十九世紀數(shù)學35064

1、十九世紀數(shù)學十九世紀數(shù)學十九世紀是數(shù)學史上創(chuàng)造精神和嚴格精神高度發(fā)揚的時代。復變函數(shù)論的創(chuàng)立和數(shù)學分析的嚴格化，非歐幾何的問世和射影幾何的完善，群論和非交換代數(shù)的誕生，是這一世紀典型的數(shù)學成就。它們所蘊含的新思想，深刻地影響著二十世紀的數(shù)學。十九世紀數(shù)學發(fā)展的概貌十九世紀數(shù)學發(fā)展的概貌十八世紀數(shù)學發(fā)展的主流是微積分學的擴展，它與力學和天文學的問題緊密相聯(lián)。微積分的運用使這些自然科學領域迅猛發(fā)展，至十八世紀末，它們達到了一種相對完美的程度

2、。然而，將數(shù)學和這些自然科學基本上視為一體的觀念，使當時一些著名的數(shù)學家，如拉格朗日、歐拉、達朗貝爾等對數(shù)學的前途產(chǎn)生了悲觀情緒，他們覺得數(shù)學泉源已近枯竭。而實際上，此時的數(shù)學正處于興旺發(fā)達的前夜：18世紀的數(shù)學家忙于獲取微積分的成果與應用，較少顧及其概念與方法的嚴密性，到十八世紀末，為微積分奠基的工作已緊迫地擺在數(shù)學家面前；另一方面，處于數(shù)學中心課題之外的數(shù)學分支已積累了一批重要問題，如復數(shù)的意義、歐式幾何中平行公設的地位，高次代數(shù)方

3、程根式解的可能性等，它們大都是從數(shù)學內(nèi)部提出的課題；再者，自十八世紀后期開始，自然科學出現(xiàn)眾多新的研究領域，如熱力學、流體力學、電學、磁學、測地學等等，從數(shù)學外部給予數(shù)學以新的推動力。上述因素促成了十九世紀數(shù)學充滿活力的創(chuàng)新與發(fā)展。十九世紀歐洲的社會環(huán)境也為數(shù)學發(fā)展提供了適宜的舞臺，法國資產(chǎn)階級大革命所造成的民主精神和重視數(shù)學教育的風尚，鼓勵大批有才干的青年步入數(shù)學教育和研究領地。法國在十九世紀一直是最活躍的數(shù)學中心之一，涌現(xiàn)出一批優(yōu)秀

4、人才，如傅里葉、泊松、彭賽列、柯西、劉維爾、伽羅華、埃爾米特、若爾當、達布、龐加萊、阿達馬。他們在幾乎所有的數(shù)學分支中都作出了卓越貢獻。法國革命的影響波及歐洲各國，使整個學術界思想十分活躍，突破了一切禁區(qū)。英國新一代數(shù)學家克服近一個世紀以來以牛頓為偶像的固步自封局面，成立了向歐洲大陸數(shù)學學習的“分析學會”，使英國進入世界數(shù)學發(fā)展的潮流。皮科克、格林、哈密頓、西爾維斯特、凱萊、布爾等英國數(shù)學界的杰出人物，在代數(shù)學、代數(shù)幾何、數(shù)學物理方面的

5、成就尤為突出。德國在1870年統(tǒng)一之前，資本主義發(fā)展比較緩慢，但從十八世紀下半葉起，它一直是思想意識領域十分活躍的地區(qū)，特別是思辨哲學強調(diào)事物內(nèi)部矛盾促進事物發(fā)展的思想，對純粹數(shù)學的發(fā)展產(chǎn)生了有益的影響。從高斯登上數(shù)學舞臺至十九世紀下半葉，德國逐漸發(fā)展成為與法國并駕齊驅(qū)的又一個世界數(shù)學中心，除高斯外，施陶特、普呂克、雅可比、狄利克雷、格拉斯曼、庫默爾、魏爾斯特拉斯、克羅內(nèi)克、黎曼、戴德金、康托爾、克萊因、希爾伯特都無愧為十九世紀最果系統(tǒng)

6、化，對問題及方法加以分類，同時開辟了全新的課題及方法。樹立了嚴格證明的典范，認為找出簡單漂亮的證明，有助于掌握問題的實質(zhì)并發(fā)現(xiàn)不同問題間的聯(lián)系(典型的是他給出了二次互反律的七個證明)。高斯的觀點代表了十九世紀對數(shù)學嚴密性追求的時代精神，也指出了純粹數(shù)學發(fā)展的一條途徑。同年，高斯依據(jù)少量觀測數(shù)據(jù)，運用誤差分析等方法計算出谷神星的軌道，準確地預報了這顆小行星在天空出現(xiàn)的時刻，哄動了科學界。高斯在一生中始終對理論與應用同等重視，他的成就一直鼓

7、舞著最有才華的數(shù)學家。他和阿基米德、牛頓一起，被認為是歷史上最偉大的數(shù)學家。1807年，傅里葉向巴黎科學院提交了一篇關于熱傳導的文章，在解熱傳導方程時，提出任意函數(shù)可用三角級數(shù)表示。這是分析學在十九世紀的首項重要工作，它不僅使分析方法進入新的物理領域，而且擴展了函數(shù)概念，推進了偏微分方程理論。對傅里葉級數(shù)收斂點的研究，最終導致康托爾創(chuàng)立集合論。由于傅里葉級數(shù)在應用中的重要性，研究其收斂性成為分析嚴格化的動力之一。十九世紀分析嚴格化的倡導

8、者有高斯、波爾查諾、柯西、阿貝爾和狄利克雷等人。1812年，高斯對一類具體的級數(shù)──超幾何級數(shù)，進行了嚴密研究，這是歷史上第一項重要的有關級數(shù)收斂性的工作。1817年，波爾查諾首先拋棄無窮小量概念，用極限觀念給出導數(shù)和連續(xù)性的定義，并得到判別級數(shù)收斂的一般準則(現(xiàn)稱柯西準則)，由于他的工作長期被埋沒，因此對當時數(shù)學的發(fā)展沒有產(chǎn)生影響，是數(shù)學史上一件憾事?？挛魇菍Ψ治鰢栏窕绊懽畲蟮膶W者，1821年發(fā)表了《分析教程》，除獨立得到波爾查諾的

9、基本結果，還用極限概念定義了連續(xù)函數(shù)的定積分，這是建立分析嚴格理論的第一部重要著作。值得注意的是，柯西的分析理論基本上基于幾何直觀，按現(xiàn)代標準衡量仍不夠嚴密。阿貝爾一直強調(diào)分析中定理的嚴格證明，在1826年最早使用一致收斂的思想，證明了連續(xù)函數(shù)的一個一致收斂級數(shù)的和在收斂區(qū)域內(nèi)部連續(xù)。柯西在建立嚴格的分析理論的同時，還為十九世紀最重要的數(shù)學創(chuàng)造──單復變函數(shù)論奠定了基礎。1814～1825年間，他得到了計算復函數(shù)沿復平面上路徑積分的基本

10、定理和留數(shù)計算公式。由于柯西的工作，復數(shù)和復變函數(shù)論在十九世紀20年代為廣大數(shù)學家所熟悉。1826年，阿貝爾和雅可比創(chuàng)立了橢圓函數(shù)理論，成為復變函數(shù)論蓬勃發(fā)展的生長點。十九世紀最富革命性的創(chuàng)造當屬非歐幾何。自古希臘時代始，歐氏幾何一直被認為是客觀物質(zhì)空間惟一正確的理想模型，是嚴格推理的典范。16世紀后的數(shù)學家在論證代數(shù)或分析結果的合理性時，都試圖歸之為歐氏幾何問題。但歐氏幾何的平行公設曾引起數(shù)學家的持久的關注，以弄清它和其他公理、公設的