不定積分的例題分析及解法

1、1不定積分的例題分析及解法這一章的基本概念是原函數(shù)、不定積分、主要的積分法是利用基本積分公式，換元積分法和分部積分法。對(duì)于第一換元積分法，要求熟練掌握湊微分法和設(shè)中間變量，而第二換元積分法重點(diǎn)要)(xu??求掌握三角函數(shù)代換，分部積分法是通過(guò)“部分地”湊微分將轉(zhuǎn)化成，這種轉(zhuǎn)化應(yīng)是朝有利??ud?du?于求積分的方向轉(zhuǎn)化。對(duì)于不同的被積函數(shù)類(lèi)型應(yīng)該有針對(duì)性地、靈活地采用有效的積分方法，例如為有理函數(shù)時(shí)，通過(guò)多項(xiàng)式除法分解成最簡(jiǎn)分式來(lái)積分，

2、為無(wú)理函數(shù)時(shí)，?？捎脫Q元積分法。)(xf)(xf應(yīng)該指出的是：積分運(yùn)算比起微分運(yùn)算來(lái)，不僅技巧性更強(qiáng)，而且業(yè)已證明，有許多初等函數(shù)是“積不出來(lái)”的，就是說(shuō)這些函數(shù)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)來(lái)表示，例如；；；（其中）等。dxxx?sindxex??2dxx?ln1??xkdx22sin110??k這一方面體現(xiàn)了積分運(yùn)算的困難，另一方面也推動(dòng)了微積分本身的發(fā)展，在第7章我們將看到這類(lèi)積分的無(wú)限形式的表示。一、疑難分析（一）關(guān)于原函數(shù)與不定積分概

3、念的幾點(diǎn)說(shuō)明（1）原函數(shù)與不定積分是兩個(gè)不同的概念，它們之間有著密切的聯(lián)系。對(duì)于定義在某區(qū)間上的函數(shù)，若存在函數(shù)，使得該區(qū)間上每一點(diǎn)處都有，則稱(chēng)是在該區(qū)間上)(xf)(xFx)()(xfxF??)(xF)(xf的原函數(shù)，而表達(dá)式稱(chēng)為的不定積分。CCxF()(?為任意常數(shù)))(xf（2）的原函數(shù)若存在，則原函數(shù)有無(wú)限多個(gè)，但任意兩個(gè)原函數(shù)之間相差某個(gè)常數(shù)，因此求)(xf的不定積分時(shí)，只需求出的一個(gè)原函數(shù)，再加上一個(gè)任意常數(shù)即可，即)(xf

4、?dxxf)()(xf)(xFC。???CxFdxxf)()(（3）原函數(shù)與不定積分是個(gè)體與全體的關(guān)系，只是的某個(gè)原函數(shù)，而)(xF?dxxf)()(xF)(xf是的全部原函數(shù)，因此一個(gè)原函數(shù)只有加上任意常數(shù)后，即才能成為?dxxf)()(xfCCxF?)(的不定積分，例如都是的原函數(shù)，但都不是的不定積分，只有)(xf3211222???xxxx2x2才是的不定積分（其中是任意常數(shù)）。Cx?2x2C（4）的不定積分中隱含著積分常數(shù)，因此

5、計(jì)算過(guò)程中當(dāng)不定積分號(hào)消失后一定要)(xf?dxxf)(C加上一個(gè)任意常數(shù)。C3（5）)(sincos)(cossinxdxdxxdxdx???（6）)cot(csc)(tansec22xdxdxxdxdx???（7）)(arctan112xddxx??（8）)(arcsin112xddxx??在具體問(wèn)題中，湊微分要根據(jù)被積函數(shù)的形式特點(diǎn)靈活運(yùn)用，例如求??dxxxf211)(arctan時(shí)，應(yīng)將湊成；求dxxdx21?xdarctxx

6、xarcf??211)cot(時(shí)，應(yīng)將湊成；而求時(shí)，就不能照搬上述兩種湊法，應(yīng)將dxx211?xdarccot?dxxx??212211x?湊成，即。xdx22dx)1(222xddxxdx???（2）第二換元法積分法：令，常用于被積函數(shù)含或等形式。)(tx??22xa?22ax?常見(jiàn)的元理函數(shù)積分所采用的換元式如表51所示：表51代換名稱(chēng)被積函數(shù)含有換元式三角代換22xa?22xa?22ax?)22(sin?????ttax)22(t

7、an?????ttax)20(sec???ttax無(wú)理代換nbax?nx12111)()(nnbaxbax??即tbaxn??)(1btaxn??即1tx?tx1?為的最小公倍數(shù))(baxtn??n21nn（3）同一個(gè)不定積分，往往可用多種換元方法求解，這時(shí)所得結(jié)果在形式上可能不一致，但實(shí)質(zhì)上僅相差一常數(shù)，這可能過(guò)對(duì)積分結(jié)果進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算來(lái)驗(yàn)證。（三）關(guān)于積分形式不變性在講第一換元積分法時(shí)，講過(guò)這樣一個(gè)定理：如果，那么有，其中是的可微函數(shù)