大學物理-量子力學簡介

1、大學物理學電子教案,武警學院教學課件,量子物理（4）,19-8 量子力學簡介波函數 概率密度薛定諤方程一維勢阱問題對應原理一維方勢壘 隧道效應,19-8 量子力學簡介,薛定諤 (Erwin Schrödinger, 1887–1961),,薛定諤在德布羅意思想的基礎上，于1926年在《量子化就是本征值問題》的論文中，提出氫原子中電子所遵循的波動方程(薛定諤方程)，并建立了以薛定諤方程為基礎的波動力學和量子力

2、學的近似方法。薛定諤方程在量子力學中占有極其重要的地位，它與經典力學中的牛頓運動定律的價值相似。薛定諤對原子理論的發(fā)展貢獻卓著，因而于1933年同英國物理學家狄拉克共獲諾貝爾物理獎金。 薛定諤還是現代分子生物學的奠基人，1944年，他發(fā)表一本名為《什么是生命 ——活細胞的物理面貌》的書，從能量、遺傳和信息方面來探討生命的奧秘。,奧地利著名的理論物理學家，量子力學的重要奠基人之一，同時在固體的比熱、統(tǒng)計熱力學、原子光譜及鐳

3、的放射性等方面的研究都有很大成就。,狄拉克（Paul Adrien Maurice Dirac，1902-1984）,,英國理論物理學家。1925年，他作為一名研究生便提出了非對易代數理論，而成為量子力學的創(chuàng)立者之一。第二年提出全同粒子的費米-狄拉克統(tǒng)計方法。1928年提出了電子的相對論性運動方程，奠定了相對論性量子力學的基礎，并由此預言了正負電子偶的湮沒與產生，導致承認反物質的存在，使人們對物質世界的認識更加深入。他還有許多創(chuàng)見（如磁

4、單極子等）都是當代物理學中的基本問題。由于他對量子力學所作的貢獻，他與薛定諤共同獲得1933年諾貝爾物理學獎金。,一、波函數 概率密度,1、平面簡諧波的波函數,一個頻率為n ，波長為l 、沿x方向傳播的單色平面波的波函數為,復數形式,2、自由粒子的波函數,一個自由粒子有動能E和動量p。對應的德布羅意波具有頻率和波長：,波函數可以寫成,振幅,3、波函數的統(tǒng)計解釋,某一時刻出現在某點附近體積元dV中的粒子的概率，與波函數模的平方成正比。

5、,概率密度,波函數Ψ(x,y,z,t)的統(tǒng)計解釋(哥本哈根解釋)：波函數模的平方代表某時刻t在空間某點(x,y,z)附近單位體積內發(fā)現粒子的概率，即|Ψ| 2 代表概率密度。,波函數的統(tǒng)計意義是波恩于1926年提出的。由于波恩在量子力學所作的基礎研究，特別是波函數的統(tǒng)計解釋，他與博特共享了1954年的諾貝爾物理學獎。,* 玻恩對波函數的統(tǒng)計詮釋,—哥本哈根學派(以玻爾和海森伯為首)觀點,玻恩假定,描述粒子在空間的概率分布的“概率振幅”,

6、概率密度,例題2：光子自由平面波波函數,在空間各點發(fā)現光子的概率相同,用電子雙縫衍射實驗說明概率波的含義,(1)人射強電子流,干涉花樣取決于概率分布，而概率分布是確定的。,(2)人射弱電子流,電子干涉不是電子之間相互作用引起的，是電子自己和自己干涉的結果。,波函數統(tǒng)計詮釋涉及對世界本質的認識觀念,哥本哈根學派--愛因斯坦 著名論戰(zhàn),量子力學背后隱藏著還沒有被揭示的更基本的規(guī)律，這個規(guī)律對量子力學有新的解釋。上帝不會擲骰子,,波函數的概

7、率解釋是自然界的終極實質,玻爾、波恩、海森伯、費曼等,還有狄拉克、德布羅意等,,4、波函數滿足的條件,標準條件：波函數應該是單值、有限、連續(xù)函數。,歸一化條件：在任何時刻，某粒子必然出現在整個空間內，它不是在這里就是在那里，所以總的概率為1，即,對波函數的這個要求，稱為波函數的歸一化條件。歸一化條件要求波函數平方可積。,,歸一化因子：若某波函數ΨA未歸一化,歸一化因子,例：作一維運動的粒子被束縛在0<x<a的范圍內，已知其波

8、函數為,求：(1)常數A；(2)粒子在0到a/2區(qū)域內出現的概率；(3)粒子在何處出現的概率最大？,解：(1)由歸一化條件,解得,(2)粒子的概率密度為,粒子在0到a/2區(qū)域內出現的概率,(3)概率最大的位置應該滿足,即當,時，粒子出現的概率最大。因為0<x<a，故得x=a/2，此處粒子出現的概率最大。,,二、薛定諤方程,1、問題的引入,在量子力學中，微觀粒子的運動狀態(tài)由波函數來描寫，狀態(tài)隨時間的變化遵循著一定的規(guī)律。192

9、6年，薛定諤在德布羅意關系和態(tài)疊加原理的基礎上，提出了薛定諤方程做為量子力學的又一個基本假設來描述微觀粒子的運動規(guī)律。,建立薛定諤方程的主要依據和思路：,要研究的微觀客體具有波粒二象性，應該滿足德布羅意關系式,對于一個能量為E，質量為m，動量為p的粒子,若Ψ1是方程的解，則CΨ1也是它的解；若波函數Ψ1與Ψ2是某粒子的可能態(tài)，則C1Ψ1+C2Ψ2也是該粒子的可能態(tài)。,波函數應遵從線性方程,2、自由粒子的薛定諤方程,分別對時間求一階偏導

10、數，對空間求二階偏導數,考慮到 E=p2/2m,把波函數與方程E=p2/2m相乘，并用,代替即可。,,3、勢場中運動的粒子的薛定諤方程,當粒子在勢場中運動,4、粒子在三維空間中的薛定諤方程,,哈密頓算符,5、關于薛定諤方程的說明,薛定鄂方程是量子力學的最基本的方程，是量子力學的一個基本原理；,薛定鄂方程的解滿足波函數的性質；因而在求解薛定鄂方程時，還要加上一些條件：波函數平方可積，且滿足歸一化條件；波函數及其對空間的一階導數連續(xù)

11、；波函數為單值函數。,6、定態(tài)薛定鄂方程,若粒子在勢場中的勢能只是坐標的函數，與時間無關，即Ep= Ep(r)不顯含時間，則薛定鄂方程的一個特解可以寫為,方程左邊只與時間有關，而右邊是空間坐標的函數。由于空間坐標與時間是相互獨立的變量，所以只有當兩邊都等于同一個常量時，該等式才成立，以E表示該常量，則,因而薛定鄂方程的特解為,ΨE(r)滿足下列方程,該方程稱為定態(tài)薛定鄂方程E —— 能量本征值ΨE(r) —— 本征函數定態(tài)薛定鄂

12、方程也稱為本征方程。,滿足定態(tài)薛定鄂方程的波函數，稱為定態(tài)。在定態(tài)下，可以證明：①粒子分布概率不變；②能量不變；③其它力學量平均值不變。,三、一維勢阱問題,以一維定態(tài)為例，求解已知勢場的定態(tài)薛定諤方程。了解怎樣確定定態(tài)的能量E，從而看出能量量子化是薛定諤方程的自然結果。,已知粒子所處的勢場為：,粒子在勢阱內受力為零，勢能為零。在阱外勢能為無窮大，在阱壁上受極大的斥力。稱為一維無限深方勢阱。,其定態(tài)薛定諤方程：,令,1、解方程,A,

13、B是積分常數，可由邊界條件確定。,x=0時，Ψ=0可得B=0，所以Ψ(x)=Asinkxx =a時，Ψ=0可得Ψ(a)=Asinka 由于A≠0，所以有sinka=0,2、能量,(1)粒子的能量只能取分立值，這表明能量具有量子化的性質。 (2)n叫做主量子數，每一個可能的能量稱為一個能級，n=1稱為基態(tài)，粒子處于最低狀態(tài)，E1=h2/(8ma2)，稱為零點能；,3、波函數的表達式,歸一化條件,粒子在各處出現的概率密度,一維無限深方

14、勢阱中粒子的能級、波函數和概率密度,討論：量子數n對運動結果的影響勢阱寬度a對運動結果的影響粒子質量m對運動結果的影響,四、對應原理,在某些極限情況下，量子力學規(guī)律可以轉化為經典力學規(guī)律，這就是量子力學的對應原理。,1、能級差,對于微觀粒子，a小，所以ΔE大，量子效應顯著。若在普通宏觀尺度范圍內，能級之間的間隔很小，能量的量子化就不顯著。即使n的值較大，相鄰能級之間的間隔仍然是很小的，這時可以把能量看成是連續(xù)分布的。,2、能級的

15、相對間隔,當n→∞時，能量的量子化效應不顯著，可以認為能量是連續(xù)分布的。所以經典物理可以看成是量子物理中量子數n→∞時的近似。,五、一維方勢壘 隧道效應,在經典力學中,若E<EP0，粒子的動能為正，它只能在 I 區(qū)中運動。,令：,三個區(qū)間的薛定諤方程化為：,若考慮粒子是從 I 區(qū)入射，在 I 區(qū)中有入射波和反射波；粒子從I區(qū)經過II區(qū)穿過勢壘到III 區(qū)，在III區(qū)只有透射波。粒子在x=0處的幾率要大于在x=a處出現的幾率。,

16、其解為：,根據邊界條件,解的的結果如圖所示,定義粒子穿過勢壘的貫穿系數：,隧道效應,當E-EP0=5eV時，勢壘的寬度約50nm 以上時，貫穿系數會小六個數量級以上。隧道效應在實際上已經沒有意義了。量子概念過渡到經典了。,隧道效應的應用——掃描隧道顯微鏡STM,,小 結,波函數 概率密度薛定諤方程一維勢阱問題對應原理一維方勢壘 隧道效應,作 業(yè)思考題： P309 26，27，28，29 習 題：