大學物理-量子力學簡介

1、大學物理學電子教案,武警學院教學課件,量子物理（4）,19-8 量子力學簡介波函數(shù) 概率密度薛定諤方程一維勢阱問題對應(yīng)原理一維方勢壘 隧道效應(yīng),19-8 量子力學簡介,薛定諤 (Erwin Schrödinger, 1887–1961),,薛定諤在德布羅意思想的基礎(chǔ)上，于1926年在《量子化就是本征值問題》的論文中，提出氫原子中電子所遵循的波動方程(薛定諤方程)，并建立了以薛定諤方程為基礎(chǔ)的波動力學和量子力

2、學的近似方法。薛定諤方程在量子力學中占有極其重要的地位，它與經(jīng)典力學中的牛頓運動定律的價值相似。薛定諤對原子理論的發(fā)展貢獻卓著，因而于1933年同英國物理學家狄拉克共獲諾貝爾物理獎金。 薛定諤還是現(xiàn)代分子生物學的奠基人，1944年，他發(fā)表一本名為《什么是生命 ——活細胞的物理面貌》的書，從能量、遺傳和信息方面來探討生命的奧秘。,奧地利著名的理論物理學家，量子力學的重要奠基人之一，同時在固體的比熱、統(tǒng)計熱力學、原子光譜及鐳

3、的放射性等方面的研究都有很大成就。,狄拉克（Paul Adrien Maurice Dirac，1902-1984）,,英國理論物理學家。1925年，他作為一名研究生便提出了非對易代數(shù)理論，而成為量子力學的創(chuàng)立者之一。第二年提出全同粒子的費米-狄拉克統(tǒng)計方法。1928年提出了電子的相對論性運動方程，奠定了相對論性量子力學的基礎(chǔ)，并由此預言了正負電子偶的湮沒與產(chǎn)生，導致承認反物質(zhì)的存在，使人們對物質(zhì)世界的認識更加深入。他還有許多創(chuàng)見（如磁

4、單極子等）都是當代物理學中的基本問題。由于他對量子力學所作的貢獻，他與薛定諤共同獲得1933年諾貝爾物理學獎金。,一、波函數(shù) 概率密度,1、平面簡諧波的波函數(shù),一個頻率為n ，波長為l 、沿x方向傳播的單色平面波的波函數(shù)為,復數(shù)形式,2、自由粒子的波函數(shù),一個自由粒子有動能E和動量p。對應(yīng)的德布羅意波具有頻率和波長：,波函數(shù)可以寫成,振幅,3、波函數(shù)的統(tǒng)計解釋,某一時刻出現(xiàn)在某點附近體積元dV中的粒子的概率，與波函數(shù)模的平方成正比。

5、,概率密度,波函數(shù)Ψ(x,y,z,t)的統(tǒng)計解釋(哥本哈根解釋)：波函數(shù)模的平方代表某時刻t在空間某點(x,y,z)附近單位體積內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率，即|Ψ| 2 代表概率密度。,波函數(shù)的統(tǒng)計意義是波恩于1926年提出的。由于波恩在量子力學所作的基礎(chǔ)研究，特別是波函數(shù)的統(tǒng)計解釋，他與博特共享了1954年的諾貝爾物理學獎。,* 玻恩對波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋,—哥本哈根學派(以玻爾和海森伯為首)觀點,玻恩假定,描述粒子在空間的概率分布的“概率振幅”,

6、概率密度,例題2：光子自由平面波波函數(shù),在空間各點發(fā)現(xiàn)光子的概率相同,用電子雙縫衍射實驗說明概率波的含義,(1)人射強電子流,干涉花樣取決于概率分布，而概率分布是確定的。,(2)人射弱電子流,電子干涉不是電子之間相互作用引起的，是電子自己和自己干涉的結(jié)果。,波函數(shù)統(tǒng)計詮釋涉及對世界本質(zhì)的認識觀念,哥本哈根學派--愛因斯坦 著名論戰(zhàn),量子力學背后隱藏著還沒有被揭示的更基本的規(guī)律，這個規(guī)律對量子力學有新的解釋。上帝不會擲骰子,,波函數(shù)的概

7、率解釋是自然界的終極實質(zhì),玻爾、波恩、海森伯、費曼等,還有狄拉克、德布羅意等,,4、波函數(shù)滿足的條件,標準條件：波函數(shù)應(yīng)該是單值、有限、連續(xù)函數(shù)。,歸一化條件：在任何時刻，某粒子必然出現(xiàn)在整個空間內(nèi)，它不是在這里就是在那里，所以總的概率為1，即,對波函數(shù)的這個要求，稱為波函數(shù)的歸一化條件。歸一化條件要求波函數(shù)平方可積。,,歸一化因子：若某波函數(shù)ΨA未歸一化,歸一化因子,例：作一維運動的粒子被束縛在0<x<a的范圍內(nèi)，已知其波

8、函數(shù)為,求：(1)常數(shù)A；(2)粒子在0到a/2區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)的概率；(3)粒子在何處出現(xiàn)的概率最大？,解：(1)由歸一化條件,解得,(2)粒子的概率密度為,粒子在0到a/2區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)的概率,(3)概率最大的位置應(yīng)該滿足,即當,時，粒子出現(xiàn)的概率最大。因為0<x<a，故得x=a/2，此處粒子出現(xiàn)的概率最大。,,二、薛定諤方程,1、問題的引入,在量子力學中，微觀粒子的運動狀態(tài)由波函數(shù)來描寫，狀態(tài)隨時間的變化遵循著一定的規(guī)律。192

9、6年，薛定諤在德布羅意關(guān)系和態(tài)疊加原理的基礎(chǔ)上，提出了薛定諤方程做為量子力學的又一個基本假設(shè)來描述微觀粒子的運動規(guī)律。,建立薛定諤方程的主要依據(jù)和思路：,要研究的微觀客體具有波粒二象性，應(yīng)該滿足德布羅意關(guān)系式,對于一個能量為E，質(zhì)量為m，動量為p的粒子,若Ψ1是方程的解，則CΨ1也是它的解；若波函數(shù)Ψ1與Ψ2是某粒子的可能態(tài)，則C1Ψ1+C2Ψ2也是該粒子的可能態(tài)。,波函數(shù)應(yīng)遵從線性方程,2、自由粒子的薛定諤方程,分別對時間求一階偏導

10、數(shù)，對空間求二階偏導數(shù),考慮到 E=p2/2m,把波函數(shù)與方程E=p2/2m相乘，并用,代替即可。,,3、勢場中運動的粒子的薛定諤方程,當粒子在勢場中運動,4、粒子在三維空間中的薛定諤方程,,哈密頓算符,5、關(guān)于薛定諤方程的說明,薛定鄂方程是量子力學的最基本的方程，是量子力學的一個基本原理；,薛定鄂方程的解滿足波函數(shù)的性質(zhì)；因而在求解薛定鄂方程時，還要加上一些條件：波函數(shù)平方可積，且滿足歸一化條件；波函數(shù)及其對空間的一階導數(shù)連續(xù)

11、；波函數(shù)為單值函數(shù)。,6、定態(tài)薛定鄂方程,若粒子在勢場中的勢能只是坐標的函數(shù)，與時間無關(guān)，即Ep= Ep(r)不顯含時間，則薛定鄂方程的一個特解可以寫為,方程左邊只與時間有關(guān)，而右邊是空間坐標的函數(shù)。由于空間坐標與時間是相互獨立的變量，所以只有當兩邊都等于同一個常量時，該等式才成立，以E表示該常量，則,因而薛定鄂方程的特解為,ΨE(r)滿足下列方程,該方程稱為定態(tài)薛定鄂方程E —— 能量本征值ΨE(r) —— 本征函數(shù)定態(tài)薛定鄂

12、方程也稱為本征方程。,滿足定態(tài)薛定鄂方程的波函數(shù)，稱為定態(tài)。在定態(tài)下，可以證明：①粒子分布概率不變；②能量不變；③其它力學量平均值不變。,三、一維勢阱問題,以一維定態(tài)為例，求解已知勢場的定態(tài)薛定諤方程。了解怎樣確定定態(tài)的能量E，從而看出能量量子化是薛定諤方程的自然結(jié)果。,已知粒子所處的勢場為：,粒子在勢阱內(nèi)受力為零，勢能為零。在阱外勢能為無窮大，在阱壁上受極大的斥力。稱為一維無限深方勢阱。,其定態(tài)薛定諤方程：,令,1、解方程,A,

13、B是積分常數(shù)，可由邊界條件確定。,x=0時，Ψ=0可得B=0，所以Ψ(x)=Asinkxx =a時，Ψ=0可得Ψ(a)=Asinka 由于A≠0，所以有sinka=0,2、能量,(1)粒子的能量只能取分立值，這表明能量具有量子化的性質(zhì)。 (2)n叫做主量子數(shù)，每一個可能的能量稱為一個能級，n=1稱為基態(tài)，粒子處于最低狀態(tài)，E1=h2/(8ma2)，稱為零點能；,3、波函數(shù)的表達式,歸一化條件,粒子在各處出現(xiàn)的概率密度,一維無限深方

14、勢阱中粒子的能級、波函數(shù)和概率密度,討論：量子數(shù)n對運動結(jié)果的影響勢阱寬度a對運動結(jié)果的影響粒子質(zhì)量m對運動結(jié)果的影響,四、對應(yīng)原理,在某些極限情況下，量子力學規(guī)律可以轉(zhuǎn)化為經(jīng)典力學規(guī)律，這就是量子力學的對應(yīng)原理。,1、能級差,對于微觀粒子，a小，所以ΔE大，量子效應(yīng)顯著。若在普通宏觀尺度范圍內(nèi)，能級之間的間隔很小，能量的量子化就不顯著。即使n的值較大，相鄰能級之間的間隔仍然是很小的，這時可以把能量看成是連續(xù)分布的。,2、能級的

15、相對間隔,當n→∞時，能量的量子化效應(yīng)不顯著，可以認為能量是連續(xù)分布的。所以經(jīng)典物理可以看成是量子物理中量子數(shù)n→∞時的近似。,五、一維方勢壘 隧道效應(yīng),在經(jīng)典力學中,若E<EP0，粒子的動能為正，它只能在 I 區(qū)中運動。,令：,三個區(qū)間的薛定諤方程化為：,若考慮粒子是從 I 區(qū)入射，在 I 區(qū)中有入射波和反射波；粒子從I區(qū)經(jīng)過II區(qū)穿過勢壘到III 區(qū)，在III區(qū)只有透射波。粒子在x=0處的幾率要大于在x=a處出現(xiàn)的幾率。,

16、其解為：,根據(jù)邊界條件,解的的結(jié)果如圖所示,定義粒子穿過勢壘的貫穿系數(shù)：,隧道效應(yīng),當E-EP0=5eV時，勢壘的寬度約50nm 以上時，貫穿系數(shù)會小六個數(shù)量級以上。隧道效應(yīng)在實際上已經(jīng)沒有意義了。量子概念過渡到經(jīng)典了。,隧道效應(yīng)的應(yīng)用——掃描隧道顯微鏡STM,,小 結(jié),波函數(shù) 概率密度薛定諤方程一維勢阱問題對應(yīng)原理一維方勢壘 隧道效應(yīng),作 業(yè)思考題： P309 26，27，28，29 習 題：