合；,2、瑞利-金斯公式則在長波段與實驗相符，而在短 波段與實驗有明顯的差別。特別是在波長趨于零

3、 時，輻出度趨于無窮大，歷史上稱為“紫外災難”。,3、普朗克能量子假說,普朗克提出能量子假說，推出普朗克公式，全波段與實驗結(jié)果驚人符合。,(1)黑體是由帶電諧振子組成，這些諧振子輻射電磁波，并和周圍的電磁場交換能量。,(2) 這些諧振子能量不能連續(xù)變化，只能取一些分立值，是最小能量? 的整數(shù)倍,這個最小能量稱為能量子。,h—普朗克常數(shù),普朗克公式：,維恩公式：,2 瑞利—金斯公式：,M.V.普朗克 研究輻射的量子理論，

4、發(fā)現(xiàn)基本量子，提出能量量子化的假設,1918諾貝爾物理學獎,（二）、光電效應,1.定義：當光照射到金屬表面時，金屬中有電子逸出的現(xiàn)象叫光電效應，所逸出的電子叫光電子，由光電子形成的電流叫光電流，使電子逸出某種金屬表面所需的功稱為該種金屬的逸出功。,2.實驗裝置K——金屬電極（陰極）A——陽極光電子由K飛向A，在回路中形成光電流。,1.實驗規(guī)律與電磁波理論的矛盾。,(1)經(jīng)典認為光強越大，飽和電流應該大，光電子的初動能也該大。但實驗

5、上飽和電流不僅與光強有關(guān)而且與頻率有關(guān)，光電子初動能也與頻率有關(guān)。,(2)只要頻率高于紅限，既使光強很弱也有光電流；頻率低于紅限時，無論光強再大也沒有光電流。而經(jīng)典認為有無光電效應不應與頻率有關(guān)。 　　(3)瞬時性（無論光強如何微弱，從光照射到光電子出現(xiàn)只需要10-9s的時間）。經(jīng)典認為光能量分布在波面上，吸收能量要時間，即需能量的積累過程。,2.愛因斯坦光子假設解釋實驗規(guī)律：,(1)假設：1905年，愛因斯坦對光的本性提出了新的理論

6、，認為光束可以看成是由微粒構(gòu)成的粒子流，這些粒子流叫做光量子，簡稱光子。在真空中，光子以光速c運動。一個頻率為ν的光子具有能量ε=hn。,(2)光電效應的愛因斯坦方程,(2) 紅限頻率的存在：　　當入射光頻率低于紅限頻率n0，hnA/h），以致每個光子的能量足夠大，電子才能克服逸出功而逸出金屬表面。所以紅限頻率n =A/h；,3、光電效應解釋,(1)飽和光電流強度與光強成正比：　　對于給定頻率的光束來說，光的強度越大，表示光子的數(shù)目

7、越多，光電子越多，光電流越大。,(4)光電效應的瞬時性：　　當電子一次性地吸收了一個光子后，便獲得了 hn 的能量而立刻從金屬表面逸出，沒有明顯的時間滯后。,(3) 截止電壓與頻率成線性關(guān)系,光的波動性（?）和粒子性（p）是通過普朗克常數(shù)（h）聯(lián)系在一起的。,相對論質(zhì)能關(guān)系：,光子的質(zhì)量：,因為：,光子的動量：,光既具有粒子性，又具有波動性，即具有波粒二象性,（4）光的波粒二象性,A.愛因斯坦 闡明光電效應、對現(xiàn)代物理方面的貢獻巨大

8、 波粒二象性、相對論,1921諾貝爾物理學獎,（三）、氫原子光譜,氫氣放電管獲得氫光譜在可見光范圍內(nèi)有四條,Hα：紅色 656.210nmHβ：深綠 486.074nmHγ：青色 434.010nmHδ：紫色 410.120nm,瑞典的埃格斯特朗在1853年首先觀測到的，波長的單位就是以他的名字命名的。,1885年，瑞士數(shù)學家巴耳末把氫原子的前四條譜線歸納巴耳末公式,巴耳末系波長極限值,1890年，里德伯采用波

9、數(shù),里德伯常量,氫原子光譜規(guī)律：,賴曼系(1916)紫外部分,帕邢系(1908)可見光,布喇開系(1922)近紅外部分,普豐德系(1924)紅外部分,漢弗萊系(1953)遠紅外部分,廣義巴耳末公式,定態(tài)假說：電子在原子中，可以在一些特定的圓軌道上運動，而不輻射電磁波，這時原子處于穩(wěn)定狀態(tài)（定態(tài)）并具有一定的能量。,其中n=1,2,3,...稱為主量子數(shù),量子化條件：電子以速度v在半徑為r的圓周上繞核運動時，只的電子角動量L等于h/(2p

10、 )的整數(shù)倍的那些軌道才是穩(wěn)定的,躍遷假設：當原子從高能量的定態(tài)躍遷到低能量的定態(tài)，即電子從高能量Ei的軌道躍遷到低能量Ef的軌道上時，要發(fā)射能量為hn 的光子：,玻爾的基本假設：,氫原子光譜：,氫原子發(fā)光機制是能級間的躍遷,R實驗=1.096776×107m-1,廣義巴耳末公式：,n=1,2,3…,n=1,2,3…,,N.玻爾研究原子結(jié)構(gòu)，特別是研究從原子發(fā)出的輻射,1922諾貝爾物理學獎,(四)、康普頓效應(Compto

11、n effect),1922年間康普頓觀察X射線通過物質(zhì)散射時，發(fā)現(xiàn)散射的波長發(fā)生變化的現(xiàn)象。,實驗裝置,1.散射光除原波長?0外，還出現(xiàn)了波長大于?0的新的散射波長? 。,與散射角?有關(guān)，與物質(zhì)無關(guān)。,3.不同散射物質(zhì)，在同一散射角下波長的改變相同。,4. 波長為?的散射光強度隨散射物質(zhì)原子序數(shù)的增加而減小。,電磁波理論與實驗規(guī)律的矛盾：帶電粒子在光的照射下，做受迫振動，故 應相同。,光子理論對康普頓效應的解釋,高能光子和低

12、能自由電子作彈性碰撞的結(jié)果。,1、若光子和外層電子相碰撞，光子有一部分能量傳給電子, 光子的能量減少，因此波長變長，頻率變低。,2、若光子和內(nèi)層電子相碰撞時，碰撞前后光子能量幾乎不變，故波長有不變的成分。,3、因為碰撞中交換的能量和碰撞的角度有關(guān)，所以波長改變和散射角有關(guān)。,康普頓效應的定量分析,,（1）碰撞前,（2）碰撞后,（3）動量守恒,碰撞前，電子平均動能（約百分之幾eV），與入射的X射線光子的能量（104~105eV）相比可忽略

13、，電子可看作靜止的。,由能量守恒:,由動量守恒:,康普頓散射公式,1927諾貝爾物理學獎,A.H.康普頓 發(fā)現(xiàn)了X射線通過物質(zhì)散射時，波長發(fā)生變化的現(xiàn)象,（五）粒子的波動性,一、德布羅意波,1924年德布羅意提出了物質(zhì)波的概念： 任何運動的粒子皆伴隨著一個波，粒子的運動和波的傳播不能相互分離。,運動的實物粒子的能量E、動量p與它相關(guān)聯(lián)的波的頻率? 和波長?之間滿足如下關(guān)系：,德布羅意關(guān)系式,表示自由粒子的平面波稱為德布羅

14、意波(或物質(zhì)波),自由粒子速度較小時,電子的德布羅意波長為,例如：電子經(jīng)加速電勢差 V加速后,物質(zhì)波的實驗驗證,1927年戴維孫和革末用加速后的電子投射到晶體上進行電子衍射實驗。,L.V.德布羅意 電子波動性的理論研究,1929諾貝爾物理學獎,C.J.戴維孫 通過實驗發(fā)現(xiàn)晶體對電子的衍射作用,1937諾貝爾物理學獎,二、德布羅意波的統(tǒng)計解釋,1926年，德國物理學玻恩 (Born , 1882--1972) 提出了概率波，認為個別微

15、觀粒子在何處出現(xiàn)有一定的偶然性，但是大量粒子在空間何處出現(xiàn)的空間分布卻服從一定的統(tǒng)計規(guī)律。,M.玻恩 對量子力學的基礎研究，特別是量子力學中波函數(shù)的統(tǒng)計解釋,1954諾貝爾物理學獎,微觀粒子的空間位置要由概率波來描述，概率波只能給出粒子在各處出現(xiàn)的概率。任意時刻不具有確定的位置和確定的動量。,X方向電子的位置不準確量為：,（六） 測不準關(guān)系,坐標和動量的不確定關(guān)系,第一極暗紋的衍射角,大于號是考慮還有一些電子落在中央明紋以外區(qū)域。,上

16、式表明粒子， 與 成反比。a小， 小， 大。,經(jīng)嚴格證明可以得到：,這就是著名的海森伯測不準關(guān)系式,解：根據(jù)不確定關(guān)系可得電子位置的不確定量為：,例：由玻爾理論算得氫原子中電子的運動速率為 若其不確定量為1.0%，求電子位置變化的范圍。,此值已超出原子的線度（10-10m）.所以就原子中的電子而言，要它有確定的位置同時又有確定的速率，是沒有意

17、義的。顯然，由于微觀粒子的波動性，核外電子軌道的概念是沒有意義的。,所以，對于宏觀物體的坐標及動量可以同時確定,測不準關(guān)系式的理解,1. 用經(jīng)典物理學量——動量、坐標來描寫微觀粒子行為時將會受到一定的限制 。,3. 對于微觀粒子的能量 E 及它在能態(tài)上停留的平均時間Δt 之間也有下面的測不準關(guān)系：,2. 可以用來判別對于實物粒子其行為究竟應該用經(jīng)典力學來描寫還是用量子力學來描寫。,W.海森堡 創(chuàng)立量子力學，并導致氫的同素異形的發(fā)現(xiàn)

18、,1932諾貝爾物理學獎,（七）、薛定諤方程,經(jīng)典的物理定律不能描述微觀粒子的運動狀態(tài),1926年，薛定諤在德布羅意關(guān)系和態(tài)疊加原理的基礎上，提出了薛定諤方程做為量子力學的又一個基本假設來描述微觀粒子的運動規(guī)律。,當微觀粒子在某一時刻的狀態(tài)為已知時，以后時刻粒子所處的狀態(tài)也要薛定諤方程來決定。,海森堡創(chuàng)立的矩陣力學和薛定諤創(chuàng)立的波動力學，兩者是等價的，統(tǒng)稱為量子力學。,根據(jù)平面波：,式中： 微觀粒子（如電子）的動量為P 、質(zhì)量為m、能量

19、為E,可以寫出微觀粒子的波動方程：,與粒子(某時刻、在空間某處)出現(xiàn)的幾率成正比。,一、幾率波,?*是?的共軛,波函數(shù)的性質(zhì)：,1）波函數(shù)具有歸一化,粒子在整個空間出現(xiàn)的幾率：,定義粒子在空間某處（dv）出現(xiàn)的幾率：,波函數(shù)在變量變化的全部區(qū)域內(nèi)通常應滿足三個條件：,2）單值性：,3）連續(xù)性,4）有限性,波函數(shù)的標準化條件,波函數(shù)?本身并無物理意義，而波函數(shù)的模的平方（波的強度）代表時刻t、在空間 r點處，微觀粒子出現(xiàn)的幾率。,5）狀態(tài)

20、疊加原理：,??(x,t)? 2 = ?(x,t)*?(x,t),?(x,t)……稱為“幾率振幅” 或“狀態(tài)”,??(x,t)? 2……稱為“幾率密度”或“幾率”,若體系具有一系列不同的可能狀態(tài)，??1, ?2···?， 則它們的線性組合：?=C1?1,+C2?2+··· 也是該體系的一個可能的狀態(tài)，稱為量子力學中的態(tài)疊加原理。其中C1, C2 ··

21、83;為任意復常數(shù)。,經(jīng)典物理中的線性疊加是實在物理量的疊加，量子力學中，粒子處于態(tài)?1和態(tài)?2的線性疊加?時，粒子即可以處在態(tài)?1，又可處在態(tài)?2，測量時會發(fā)現(xiàn)，粒子分別以一定的幾率處在態(tài)?1和態(tài)?2。,二、薛定諤方程,所要建立的是描寫波函數(shù)隨時間變化的方程，它必須是波函數(shù)應滿足的含有對時間微商的微分方程。,這個方程還應滿足以下兩個條件：（1）方程是線性的，這是由態(tài)迭加原理決定的；（2）這個方程的系數(shù)不應包含狀態(tài)的參量，如動量、能量

22、等。 否則方程只能被粒子的部分狀態(tài)所滿足，不能被各種可能的狀態(tài)所滿足。,1.自由粒子的薛定諤方程,動量為P 、質(zhì)量為m、能量為E的自由粒子， 沿 x 軸運動的波函數(shù)為：,對時間求微商，得到：,①,對 x 求二階偏導,②,當粒子速度遠小于光速c時（v<<c）自由粒子的動量和能量滿足以下關(guān)系：,③,比較以上三式，可得：,④,這就是一維空間運動的自由粒子的薛定諤方程。,此時的薛定諤方程為：,若粒子不是自由的，而是在

23、某力場中運動，其勢能函數(shù)為EP＝Ｕ(x,t)，則粒子的總能量應為：,④,⑤,2.薛定諤方程的一般形式,為書寫方便，我們引入拉普拉斯算符：,若粒子不是在一維空間而是在三維空間的勢場中運動，則其薛定諤方程為：,則上式可寫為：,⑥,⑦,寫成式子：,由上式可知，粒子能量E和動量P與下列作用在波函數(shù)上的算符相當：,引入哈密頓算符：,則⑦式可寫為：,這就是薛定諤方程的一般形式。,如果粒子的勢能并不隨時間而變化，即U=U(x,y,z)，它不包含時間（

24、在經(jīng)典力學中這相應于粒子機械能守恒的情況）。在這種情況下，可以用分離變量法把波函數(shù)寫成空間坐標函數(shù)和時間函數(shù)的乘積，即：,3.定態(tài)薛定諤方程,定態(tài)：勢函數(shù)不顯含時間，其幾率分布也不隨時間變化的狀態(tài)。,或者可寫為：,代入,很明顯，上式右邊只是 矢徑 的函數(shù)，而左邊只是時間t的函數(shù)，為了使上式成立，必須兩邊恒等于某一個常數(shù)，設以E表示，則有：,兩邊除以 可得：,方程（1）的解為：,（1）,（2

25、）,（c為任一常數(shù)）,將 代入,并把常數(shù)包含在 中，這樣就得到薛定諤方程的特解為：,--- 定態(tài)波函數(shù),定態(tài)薛定諤方程的每一個解表示粒子的一個穩(wěn)定狀態(tài)，并且由其解所得出的粒子在空間的幾率密度與時間無關(guān)：,方程 稱為定態(tài)薛定諤方

26、程。,波函數(shù)的性質(zhì),幾率密度,可以看出，常數(shù)E其實就是微觀粒子的總能量，因此定態(tài)也就是微觀粒子能量不隨時間變化的狀態(tài)。,討論定態(tài)問題就是要求出體系可能有的定態(tài)波函數(shù) 和在這些態(tài)中的能量E。,由于定態(tài)波函數(shù) 和函數(shù) 以公式 ： 聯(lián)系起來，所以問題就歸結(jié)于解定態(tài)薛定諤方程求出能量E的可能值和波函數(shù)