北京理工大學數學專業(yè)數學分析ⅲ試題mth17042,mth17169

1、課程編號：MTH17042北京理工大學20142015學年第一學期2014.11.32013級數學專業(yè)數學分析Ⅲ階段測驗（一）試題1.設是中的調和函數，S是中任意的分片光滑閉曲面。????uuxyzvvxyz??3A3A求證：，其中和分別表示函數和沿S外法線方向的方SSvuudSvdSnn???????????AAun???vn???uv向導數。2.敘述正項級數斂散性的比較判別法和D’Alembert比值判別法，并利用前者證明后者。3.

2、判斷下列級數的斂散性：（1）（2）??331nnnnn????????311122nnnnn????????（3）（4）（5）??211ln1nnnn??????????????221sinsin1nnnn?????12nnn???4.設。又設廣義極限存在。求證：012nun???lnlnlimlnlnnnunLn????當（含）時，級數收斂；1L??L???1nnu???當（含）時，級數發(fā)散。1L??L???1nnu???5.研究級數

3、的斂散性，包括絕對收斂性和條件收斂性，其中是實參數。32sinlnnnnn?????6.設收斂，其中R0，求證：對一切，絕對收斂。1nnnaR?????xRR??1nnnnax???7.設，且有極限。求證：數列收斂，且。0nnb??1lim10nnnbnpb??????????????nblim0nnb???8.設存在，又設絕對收斂。求證：。limnnaA???1nnb???111limnknknnknabAb??????????（2）

4、函數項級數在其收斂域內不一致收斂。??11lnnxnnn????六、（10分）設。????012nnfxxxn??????（1）求證：函數序列在中內閉一致收斂；????nfx??0??（2）用兩種方法證明在內不一致收斂。????nfx??0??七、（15分）（1）求冪級數的收斂域及和函數；????121112nnnnnx??????（2）求函數的Maclaurin級數展開式并確定收斂區(qū)間。????2ln1fxxx???八、（10分）設函

5、數在區(qū)間I內定義，且，在區(qū)間I????nfxfx??12n??n???nfx內一致連續(xù)；又設時關于x在I內一致收斂于。求證：在區(qū)n??????nfx??fx??fx間I內一致連續(xù)，且在區(qū)間I內等度連續(xù)，即，使得????nfx00??????，只要，就有。nxxI??????xx??????????nnfxfx??????九、（10分）設函數序列在區(qū)間內點態(tài)收斂于極限函數，且，????nfx??a????fxn?極限存在；又設當時等度收斂