第一章 函數(shù)與極限 - 上海應用技術學院理 學 院

1、第九章多元函數(shù)微分法及其應用3第九章多元函數(shù)微分法及其應用一、基本要求及重點、難點一、基本要求及重點、難點1.基本要求(1)理解二元函數(shù)的概念，了解多元函數(shù)的概念。(2)了解二元函數(shù)的極限、連續(xù)性概念，有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質。(3)理解偏導數(shù)和全微分的概念，熟練掌握偏導數(shù)的計算，了解全微分存在的必要條件和充分條件。(4)了解方向導數(shù)與梯度的概念及其計算方法。(5)掌握復合函數(shù)一階偏導數(shù)的求法，會求復合函數(shù)的二階偏導數(shù)。(6)會求隱函數(shù)

2、（包括由方程組確定的隱函數(shù)）的偏導數(shù)（主要是一階）。(7)了解曲線的切線和法平面及曲面的切平面與法線、并會求出它們的方程。(8)理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，會求二元函數(shù)的極值。了解求條件極值的拉格朗日乘數(shù)法，會求解一些較簡單的最大值和最小值的應用問題。2.重點及難點（1）重點：多元函數(shù)概念，偏導數(shù)與全微分概念，偏導數(shù)計算，微分在幾何上的應用，多元函數(shù)的極值的計算。（2）難點：二重極限的定義與計算，多元函數(shù)連續(xù)；偏導數(shù)存在與可微之間

3、的關系；復合函數(shù)的高階偏導數(shù)；方向導數(shù)、偏導數(shù)、梯度之間的關系。。二、內容概述二、內容概述多元函數(shù)微分學是一元函數(shù)微分學的推廣，因此兩者之間有許多相似之處，但是要特別注意它們之間的一些本質差別。1.多元函數(shù)的極限和連續(xù)多元函數(shù)的極限和連續(xù)(1)基本概念基本概念1)點集和區(qū)域。2)多元函數(shù)的定義、定義域。3)二元函數(shù)的極限、連續(xù)。(2)基本定理基本定理1)多元初等函數(shù)在其定義域內是連續(xù)的。2)多元連續(xù)函數(shù)在有界閉區(qū)域上一定有最大值M、最小

4、值m；且必取到最大值M和最小值m之間的任何值。2.多元函數(shù)微分法多元函數(shù)微分法(1)基本概念基本概念第九章多元函數(shù)微分法及其應用5(4)基本定理基本定理1)可微的必要條件：如果函數(shù)在點處可微分，則函數(shù)在點)(yxfz?)(yx處偏導數(shù)必定存在，且全微分為。)(yxyyzxxzdz????????2)可微的充分條件：如果函數(shù)的偏導數(shù)在點處連續(xù)，)(yxfz?yzxz????)(yx則函數(shù)在該點必可微，且。dyyzdxxzdz??????3

5、.3.多元函數(shù)微分學的應用多元函數(shù)微分學的應用(1)方向導數(shù)和梯度方向導數(shù)和梯度1)方向導數(shù)A.定義：，??)()(lim0yxfyyxxf??????22)()(yx?????B.計算方法：??coscosyfxflf????????2)梯度A.定義：jyfixfyxgradf????????)(B.函數(shù)在一點的梯度grad是一個向量，它的方向是函數(shù)在這點的)(yxf方向導數(shù)取得最大值的方向，它的模等于方向導數(shù)的最大值。3)方向導數(shù)和

6、偏導數(shù)的區(qū)別和聯(lián)系A.都是多元函數(shù)的變化率，方向導數(shù)是沿任意指定方向的變化率而偏導數(shù)是沿坐標軸方向（兩個方向）的變化率；B.方向導數(shù)是偏導數(shù)概念的推廣，偏導數(shù)并不是某一方向的方向導數(shù)。(2)在幾何上的應用在幾何上的應用空間曲線為曲線上一點)(0000zyxMTttzztyytxx?????????)()()(1、切線方程：)()()(000000tzzztyyytxxx??????2、法平面方程：0))(())(())((000000?