[學習]概率論與數(shù)理統(tǒng)計ppt課件第一章古典概型與概率空間

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計,概率論與數(shù)理統(tǒng)計,概率論與數(shù)理統(tǒng)計,1,1. 確定性現(xiàn)象在一定條件下必然發(fā)生（出現(xiàn)）某一結果的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象.特點在相同的條件下，重復進行實驗或觀察，它的結果總是確定不變的.,引 言,2,2. 隨機現(xiàn)象在一定條件下，可能出現(xiàn)這樣的結果，也可能出現(xiàn)那樣的結果，而試驗或觀察前，不能預知確切的結果. —— 即在相同的條件下，重復進行觀測或試驗，它的結果未必是相同的.,3,隨機現(xiàn)象的特點雖然在個

2、別試驗中，其結果呈現(xiàn)出不確定性，但是人們經(jīng)過長期實踐并深入研究之后，發(fā)現(xiàn)在大量重復試驗或觀察下，這類現(xiàn)象的結果呈現(xiàn)出某種規(guī)律性—— 這種在大量重復試驗或觀察中，所呈現(xiàn)出的固有規(guī)律性稱之為統(tǒng)計規(guī)律性.,4,概率論與數(shù)理統(tǒng)計正是研究隨機現(xiàn)象的這種統(tǒng)計規(guī)律性的數(shù)學分支. 下面我們就來開始這門課程的學習.,5,,在考慮一個(未來)事件是否會發(fā)生的時候, 人們常關心該事件發(fā)生的可能性的大小.就像用尺子測量物體的長度、我們用概率測

3、量一個未來事件發(fā)生的可能性大小.將概率作用于被測事件就得到該事件發(fā)生的可能性大小的測量值.為了介紹概率，首先需要介紹試驗和事件.,第一章 古典概型與概率空間,6,一、隨機試驗我們把按照一定的想法去作的事情稱為隨機試驗.隨機試驗的簡稱是 試驗 (experiment).實例1擲一個硬幣, 觀察是否正面朝上.實例2擲兩枚骰子, 觀察擲出的點數(shù)之和.實例3在一副撲克牌中隨機抽取兩張, 觀察是否得到數(shù)字相同的

4、一對.,§1.1 試驗與事件,7,在概率論的語言中, 試驗還是指對試驗的一次觀測或試驗結果的測量過程.,投擲一枚硬幣, 用 表示硬幣正面朝上, 用 表示硬幣反面朝上, 則試驗有兩個可能的結果： 和 . 我們稱 和 是樣本點,稱樣本點的集合 為試驗的樣本空間.,二、 樣本空間,8,投擲一枚骰子, 用1表示擲出點數(shù)1,

5、 用2表示擲出點數(shù)2, …, 用6表示擲出點數(shù)6.試驗的可能結果是1, 2, 3, 4, 5, 6.我們稱這6個數(shù)是試驗的樣本點.稱樣本點的集合 是試驗的樣本空間.,9,為了敘述的方便和明確，下面把一個特定的實驗稱為試驗S. 稱試驗S的一個可能結果為S的一個樣本點(samp

6、le point) ，用?表示．,稱試驗 S 的所有可能結果構成的集合為S 的樣本空間(sample space) ，用　表示．,10,例1將一枚硬幣拋擲兩次，則樣本空間為,11,三、 隨機事件,1. 隨機事件,投擲一枚骰子的樣本空間是A={3} 表示擲出3點, 則A是 的子集.我們稱A是事件.,擲出3點, 就稱事件A發(fā)生, 否則稱事件A不發(fā)生.用集合B={2,4,6}表示擲出偶數(shù)點, B是 的子

7、集, 我們也稱B是事件.,當擲出偶數(shù)點, 稱事件B發(fā)生, 否則稱事件B不發(fā)生. 事件B發(fā)生和擲出偶數(shù)點是等價的.,12,當試驗的樣本點(試驗結果) 落在 A 中, 稱事件 A 發(fā)生, 否則稱 A 不發(fā)生.,按照上述約定, 子集符號 表示A是事件. 通常用大寫字母 A, B, C, D 等表示事件.,設 是試驗S的樣本空間.當 中只有有限個樣本

8、點時,稱 的子集為事件.,13,用 表示集合A的余集.則事件A發(fā)生和樣本點 是等價的,事件A不發(fā)生和樣本點 是等價的.,14,例1(續(xù)). 將一枚硬幣拋擲兩次,則樣本空間為,事件A表示“兩次出現(xiàn)的面不同”,可記作,A: “兩次出現(xiàn)的面不同”,或,A={兩次出現(xiàn)的面不同},用樣本空間的子集可表達為,A={ (H

9、,T), (T,H)},15,例2投擲一枚骰子, 觀察擲出的點數(shù).,B =“擲出奇數(shù)點”,= {1,3,5}.,Ai =“擲出i點” = {i}，i =1, 2,…, 6．,基本事件,16,特殊的事件：,,： 在每次試驗中必出現(xiàn) 中一個樣本點，即在每次試驗中 必發(fā)生, 因此稱 為必然事件;,?：在每次試驗中，所出現(xiàn)的樣本點都不在中，即在每次試驗中? 都不發(fā)生，因此稱? 為不可能發(fā)生的事件。,

10、17,注: 樣本空間 是由試驗S的可能結果構成的集合. 樣本點 是 的元素，事件A 就是 的子集.,18,2. 事件與集合,19,3. 事件的關系與運算,(1)若A?B，則稱事件B包含事件A，事件A包含于事件B.事件A發(fā)生必然導致B發(fā)生.,(2)若A?B, B?A, 即A=B，則稱事件A與事件B相等.,20,(3) 事件 稱為事件A與事件B的并（或和）事件.,“A與B至少有一

11、個發(fā)生”, “A發(fā)生或B發(fā)生”與“事件發(fā)生” 等價.,當且僅當A、B中至少有一個發(fā)生時, 事件 發(fā)生.,21,類似地，稱 為n個事件A1, …, An的和事件.,稱 為可列個事件A1, …, An,…的和事件.,22,(4) 事件稱為事件A與事件B的交（或積）事件，也記作AB.,當且僅當A、B同時發(fā)生時，事件AB發(fā)生.,“事件A和B同時發(fā)生”， “A和B都發(fā)生”與“事件AB發(fā)生”

12、 等價.,23,稱 為可列個事件A1, …, An, …的積事件.,稱 為n個事件A1, …, An的積事件.,24,(5) 事件A?B稱為事件A與事件B的差事件.,當且僅當A發(fā)生, B不發(fā)生時，事件 A?B發(fā)生.,25,類似地,若n個事件A1,…,An中兩兩互不相容，則稱這n個事件互不相容. 若事件A1,…,An,…中任意兩個事件是互不相容的，則稱這可列無窮多個事件互不相容.,26,（7）若

13、A?B= , A?B=?，稱事件A與事件B為對立事件或逆事件。,—— 在每次試驗中，事件A、B中必有一個發(fā)生，且僅有一個發(fā)生。,（8）事件,稱為事件A的補事件。,—— 當且僅當事件A不發(fā)生時，事件,發(fā)生。,27,事件的運算公式就是集合的運算公式,如：,(1)交換律(2)結合律(3)分配律(4)對偶公式……,28,對于一個具體事件，要學會用數(shù)學符號表示；反之，對于用數(shù)學符號表示的事件，要清楚其具體含義是什么.下面我們

14、來做練習.,29,A = “兩件產(chǎn)品都是合格品”,,例3從一批產(chǎn)品中任取兩件, 觀察合格品的情況. 記,= “兩件產(chǎn)品不都是合格品”.,或,=“兩件產(chǎn)品中至少有一個是不合格品”,={兩件產(chǎn)品中恰有一個是不合格品} {兩件產(chǎn)品中都是不合格品}.,記 Bi =“取出的第 i 件是合格品”, i=1,2, 則A=B1B2,,30,(1) A發(fā)生, B與C不發(fā)生,設A、B、C為三個事件，用A、B、C的運算關系表示下列各事件.,或,

15、(2) A與B都發(fā)生,而C不發(fā)生,或,31,一、 古典概型假定隨機試驗S有有限個可能的結果, 并且假定從該試驗的條件及實施方法上去分析，我們找不到任何理由認為其中某一結果出現(xiàn)的機會比另一結果出現(xiàn)的機會大或小，我們只好認為所有結果在試驗中有同等可能的出現(xiàn)機會.,§1.2 古典概率模型,32,實例一個袋子中裝有10個大小、形狀完全相同的球. 將球編號為1－10 . 把球攪勻，蒙上眼睛，從中任取一球.,,,,2,3

16、,4,7,9,10,8,6,1,5,33,因為抽取時這些球是完全平等的，我們沒有理由認為10個球中的某一個會比另一個更容易取得 . 也就是說，10個球中的任一個被取出的機會是相等的，均為1/10.,,,,2,3,4,7,9,10,8,6,1,5,34,用 i 表示取到 i 號球， i =1,2,…,10. 則該試驗的樣本空間為{1,2,…,10} .每個樣本點(或者說基本事件)出現(xiàn)的可能性相同 .,35,古典概率模型,設

17、是試驗S的樣本空間. 對于 的事件A, 我們用P(A)表示A發(fā)生的可能性的大小,稱P(A)是事件A發(fā)生的概率, 簡稱為A的概率.,按照以上原則, 如果事件A, B發(fā)生的可能性相同, 則有 P(A)=P(B).,如果事件A發(fā)生的可能性是B發(fā)生的可能性的2倍, 則有 P(A)=2P(B).,概率是介于0和1之間的數(shù), 描述事件發(fā)生的可能性的大小.,用 , 分別表示事件A和樣本空間 中樣本點的個數(shù).,36,設試驗S的樣本

18、空間 是有限集合,,如果 的每個樣本點發(fā)生的可能性相同, 則稱,為試驗S下A發(fā)生的概率, 簡稱為事件A的概率.,能夠用上述描述的模型稱為古典概率模型，簡稱為古典概型.,2. 定義,37,3. 古典概率的基本性質(zhì),排列組合是計算古典概率的重要工具 .,推論,38,加法原理乘法原理,基本計數(shù)原理,39,1. 加法原理,設完成一件事有m種方式，,第一種方式有n1種方法，,第二種方式有n2種方法,,…；,第m種方式有nm種

19、方法,,無論通過哪種方法都可以完成這件事，,則完成這件事總共有n1 + n2 + … + nm 種方法 .,40,2. 乘法原理,設完成一件事有m個步驟，,第一個步驟有n1種方法，,第二個步驟有n2種方法,,必須通過每一步驟,才算完成這件事，,41,從n個不同元素取 k個（允許重復）（1 k n)的不同排列總數(shù)為：,例如：從裝有4張卡片的盒中有放回地摸取3張,,共有4.4.4=43種可能取法,42,n個不同元素分為k組，

20、各組元素數(shù)目分別為r1,r2,…,rk的分法總數(shù)為,,n個元素,因為,43,例1 在一袋中有10 個相同的球，分別標有號碼 1,2,…,10. 從中任取一個球，求此球的號碼為偶數(shù)的概率.解：令A=“球的號碼為偶數(shù)”.,44,例2 在一袋中有10 個相同的球，分別標有號碼1,2,…,10. 每次任取一個球，記錄其號碼后放回袋中，再任取下一個. 這種取法叫做“有放回抽取”. 今有放回抽取3個球，求這3個球的號碼均為偶數(shù)的概率.解

21、：令A=“3個球的號碼均為偶數(shù)”.,注意: 此處為有放回抽取.,45,例3 在一袋中有10 個相同的球，分別標有號碼1,2,…,10. 每次任取一個球，記錄其號碼后不放回袋中，再任取下一個. 這種取法叫做“不放回抽取”. 今不放回抽取3個球，求這3個球的號碼均為偶數(shù)的概率.解：令A=“3個球的號碼均為偶數(shù)”.,注意: 此處為無放回抽取.,46,例4 在一袋中有10 個相同的球，分別標有號碼1,2,…,10. 今任取兩個球，

22、求取得的第一個球號碼為奇數(shù)，第二個球的號碼為偶數(shù)的概率.解：設A=“取得的第一個球號碼為奇數(shù)，第二個球的號碼為偶數(shù)”.,注意：第一個球是奇數(shù)，且第二個球是偶數(shù)，有順序要求，故要用排列去做.,47,例5 設一批同類型的產(chǎn)品共有 N 件，其中次品有 M 件. 今從中任取n（假定n?N-M）件，求次品恰有k件的概率(0? k ? min(M,n)) .,這是一種無放回抽樣.,解：令B=“恰有k件次品”.,,,,,,,,,,,,,,,

23、,,,,,,,,,,,,,,,,,,次品,正品,……,M件次品,N-M件正品,48,例 6設有n個球，每個球都以同樣的概率1/N落入到N個格子(N?n)的每一個格子，試求(1)A = “某指定的n個格子中各有一球” 的概率.(2)B = “任何n個格子中各有一球”的概率.,解：,49,生日問題有n 個人，設每個人的生日是365天的任何一天是等可能的，試求至少有兩人生日相同的概率（n≤365 ）.,關于生日問題有如下計算數(shù)據(jù):

24、,50,20 0.411 21 0.444 22 0.476 23 0.507 24 0.538 30 0.706 40 0.891 50 0.970 60 0.994,求一

25、個50人的班級中，至少有兩個人生日相同的概率.,人數(shù) 至少有兩人同 生日的概率,,,51,二、幾何概型,在概率論發(fā)展早期，人們就已經(jīng)注意到只考慮那種僅有有限個樣本點的隨機試驗是不夠的，還必須考慮試驗結果是無窮多個的情形，這中間最簡單的一類是試驗結果是無窮多個，而又有某種“等可能”的情形.,52,如,53,,1.定義向任一可度量區(qū)域G內(nèi)投一點，如果所投的點落在G中任意可度量區(qū)域g內(nèi)的可能性與g的度量成正比