復(fù)變函數(shù)與積分變換課程教學(xué)大綱

1、《復(fù)變函數(shù)與積分變換》課程教學(xué)大綱課程編號(hào)：112000531課程名稱：復(fù)變函數(shù)與積分變換 英文名稱：Function of a Complex Variable and interal transformation課程類型：公共基礎(chǔ)課總 學(xué) 時(shí)：48學(xué) 分：3適用對(duì)象：非數(shù)學(xué)專業(yè)本科生先修課程：高等數(shù)學(xué)一、課程性質(zhì)、目的和任務(wù)本課程是理工科學(xué)生繼高等數(shù)學(xué)后的又一門數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課。本課程主要講授復(fù)變函數(shù)與積分變換的基本理論和方法。通

2、過本課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生不僅能夠?qū)W到復(fù)變函數(shù)與積分變換的基本理論和數(shù)學(xué)物理及工程技術(shù)中常用的數(shù)學(xué)方法，同時(shí)還可以鞏固和復(fù)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，為學(xué)習(xí)有關(guān)的后續(xù)課程和進(jìn)一步擴(kuò)大數(shù)學(xué)知識(shí)面奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。在培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力和科學(xué)計(jì)算能力等方面起著特殊重要的作用。二、教學(xué)基本要求1．理解復(fù)變函數(shù)中的概念、理論和方法，掌握其與實(shí)變函數(shù)的共同點(diǎn)和不同點(diǎn)。2．掌握復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)和積分概念以及其計(jì)算方法，

3、理解解析函數(shù)的概念和性質(zhì)。3．理解留數(shù)的概念，掌握和應(yīng)用留數(shù)定理進(jìn)行積分計(jì)算。4．了解解析函數(shù)所構(gòu)成的映射特性，理解共形映射的概念和應(yīng)用。5．掌握傅里葉變換和拉普拉斯變換的概念、性質(zhì)和應(yīng)用。三、教學(xué)內(nèi)容及要求第 1 章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)主要內(nèi)容：1．復(fù)數(shù)的概念、運(yùn)算及幾何表示。2．復(fù)平面上區(qū)域、曲線的概念及它們的復(fù)數(shù)表示。3．復(fù)變函數(shù)的概念及其復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性?；疽螅?．熟悉復(fù)數(shù)概念及各種幾何表示。2． 掌握復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、乘冪

4、方根共軛等運(yùn)算并能簡(jiǎn)單應(yīng)用。3．了解復(fù)平面上區(qū)域、曲線的概念，掌握用復(fù)數(shù)表示它們的方法。4．了解復(fù)變函數(shù)與實(shí)二元函數(shù)的關(guān)系及復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性，熟悉復(fù)變函數(shù)極限與連續(xù)性的運(yùn)算法則及性質(zhì)，熟悉復(fù)變函數(shù)與實(shí)變函數(shù)的極限與連續(xù)性之間的聯(lián)系與區(qū)別。1．復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。 2．冪級(jí)數(shù)。3．泰勒級(jí)數(shù)。4．洛朗級(jí)數(shù)?；疽螅?．了解復(fù)數(shù)列極限、復(fù)級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散概念，與高等數(shù)學(xué)中相應(yīng)內(nèi)容的關(guān)系。2．熟悉冪級(jí)數(shù)概念，理解 Abel 定理，掌握冪級(jí)數(shù)收

5、斂半徑求法、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算及性質(zhì)。3．理解泰勒展開定理，熟練掌握 等函數(shù)的泰勒展 ? ) 1 ( ), 1 ln( , cos , sin , z z z z e z ? ?式，掌握函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)(泰勒級(jí)數(shù))的直接展開法和間接展開法，能比較熟練地將一些解析函數(shù)在指定點(diǎn)展開成冪級(jí)數(shù)(泰勒級(jí)數(shù))，并會(huì)確定收斂半徑。4．熟悉雙邊冪級(jí)數(shù)概念和性質(zhì)，理解洛朗展開定理，掌握函數(shù)展開成洛朗級(jí)數(shù)的間接展開法，能比較熟練地將一些解析函數(shù)在不同圓環(huán)內(nèi)展開成

6、洛朗級(jí)數(shù)。重點(diǎn)：函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)、洛朗級(jí)數(shù)。難點(diǎn)：函數(shù)展開成洛朗級(jí)數(shù)。第 5 章 留數(shù)主要內(nèi)容：1．孤立奇點(diǎn)的定義及分類。2．留數(shù)的定義及計(jì)算。3．留數(shù)定理及應(yīng)用?；疽螅?．了解孤立奇點(diǎn)的定義、分類及特征，熟悉零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系。2．理解留數(shù)概念，掌握計(jì)算留數(shù)的一般方法，熟練掌握極點(diǎn)處留數(shù)的求法。3．掌握利用留數(shù)定理計(jì)算閉路復(fù)積分的方法，了解應(yīng)用留數(shù)定理計(jì)算定積分的圍道積分法，能熟練利用留數(shù)計(jì)算下面三種類型的定積分：。 dx e x

7、 R dx x R d R iax ? ? ?? ?? ?? ?? ? ) ( , ) ( , ) sin , (cos20? ? ? ?重點(diǎn)：留數(shù)的計(jì)算、留數(shù)定理及應(yīng)用。難點(diǎn)：留數(shù)在定積分計(jì)算上的應(yīng)用。第 6 章 Fourier 變換主要內(nèi)容：1．Fourier 積分與 Fourier 積分定理。2．Fourier 變換與 Fourier 逆變換。3．單位脈沖函數(shù)及廣義 Fourier 變換。4．Fourier 變換的性質(zhì)及卷積。基本