大學(xué)物理-量子力學(xué)簡(jiǎn)介

1、大學(xué)物理學(xué)電子教案,武警學(xué)院教學(xué)課件,量子物理（4）,19-8 量子力學(xué)簡(jiǎn)介波函數(shù) 概率密度薛定諤方程一維勢(shì)阱問(wèn)題對(duì)應(yīng)原理一維方勢(shì)壘 隧道效應(yīng),19-8 量子力學(xué)簡(jiǎn)介,薛定諤 (Erwin Schrödinger, 1887–1961),,薛定諤在德布羅意思想的基礎(chǔ)上，于1926年在《量子化就是本征值問(wèn)題》的論文中，提出氫原子中電子所遵循的波動(dòng)方程(薛定諤方程)，并建立了以薛定諤方程為基礎(chǔ)的波動(dòng)力學(xué)和量子力

2、學(xué)的近似方法。薛定諤方程在量子力學(xué)中占有極其重要的地位，它與經(jīng)典力學(xué)中的牛頓運(yùn)動(dòng)定律的價(jià)值相似。薛定諤對(duì)原子理論的發(fā)展貢獻(xiàn)卓著，因而于1933年同英國(guó)物理學(xué)家狄拉克共獲諾貝爾物理獎(jiǎng)金。 薛定諤還是現(xiàn)代分子生物學(xué)的奠基人，1944年，他發(fā)表一本名為《什么是生命 ——活細(xì)胞的物理面貌》的書，從能量、遺傳和信息方面來(lái)探討生命的奧秘。,奧地利著名的理論物理學(xué)家，量子力學(xué)的重要奠基人之一，同時(shí)在固體的比熱、統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)、原子光譜及鐳

3、的放射性等方面的研究都有很大成就。,狄拉克（Paul Adrien Maurice Dirac，1902-1984）,,英國(guó)理論物理學(xué)家。1925年，他作為一名研究生便提出了非對(duì)易代數(shù)理論，而成為量子力學(xué)的創(chuàng)立者之一。第二年提出全同粒子的費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計(jì)方法。1928年提出了電子的相對(duì)論性運(yùn)動(dòng)方程，奠定了相對(duì)論性量子力學(xué)的基礎(chǔ)，并由此預(yù)言了正負(fù)電子偶的湮沒(méi)與產(chǎn)生，導(dǎo)致承認(rèn)反物質(zhì)的存在，使人們對(duì)物質(zhì)世界的認(rèn)識(shí)更加深入。他還有許多創(chuàng)見(jiàn)（如磁

4、單極子等）都是當(dāng)代物理學(xué)中的基本問(wèn)題。由于他對(duì)量子力學(xué)所作的貢獻(xiàn)，他與薛定諤共同獲得1933年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)金。,一、波函數(shù) 概率密度,1、平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù),一個(gè)頻率為n ，波長(zhǎng)為l 、沿x方向傳播的單色平面波的波函數(shù)為,復(fù)數(shù)形式,2、自由粒子的波函數(shù),一個(gè)自由粒子有動(dòng)能E和動(dòng)量p。對(duì)應(yīng)的德布羅意波具有頻率和波長(zhǎng)：,波函數(shù)可以寫成,振幅,3、波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋,某一時(shí)刻出現(xiàn)在某點(diǎn)附近體積元dV中的粒子的概率，與波函數(shù)模的平方成正比。

5、,概率密度,波函數(shù)Ψ(x,y,z,t)的統(tǒng)計(jì)解釋(哥本哈根解釋)：波函數(shù)模的平方代表某時(shí)刻t在空間某點(diǎn)(x,y,z)附近單位體積內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率，即|Ψ| 2 代表概率密度。,波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義是波恩于1926年提出的。由于波恩在量子力學(xué)所作的基礎(chǔ)研究，特別是波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋，他與博特共享了1954年的諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。,* 玻恩對(duì)波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋,—哥本哈根學(xué)派(以玻爾和海森伯為首)觀點(diǎn),玻恩假定,描述粒子在空間的概率分布的“概率振幅”,

6、概率密度,例題2：光子自由平面波波函數(shù),在空間各點(diǎn)發(fā)現(xiàn)光子的概率相同,用電子雙縫衍射實(shí)驗(yàn)說(shuō)明概率波的含義,(1)人射強(qiáng)電子流,干涉花樣取決于概率分布，而概率分布是確定的。,(2)人射弱電子流,電子干涉不是電子之間相互作用引起的，是電子自己和自己干涉的結(jié)果。,波函數(shù)統(tǒng)計(jì)詮釋涉及對(duì)世界本質(zhì)的認(rèn)識(shí)觀念,哥本哈根學(xué)派--愛(ài)因斯坦 著名論戰(zhàn),量子力學(xué)背后隱藏著還沒(méi)有被揭示的更基本的規(guī)律，這個(gè)規(guī)律對(duì)量子力學(xué)有新的解釋。上帝不會(huì)擲骰子,,波函數(shù)的概

7、率解釋是自然界的終極實(shí)質(zhì),玻爾、波恩、海森伯、費(fèi)曼等,還有狄拉克、德布羅意等,,4、波函數(shù)滿足的條件,標(biāo)準(zhǔn)條件：波函數(shù)應(yīng)該是單值、有限、連續(xù)函數(shù)。,歸一化條件：在任何時(shí)刻，某粒子必然出現(xiàn)在整個(gè)空間內(nèi)，它不是在這里就是在那里，所以總的概率為1，即,對(duì)波函數(shù)的這個(gè)要求，稱為波函數(shù)的歸一化條件。歸一化條件要求波函數(shù)平方可積。,,歸一化因子：若某波函數(shù)ΨA未歸一化,歸一化因子,例：作一維運(yùn)動(dòng)的粒子被束縛在0<x<a的范圍內(nèi)，已知其波

8、函數(shù)為,求：(1)常數(shù)A；(2)粒子在0到a/2區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)的概率；(3)粒子在何處出現(xiàn)的概率最大？,解：(1)由歸一化條件,解得,(2)粒子的概率密度為,粒子在0到a/2區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)的概率,(3)概率最大的位置應(yīng)該滿足,即當(dāng),時(shí)，粒子出現(xiàn)的概率最大。因?yàn)?<x<a，故得x=a/2，此處粒子出現(xiàn)的概率最大。,,二、薛定諤方程,1、問(wèn)題的引入,在量子力學(xué)中，微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由波函數(shù)來(lái)描寫，狀態(tài)隨時(shí)間的變化遵循著一定的規(guī)律。192

9、6年，薛定諤在德布羅意關(guān)系和態(tài)疊加原理的基礎(chǔ)上，提出了薛定諤方程做為量子力學(xué)的又一個(gè)基本假設(shè)來(lái)描述微觀粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。,建立薛定諤方程的主要依據(jù)和思路：,要研究的微觀客體具有波粒二象性，應(yīng)該滿足德布羅意關(guān)系式,對(duì)于一個(gè)能量為E，質(zhì)量為m，動(dòng)量為p的粒子,若Ψ1是方程的解，則CΨ1也是它的解；若波函數(shù)Ψ1與Ψ2是某粒子的可能態(tài)，則C1Ψ1+C2Ψ2也是該粒子的可能態(tài)。,波函數(shù)應(yīng)遵從線性方程,2、自由粒子的薛定諤方程,分別對(duì)時(shí)間求一階偏導(dǎo)

10、數(shù)，對(duì)空間求二階偏導(dǎo)數(shù),考慮到 E=p2/2m,把波函數(shù)與方程E=p2/2m相乘，并用,代替即可。,,3、勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子的薛定諤方程,當(dāng)粒子在勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng),4、粒子在三維空間中的薛定諤方程,,哈密頓算符,5、關(guān)于薛定諤方程的說(shuō)明,薛定鄂方程是量子力學(xué)的最基本的方程，是量子力學(xué)的一個(gè)基本原理；,薛定鄂方程的解滿足波函數(shù)的性質(zhì)；因而在求解薛定鄂方程時(shí)，還要加上一些條件：波函數(shù)平方可積，且滿足歸一化條件；波函數(shù)及其對(duì)空間的一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)

11、；波函數(shù)為單值函數(shù)。,6、定態(tài)薛定鄂方程,若粒子在勢(shì)場(chǎng)中的勢(shì)能只是坐標(biāo)的函數(shù)，與時(shí)間無(wú)關(guān)，即Ep= Ep(r)不顯含時(shí)間，則薛定鄂方程的一個(gè)特解可以寫為,方程左邊只與時(shí)間有關(guān)，而右邊是空間坐標(biāo)的函數(shù)。由于空間坐標(biāo)與時(shí)間是相互獨(dú)立的變量，所以只有當(dāng)兩邊都等于同一個(gè)常量時(shí)，該等式才成立，以E表示該常量，則,因而薛定鄂方程的特解為,ΨE(r)滿足下列方程,該方程稱為定態(tài)薛定鄂方程E —— 能量本征值ΨE(r) —— 本征函數(shù)定態(tài)薛定鄂

12、方程也稱為本征方程。,滿足定態(tài)薛定鄂方程的波函數(shù)，稱為定態(tài)。在定態(tài)下，可以證明：①粒子分布概率不變；②能量不變；③其它力學(xué)量平均值不變。,三、一維勢(shì)阱問(wèn)題,以一維定態(tài)為例，求解已知?jiǎng)輬?chǎng)的定態(tài)薛定諤方程。了解怎樣確定定態(tài)的能量E，從而看出能量量子化是薛定諤方程的自然結(jié)果。,已知粒子所處的勢(shì)場(chǎng)為：,粒子在勢(shì)阱內(nèi)受力為零，勢(shì)能為零。在阱外勢(shì)能為無(wú)窮大，在阱壁上受極大的斥力。稱為一維無(wú)限深方勢(shì)阱。,其定態(tài)薛定諤方程：,令,1、解方程,A,

13、B是積分常數(shù)，可由邊界條件確定。,x=0時(shí)，Ψ=0可得B=0，所以Ψ(x)=Asinkxx =a時(shí)，Ψ=0可得Ψ(a)=Asinka 由于A≠0，所以有sinka=0,2、能量,(1)粒子的能量只能取分立值，這表明能量具有量子化的性質(zhì)。 (2)n叫做主量子數(shù)，每一個(gè)可能的能量稱為一個(gè)能級(jí)，n=1稱為基態(tài)，粒子處于最低狀態(tài)，E1=h2/(8ma2)，稱為零點(diǎn)能；,3、波函數(shù)的表達(dá)式,歸一化條件,粒子在各處出現(xiàn)的概率密度,一維無(wú)限深方

14、勢(shì)阱中粒子的能級(jí)、波函數(shù)和概率密度,討論：量子數(shù)n對(duì)運(yùn)動(dòng)結(jié)果的影響勢(shì)阱寬度a對(duì)運(yùn)動(dòng)結(jié)果的影響粒子質(zhì)量m對(duì)運(yùn)動(dòng)結(jié)果的影響,四、對(duì)應(yīng)原理,在某些極限情況下，量子力學(xué)規(guī)律可以轉(zhuǎn)化為經(jīng)典力學(xué)規(guī)律，這就是量子力學(xué)的對(duì)應(yīng)原理。,1、能級(jí)差,對(duì)于微觀粒子，a小，所以ΔE大，量子效應(yīng)顯著。若在普通宏觀尺度范圍內(nèi)，能級(jí)之間的間隔很小，能量的量子化就不顯著。即使n的值較大，相鄰能級(jí)之間的間隔仍然是很小的，這時(shí)可以把能量看成是連續(xù)分布的。,2、能級(jí)的

15、相對(duì)間隔,當(dāng)n→∞時(shí)，能量的量子化效應(yīng)不顯著，可以認(rèn)為能量是連續(xù)分布的。所以經(jīng)典物理可以看成是量子物理中量子數(shù)n→∞時(shí)的近似。,五、一維方勢(shì)壘 隧道效應(yīng),在經(jīng)典力學(xué)中,若E<EP0，粒子的動(dòng)能為正，它只能在 I 區(qū)中運(yùn)動(dòng)。,令：,三個(gè)區(qū)間的薛定諤方程化為：,若考慮粒子是從 I 區(qū)入射，在 I 區(qū)中有入射波和反射波；粒子從I區(qū)經(jīng)過(guò)II區(qū)穿過(guò)勢(shì)壘到III 區(qū)，在III區(qū)只有透射波。粒子在x=0處的幾率要大于在x=a處出現(xiàn)的幾率。,

16、其解為：,根據(jù)邊界條件,解的的結(jié)果如圖所示,定義粒子穿過(guò)勢(shì)壘的貫穿系數(shù)：,隧道效應(yīng),當(dāng)E-EP0=5eV時(shí)，勢(shì)壘的寬度約50nm 以上時(shí)，貫穿系數(shù)會(huì)小六個(gè)數(shù)量級(jí)以上。隧道效應(yīng)在實(shí)際上已經(jīng)沒(méi)有意義了。量子概念過(guò)渡到經(jīng)典了。,隧道效應(yīng)的應(yīng)用——掃描隧道顯微鏡STM,,小 結(jié),波函數(shù) 概率密度薛定諤方程一維勢(shì)阱問(wèn)題對(duì)應(yīng)原理一維方勢(shì)壘 隧道效應(yīng),作 業(yè)思考題： P309 26，27，28，29 習(xí) 題：