大學物理第22章量子力學基礎(chǔ)知識

1、人們很早就認識到構(gòu)成世界的物質(zhì)有兩種：實物Matter和場Field。 前者的例子有電子質(zhì)子，后者的例子有電磁場。電磁場表現(xiàn)出了粒子性的一面（光子），并得到光電效應(yīng)和康普頓散射的證實。那么對于實物粒子，我們很容易想到是不是以前過分強調(diào)粒子性的一面而忽略了實物波動性的一面呢？,第二十二章 量子力學基礎(chǔ)知識,一切實物粒子也具有波粒二象性：既是粒子也是波——物質(zhì)波或德布羅意波。物質(zhì)波的波長、頻率與能量、動量滿足下面的德布羅意關(guān)系：

2、,一、De Broglie物質(zhì)波假設(shè),§22.1 波粒二象性 wave-particle duality,兩式中左邊反映波動性，右邊反映粒子性。剛好與愛因斯坦的光量子假設(shè)相反。公式中的E和p并未指定是牛頓力學還是相對論力學中的能量和動量，所以需要我們自己判斷。兩個式子中，我們更加關(guān)注德布羅意波長和粒子動量關(guān)系的公式。,,Louis de Broglie1892～1987,1924年，法國物理學家De Brogli

3、e向巴黎大學提交的一篇博士論文中，提出了物質(zhì)波的假設(shè)。,,氫原子中電子作圓周運動，它所對應(yīng)的物質(zhì)波形成駐波時才是穩(wěn)定的。因此，圓周長應(yīng)等于波長的整數(shù)倍。,De Broglie 波與 Bohr 的量子化條件,電子波動反映到原子中，為駐波。當受到微擾時，波保持穩(wěn)定，如同金、銀等金屬化學性質(zhì)一般保持穩(wěn)定一樣。,De Broglie 波長公式,當質(zhì)量為m的粒子運動速度v<<c 時，可以用牛頓力學處理，物質(zhì)波波長為,但如果速度為v~c

4、，必須使用相對論公式：,我們常常碰到的是帶電(電量q)粒子，從靜止開始受到加速電壓U的作用,具體到考慮加速電壓U為多少可以忽略相對論效應(yīng)？,如果是電子 U小于百萬伏特就可以,例1：電子靜止質(zhì)量m0=9.1?10-31Kg，以v=6.0?106m/s速率運動。質(zhì)量m = 50Kg的人，以v=15m/s的速度運動，試比較電子與人的De Broglie波長。,解：電子和人的De Broglie波長分別為：,電子

5、的De Broglie波長與X 射線接近，人的De Broglie波長儀器根本觀測不到?？梢?，宏觀物體的波動性根本不必考慮，只考慮其粒子性。,例2：兩束電子動能分別為100eV和200eV，求電子的De Broglie波長。,解：電子的De Broglie波長分別為：,電子的De Broglie波長與 X 射線接近，其波動性不能忽略。,①Davisson-Germer的電子衍射實驗,1927年美國物理學家 C.J. Davisson與

6、G.P. Germer用電子衍射實驗證實了電子具有波動性。實驗裝置示意圖如下：,二、物質(zhì)波的實驗驗證,要想從實驗上觀察到物質(zhì)波，必須波長孔隙線度可比擬從而產(chǎn)生衍射現(xiàn)象。由上面的計算可知，任何宏觀物體的物質(zhì)波實際上都無法通過衍射觀察，但是能量為～102eV的電子其德布羅意波長與X射線同量級，X射線能觀察到衍射，電子打在晶體上也應(yīng)當能觀察到電子的衍射。,此實驗驗證了電子具有波動性。,實驗裝置如圖示。燈絲K發(fā)出的電子束通過狹縫D后，略入射到鎳

7、單晶體上。假如電子具有波動性，應(yīng)滿足布喇格公式 在散射角不變時，測量在不同加速電壓下經(jīng)晶體散射后的電子束（電流）的強度。實驗發(fā)現(xiàn)電子束（電流）的強度具有明顯的選擇性。,如：僅當 時，電流才有極大值。,②G P Thomson的電子衍射實驗,1927年英國物理學家G P Thomson（J J Thomson之子）也獨立地完成了電子多晶體衍射實驗。燈絲K發(fā)出的電子束經(jīng)加

8、速后通過狹縫（～keV），垂直投射到多晶薄片上，穿過薄片后在底片上形成衍射圖樣。,,,screen,poly-crystal film,ultra-high voltage,,,,,,,,,,,,,,grid,cathode,由此 L. de Broglie獲1929年Nobel物理獎G. P. Thomson與C. J. Davisson共獲1937年Nobel物理學獎。,后來實驗又驗證了：質(zhì)子、中子和原子、分子等實物粒子都具有波

9、動性，并都滿足德布羅意關(guān)系。,三、物質(zhì)波的統(tǒng)計解釋,德布羅意波理論得到實驗支持后，怎么解釋實物粒子的波動性質(zhì)，或者說如何看待波粒二象性，成為當時物理學界的一個重大爭論問題。 物質(zhì)波對應(yīng)什么物理量在波動？ 物質(zhì)波是電磁波還是機械波？ 物質(zhì)波滿足什么波動方程？ 經(jīng)過物理學家之間的反復(fù)論戰(zhàn)，大部分人都同意波恩的觀點：物質(zhì)波是一種概率波，而不是經(jīng)典的波動。波粒二象性是單個粒子所具有的固有屬性。下面我們來討論一下電子的雙縫干

10、涉實驗。1949年，前蘇聯(lián)物理學家費格爾曼做了一個非常精確的弱電子流衍射實驗。電子幾乎是一個一個地通過雙縫，底片上出現(xiàn)一個一個的點子。（顯示出電子具有粒子性）開始時底片上的點子“無規(guī)”分布，隨著電子增多，逐漸形成雙縫衍射圖樣,單電子雙縫衍射實驗：,7個電子,100個電子,3000,20000,70000,說明衍射圖樣不是電子相互作用的結(jié)果,它來源于單個電子具有的波動性。每個電子到達屏上各點有一定概率，衍射圖樣是一個電子出現(xiàn)概率的統(tǒng)計結(jié)果

11、。,粒子觀點,電子密處，概率大,電子疏處，概率小,,物質(zhì)波的統(tǒng)計意義：某處物質(zhì)波的強度與粒子在該處鄰近出現(xiàn)的概率成正比。,怎樣理解微觀粒子的二象性：1 粒子性 指它與物質(zhì)相互作用的“顆粒性”或“整體性”。 但不是經(jīng)典的粒子！因為微觀粒子沒有確定的軌道，應(yīng)拋棄“軌道”的概念！2 波動性 指它在空間傳播有“可疊加性”，有“干涉”、“衍射”、“偏振”等現(xiàn)象。但不是經(jīng)典的波！因為它沒有某種實際物理量（如質(zhì)點的位移、電場、磁場等）

12、的波動。,少女？老婦？,兩種圖象不會同時出現(xiàn)在你的視覺中。,微觀粒子在某些條件下表現(xiàn)出粒子性，在另一些條件下表現(xiàn)出波動性，而兩種性質(zhì)雖寓于同一體中，卻不能同時表現(xiàn)出來。,,§22.2 波函數(shù),波函數(shù) 描述具有波粒二象性的微觀物體狀態(tài)的函數(shù)稱為波函數(shù)。如果知道了某微觀物體的波函數(shù)后，原則上確定該物體的全部物理性質(zhì)。波函數(shù)一般是時間和空間坐標的復(fù)數(shù)函數(shù)。,一、波函數(shù),隨著舊量子論的出現(xiàn)，經(jīng)典物理的概念越來越難以描述微觀現(xiàn)象，

13、矛盾隨處可見，物理學家們都很困惑。1925~1928年，在物質(zhì)波理論成功的激勵下，Heisenberg、Born、Schrödinger、Dirac等人終于建立了一套完全革命性的理論 量子力學。,在量子力學中用復(fù)數(shù)表達式：,沿X方向勻速直線運動的自由粒子，動量、能量恒定不變。按照De Broglie關(guān)系，此物質(zhì)波的波長和頻率也保持恒定不變，即為平面單色波，其波函數(shù)寫作：,在波動學中，描述波動過程的數(shù)學函數(shù)都是空間、時間的二元函

14、數(shù)。,一列沿X軸正向傳播的平面單色簡諧波的波動方程：,應(yīng)用De Broglie關(guān)系，上式可改寫成為：,自由粒子的能量和動量為常量，其德布羅意波是平面單色波。,對于處在外場作用下運動的非自由粒子，其能量和動量不是常量，其波函數(shù)所描述的德布羅意波就不是平面波。,外場不同，粒子的運動狀態(tài)及描述運動狀態(tài)的波函數(shù)也不相同。,微觀物體的運動狀態(tài)可用波函數(shù)來描述，這是量子力學的一個基本假設(shè)。,空間某處波的強度與在該處發(fā)現(xiàn)粒子的概率成正比；,在該處單位

15、體積內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率（即概率密度）與波函數(shù)的模的平方成正比，并取比例系數(shù)為1，即：,德布羅意波又可以被稱 概率波 probability wave,二、波函數(shù)的統(tǒng)計解釋,設(shè)描述粒子運動狀態(tài)的波函數(shù)為 ，則：,,,,,,,,,X,Y,z,O,x,y,z,x,d,因概率密度,在波函數(shù)存在的全部空間V中必能找到粒子，即在全部空間V中粒子出現(xiàn)的概率為1。,此條件稱為波函數(shù)的歸一化條件。,滿足歸一化條件的波函數(shù)稱為歸一化波函數(shù)。,故在

16、 矢端的體積元 內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率為：,波函數(shù)具有統(tǒng)計意義，其函數(shù)性質(zhì)應(yīng)具備三個標準條件：,以一維波函數(shù)為例，在下述四種函數(shù)曲線中，只有一種符合標準條件,,Y,Y,Y,Y,X,O,X,O,O,X,O,X,,,,,,,,,,連續(xù),,因概率不會在某處發(fā)生突變，故波函數(shù)必須處處連續(xù)；,單值,,因任一體積元內(nèi)出現(xiàn)的概率只有一種，故波函數(shù)一定單值；,有限,,因概率不可能為無限大，故波函數(shù)必須是有限的；,,2.物質(zhì)波與經(jīng)典波的異同,

17、例1：已知粒子的波函數(shù)為 ， c 是待定實數(shù)。求發(fā)現(xiàn)粒子 概率最大的位置和粒子出現(xiàn)在[0,1]上的概率。,發(fā)現(xiàn)粒子的概率為：,令導數(shù)為零能求嗎？,解：先定歸一化系數(shù)c,發(fā)現(xiàn)粒子概率最大處為,發(fā)現(xiàn)粒子出現(xiàn)在[0,1]概率為,在經(jīng)典力學中，宏觀物體（粒子、質(zhì)點）某一時刻的運動狀態(tài)，我們可以確定的坐標和確定的動量來描述。那么，對具有波粒二象性的微觀粒子，是否也能用確定的坐標和確定的動量來描述呢？,Heisenbe

18、rg首先提出，由于微觀粒子具有顯著的波動性，不能同時確定坐標和動量。后來玻恩按照波函數(shù)的統(tǒng)計解釋給出了嚴格的證明，使其表述更為準確，最后這一關(guān)系成為了量子力學的基本假設(shè)之一。,§22.3 不確定關(guān)系,海森堡（W.K.Heisenberg，1901—1976）德國理論物理學家。他在1925年為量子力學的創(chuàng)立作出了最早的貢獻，于1927年提出的不確定關(guān)系，奠定了量子力學的基礎(chǔ)。因創(chuàng)立用矩陣數(shù)學描述微觀粒子運動規(guī)律的矩陣力學，獲1

19、932年諾貝爾物理獎。,由于使用波函數(shù) 來描述微觀粒子的狀態(tài)，粒子的位置出現(xiàn)在空間各點的概率就可以用 來計算，這樣的結(jié)果告訴我們，粒子位置具有一個不確定度 ，同樣粒子的動量分布也可以計算出一個不確定度 這兩個量：同一時刻的坐標和動量的不確定度是否有某種聯(lián)系呢？我們首先定性分析一個例子：,1. 定性分析,,,,,,位置不確定度,波包可用若干不同波長平面波疊加得到，波長不是單一的，有一個波長分布范圍。根據(jù)德布羅

20、意關(guān)系動量也有一定的不確定度,量子力學可嚴格證明，一維微觀粒子坐標和動量的不確定度之積為：,即：對于微觀粒子不能同時用確定的位置和確定的動量來描述，這就是Heisenberg不確定關(guān)系，以前叫測不準關(guān)系），如果是三維情況：,2. 不確定關(guān)系 uncertainly relation,在做數(shù)量級估算的時候，不等式右方還可以出現(xiàn) 、 、,在量子力學中，能量和時間也存在著一組關(guān)系：,3. 不確定關(guān)系的理解,坐標和動量不能同時具有確定的數(shù)

21、值；坐標或動量越準確，則與之對應(yīng)的量就越不確定。坐標或動量具有完全確定的值時,與之對應(yīng)的量將具有完全不確定的值。,測不準關(guān)系是由于微觀粒子的波粒二象性決定的，并非由于實驗儀器、實驗技術(shù)和方法的不精確所致，即使是無誤差的理想實驗，也不能排除量子體系固有的這一特性。,測不準關(guān)系與Bohr軌道概念不相容。,這里的坐標或動量都具有統(tǒng)計含義，分別代表有關(guān)位置和動量的方均根偏差。,時間與能量的不確定關(guān)系表示出了粒子能量與其壽命確定程度互相制約的關(guān)系

22、。,②關(guān)于時間與能量關(guān)系,根據(jù)能量和時間的不確定關(guān)系，可以解釋原子譜線的寬度。,基態(tài)：非常穩(wěn)定,第一激發(fā)態(tài)：能量和基態(tài)比要高，所以不穩(wěn)定，存在一個壽命τ。,完全確定；,所以，電子從第一激發(fā)態(tài)E1向基態(tài)Eo的躍遷，所發(fā)出的光譜線一定有寬度，或者說波長有一個范圍。其它高激發(fā)態(tài)也一樣。,存在一個范圍。,③普朗克常量h的物理意義,如同光速c的量級規(guī)定了Newton力學的適用范圍，把它與相對論劃分開來，Planck常數(shù) 的量級從另一個方

23、向規(guī)定了Newton力學的適用范圍，并把經(jīng)典理論同量子理論劃分開來。在任何具體的問題中，如果相對說來， 可以忽略不計，那么坐標和動量就可以同時確定，經(jīng)典理論適合這樣的問題；如果 的大小不能忽略，那就必須使用量子理論。,例：若電子與質(zhì)量 m = 0.01 Kg 的子彈，都以 200 m/s 的速度沿 x 方向運動，速率測量相對誤差在 0.01% 內(nèi)。求在測量二者速率的同時測量位置所能達到的最小不確定度△x 。,解：（1）

24、電子位置的不確定度。由于電子動量不確定度為,（2）子彈位置的不確定度。由于子彈動量不確定度為,例：討論電子的單縫衍射實驗中的不確定關(guān)系。 如果我們?nèi)杂米鴺撕蛣恿棵枋鲭娮拥倪\動，那么當電子通過狹縫的坐標x為多少？對此我們無法準確知道，不確定范圍為：,衍射電子的動量大小無變化，但方向改變了。由于衍射后，大部分電子落在兩個一級暗紋之間，因此，由暗紋條件電子動量在x方向的不確定度為：,一級暗紋滿足關(guān)系：,由De Broglie關(guān)系:,由

25、于電子經(jīng)狹逢衍衍射后，并不完全出現(xiàn)在一級明紋處，考慮次級明紋后，應(yīng)有：,§22.4 Schrödinger 方程,薛定諤（Erwin Schrödinger, 1887--1961）奧地利物理學家，量子力學的重要奠基人之一，同時在固體的比熱、統(tǒng)計熱力學、原子光譜及鐳的放射性等方面都有很大成就。,薛定諤的波動力學，是在德布羅意提出的物質(zhì)波的基礎(chǔ)上建立起來的。他把物質(zhì)波表示成數(shù)學形式，建立了稱為薛定諤方程的量

26、子力學波動方程，在量子力學中居核心的地位，是量子力學中描述微觀粒子(如電子等)運動狀態(tài)的基本定律，在微觀、低速條件下適用。在經(jīng)典極限下，薛定諤方程可以過渡到哈密頓方程。 薛定諤對分子生物學的發(fā)展也做過工作。由于他的影響，不少物理學家參與了生物學的研究，使物理學和生物學相結(jié)合，形成了現(xiàn)代分子生物學的最顯著的特點之一。由于對原子理論的發(fā)展貢獻卓著，于1933年同英國物理學家狄拉克共獲諾貝爾物理學獎。,,量子力學是研究微觀粒子運動規(guī)律

27、物理學分支學科，主要研究原子、分子、凝聚態(tài)物質(zhì)，以及原子核和基本粒子的結(jié)構(gòu)、性質(zhì)的基礎(chǔ)理論。,經(jīng)典力學中，已知力 F 及 xo、vo，可由牛頓定律及守恒率等方程求質(zhì)點任意時刻的狀態(tài)。,量子力學中，已知初始狀態(tài)、根據(jù)薛定諤方程，可求(How)粒子任意時刻波函數(shù)、在某一體積中概率、系統(tǒng)能量。,上面的方程含有時間變量t，常常稱為含時薛定諤方程。求解過程一般很復(fù)雜。下面我們用一維平面波的波函數(shù)來驗證其正確性。,動能,哪里來的？猜測出來的。費曼說

28、：“它來自薛定諤的心靈?！?一、Schrödinger方程的引入,i是純虛數(shù)，粒子質(zhì)量為m，勢能為V (r, t),定義粒子的哈密頓量H (總能量：動能 + 勢能),勢能,一個粒子不受到外力，勢能為零，稱為自由粒子。它的波函數(shù)是前面介紹過的平面波形式。,1.一維自由粒子Schrödinger方程,,自由粒子的薛定諤方程,方程左端,方程右端,含時薛定諤方程正確。,2.定態(tài)Schrödinger方程,含時薛

29、定諤方程很難解，但如果粒子的勢能V只是坐標的函數(shù)，與時間t無關(guān)，此時可以化簡含時薛定諤方程。,分離變量法,可以證明,E 就是粒子的總能量數(shù)值，包含動能和勢能之和。,此時薛定諤方程可以化簡為,記為,此時薛定諤方程不含時間t，所以也稱為定態(tài)薛定諤方程。,為什么叫定態(tài)？,stationary state,此時波函數(shù)的概率密度與時間無關(guān)，所以可以稱為定態(tài)。波函數(shù) 可稱為定態(tài)波函數(shù)。,在一維定態(tài)問題中，即粒子在V(x)勢能場中運動，定態(tài)薛

30、定諤方程為,別忘記，要使上式解得的波函數(shù)合理，必須滿足標準化條件：,連 續(xù),波函數(shù)必須處處連續(xù)，光滑；,單 值,歸一化,二、一維勢阱問題,做一維運動的粒子所受到的勢能為：,粒子只能在寬為 a 的兩個無限高井壁間運動。我們分區(qū)討論粒子的運動。,1.一維方勢阱中粒子的波函數(shù),薛定諤方程在勢阱內(nèi)成為：,波函數(shù)在勢阱外應(yīng)等于零，為什么？,通解為：,由邊界條件：,只有：,,勢阱內(nèi)粒子 E 只能取離散值，能量量子化：,2.能量量子化,由：,“基態(tài)”

31、,“激發(fā)態(tài)”,,波函數(shù)在（0，a）區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)的概率滿足歸一化條件，即：,3.歸一化條件,粒子在勢阱中的概率密度：,4.討論,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,n 很大時，相鄰波腹靠得很近，接近經(jīng)典力學各處概率相同。,①函數(shù)曲線,勢阱內(nèi)任兩相鄰能級差,量子規(guī)律在極限條件下可轉(zhuǎn)化為經(jīng)典物理規(guī)律。,②對應(yīng)原理,a很小時，電子在原子中運動，△E 大，量子化顯著；,a較大時，△E小，量子化不顯著，連續(xù)變化。,,三、一維方勢壘、隧道效應(yīng),1

32、.一維方勢壘,經(jīng)典物理看來，在 x a的區(qū)域。,但在量子力學看來，由于粒子的波粒二象性粒子，在勢壘內(nèi)和勢壘外區(qū)域的波函數(shù)都不為0，進而各處都有一定的概率密度分布。,量子力學認為，雖然粒子的能量低于勢壘，但在勢壘中似乎有一個“隧道”，能使少量粒子穿過勢壘，而到達另一端，這種量子現(xiàn)象稱為隧道效應(yīng)。,隧道效應(yīng),tunneling effect,隧道效應(yīng)來源于微觀粒子的波動性。該效應(yīng)已被許多實驗證實，并在半導體器件、超導器件、物質(zhì)表面探測等現(xiàn)

33、代科技領(lǐng)域中有著重要的應(yīng)用。,2.掃描隧道顯微鏡,Scanning Tunnel Microscope,金屬中的電子由于隧道效應(yīng)有可能穿越比其能量更高的表面勢壘（逸出電勢壘）而逸出金屬表面，在金屬外表面附近形成電子云，電子云的分布形式與金屬晶體的結(jié)構(gòu)和表面性質(zhì)有關(guān)。,若兩塊金屬表面相距很近，至使表面的電子云發(fā)生相互重疊，此時若在兩金屬間加一微弱電壓（操作電壓），則會有微弱的電流（隧道電流）從一金屬流向另一金屬。,實驗表明，只要勢壘寬度改

34、變0.1nm(原子直徑線度），就會引起隧道電流變化一千倍左右。,STM利用隧道效應(yīng)中的這種靈敏特性，將一金屬做成極細的探針（針尖細到一個原子大?。?，在另一金屬樣品表面附近掃描，它能夠以原子級的空間分辨率去觀察物質(zhì)表面的原子結(jié)構(gòu)。,1981年賓尼希和羅雷爾利用電子掃描隧道顯微鏡（STM）。 STM可用于金屬、半導體、絕緣體和有機物表面的研究。是材料科學、生命科學和納米科學與技術(shù)的有力武器。,③電子顯微鏡,顯微鏡的分辨率與波長成反比。由于電

35、子的De Broglie波長比可見光小得多，因此，電子顯微鏡的分辨率比光學顯微鏡高得多。當電子的動能Ek～102eV時，?～1Å量級；Ek～105 eV時，?更短。 1932年，Ruska（德）制成第一臺電子顯微鏡（磁聚焦）。目前，分辨率～0.2nm。 1981年，Binnig（德）和Rohrer（瑞士）制成掃描隧道顯微鏡，分辨率：橫向～0.1nm；縱向～0.001nm。已廣泛用于納米材料、生命科學和微電子學等