實(shí)變函數(shù)與泛函分析ppt課件

1、1,第三節(jié) 可測(cè)集的結(jié)構(gòu),第三章 測(cè)度論,2,注：開(kāi)集、閉集既是 型集也是 型集； 有理數(shù)集是 型集，但不是 型集； 無(wú)理數(shù)集是 型集，但不是 型集。,有理數(shù)集可看成可數(shù)個(gè)單點(diǎn)集的并，而單點(diǎn)集是閉集；通過(guò)取余 型集與 型集相互轉(zhuǎn)化（并與交，開(kāi)集與閉集互換）,例 區(qū)間 是可測(cè)集，且,注：零集、區(qū)間、開(kāi)集、閉

2、集、 型集（可數(shù)個(gè)開(kāi)集的交）、 型集（可數(shù)個(gè)閉集的并）、Borel型集（粗略說(shuō)：從開(kāi)集出發(fā)通過(guò)取余，取交或并（有限個(gè)或可數(shù)個(gè)）運(yùn)算得到）都是可測(cè)集。,證明見(jiàn)書本p66,3,2. 可測(cè)集與開(kāi)集、閉集的關(guān)系,即：可測(cè)集與開(kāi)集、閉集只相差一小測(cè)度集（可測(cè)集“差不多”就是開(kāi)集或閉集），從而可測(cè)集基本上是至多可數(shù)個(gè)開(kāi)區(qū)間的并。,4,證明：若(1)已證明，由Ec可測(cè)可知,取F=G c，則F為閉集,5,(1).若E可測(cè)

3、，則,證明:(1)當(dāng)mE<+∞時(shí)，由外測(cè)度定義知,從而（這里用到mE<+∞ ）,6,對(duì)每個(gè)Ei應(yīng)用上述結(jié)果,(2)當(dāng)mE=+∞時(shí)，這時(shí)將E分解成可數(shù)個(gè)互不相交的可測(cè)集的并：,7,例,證明：對(duì)任意的1/n，,8,例：設(shè)E為[0,1]中的有理數(shù)全體， 試各寫出一個(gè)與E只相差一小測(cè)度集的開(kāi)集和閉集。,例：設(shè)E*為[0,1]中的無(wú)理數(shù)全體，試各寫出一個(gè)與E*只相差一小測(cè)度集的開(kāi)集和閉集。,開(kāi)集: (0,1) 閉集：,開(kāi)集：

4、閉集：空集,9,3. 可測(cè)集與 集和 集的關(guān)系,可測(cè)集可由 型集去掉一零集，或 型集添上一零集得到。,(2).若E可測(cè)，則存在 型集H, 使,(1).若E可測(cè)，則存在 型集 O, 使,10,(1).若E可測(cè)，則存在 型集 O, 使 (2).若E可測(cè)，則存在 型集H, 使,證明：若(1)已證

5、明，由Ec可測(cè)可知,取H=O c，則H為 型集 ， 且,11,(1).若E可測(cè)，則存在 型集 O, 使,證明：對(duì)任意的1/n，,12,例：,例：設(shè)E*為[0,1]中的無(wú)理數(shù)全體，試各寫出一個(gè)與E*只相差一零測(cè)度集的 型集或 型集。,設(shè)E為[0,1]中的有理數(shù)全體， 試各寫出一個(gè)與E只相差一零測(cè)度集的 型集或 型集。,注：上面的交與并不可交換次序,13,類似可證：