幾類具有跳躍非線性項的橢圓型方程解的存在性和多重性.pdf

1、跳躍非線性問題源于物理學中光波和電磁波的研究,反映了振蕩和共振現(xiàn)象,在物理學和經(jīng)濟學等領域都有廣泛應用.正因如此,使之成為研究者廣泛關注和重視的課題之一.目前,對于此類問題的研究已有大量結果,然而,大部分跳躍非線性問題局限于研究非線性項漸近極限與特征值之間的關系,與更廣義的譜-Fucík譜曲線的關系更能說明實際現(xiàn)象.所以,考慮非線性項的漸近極限落在Fucík譜區(qū)域中的問題可以有助于人們更深入理解實際現(xiàn)象,具有極為重要的實際意義.

2、　　在本文中,主要以Fucík譜理論為背景,基于非線性泛函分析的基本理論,利用非線性項漸近極限與Fucík譜曲線的相交關系,綜合運用上下解方法、臨界點理論、拓撲度理論、序區(qū)間上的山路定理,研究了以下四類跳躍非線性問題的解:
　　1.對一類具有跳躍非線性項和Neumann邊值條件的Laplace方程解的研究.考慮非線性項的漸近極限落在由Laplace算子Fucík譜曲線所構成的Il(l>2)型和IIl(l≥1)型區(qū)域中的情況.首先,

3、選取由兩對嚴格常數(shù)上下解構成的序區(qū)間,利用截斷函數(shù)技巧,序區(qū)間上的山路定理,得到至少一個山路型臨界點的存在性.注意此時無法確定山路解是否是常數(shù)解,利用Fucík譜集中臨界群計算結果克服了這個困難,證明了山路解的非常數(shù)性.然后,通過計算Morse指數(shù)并結合拓撲度理論,在選取的序區(qū)間上得到至少兩個非常數(shù)解的存在性.最后,通過拓撲度理論和上下解迭代方法,得到了變號解的多重性;利用山路定理得到了一列能量值趨于負無窮的臨界點.
　　2.對一

4、類具有跳躍非線性項和Robin邊值條件的Laplace方程解的研究.首先,基于方程存在一個正上解和一個負下解的條件,通過序區(qū)間上的山路定理和臨界點理論,得到一個非平凡臨界點,并結合拓撲度理論,得到了至少四個非平凡解的存在性.由于邊值條件是Robin邊值,無法構造多個不連續(xù)序區(qū)間,為了克服這個局限性,最后,通過半序區(qū)間上的山路定理(上解情況),得到了相應振蕩方程非平凡解的多重性.
　　3.對一類具有跳躍非線性項和Dirichlet邊

5、值條件的擬線性問題解的研究.由于p-Laplace算子較之Laplace算子具有更復雜的非線性性質. p-Laplace算子于空間W1,p0(Ω)中的譜及其性質,目前人們了解的還不太多.為了克服算子譜的局限性,利用Z2-上同調指數(shù)所構造的譜序列{λk}k≥1,考慮其系數(shù)λk