光學(xué)變換：從量子到經(jīng)典——Dirac符號(hào)法的發(fā)展和應(yīng)用.pdf

1、本文以有序算符內(nèi)的積分(IWOP)技術(shù)為橋梁,通過(guò)發(fā)展新的量子力學(xué)表象和幺正算符,將量子光學(xué)中描述光量子態(tài)變化的幺正算符同經(jīng)典光學(xué)中表示光場(chǎng)在各種傳播情況下的衍射積分變換一一對(duì)應(yīng)起來(lái),不但有效地發(fā)展了經(jīng)典光學(xué)的變換理論,而且將經(jīng)典光學(xué)中的若干傳播定理推廣到量子光學(xué).本文主要內(nèi)容包括: IWOP技術(shù)有效地將牛頓一一萊布尼茲積分公式從可對(duì)易函數(shù)推廣到由Dirac符號(hào)組成的非對(duì)易量子算符,從而大大簡(jiǎn)化了算符的運(yùn)算.利用IWOP技術(shù)我們

2、建立了若干新的量子力學(xué)表象,包括:誘導(dǎo)糾纏態(tài)表象,坐標(biāo)一動(dòng)量中介表象,糾纏態(tài)的中介表象和相干一糾纏態(tài)表象等.我們證明了兩個(gè)共軛的誘導(dǎo)糾纏態(tài)表象之間的變換關(guān)系恰好對(duì)應(yīng)于經(jīng)典光學(xué)中著名的Hankel變換.Hankel變換是和傅利葉變換一樣重要的基本光學(xué)變換,而此前人們只知道量子坐標(biāo)本征態(tài)和動(dòng)量本征態(tài)之問(wèn)互為傅利葉變換,上述對(duì)應(yīng)關(guān)系的發(fā)現(xiàn)揭示了這兩個(gè)領(lǐng)域問(wèn)更廣泛的聯(lián)系,這樣經(jīng)典光學(xué)中具有柱對(duì)稱的光學(xué)變換(包括Hankel變換)也可以借助誘導(dǎo)糾

3、纏態(tài)表象來(lái)研究.此外,我們發(fā)現(xiàn)量子態(tài)在兩種中介表象中的測(cè)量結(jié)果分別對(duì)應(yīng)于單模和雙模情況下相應(yīng)的經(jīng)典光場(chǎng)Wigner分布函數(shù)的Radon變換,這表明經(jīng)典光學(xué)中的Tomography技術(shù)在量子力學(xué)表象理論中也有其對(duì)應(yīng),并且可以利用量子力學(xué)表象進(jìn)行研究.相干一糾纏態(tài)表象不僅是一類可實(shí)現(xiàn)的有用的糾纏態(tài)表象,而且可以用于對(duì)混合透鏡一菲涅爾變換的研究. 利用IWOP技術(shù)和相干態(tài)表象,通過(guò)將經(jīng)典的辛變換投影到量子相空問(wèn),我們構(gòu)造了單模和雙模情

4、況下的廣義菲涅爾算符,并證明它們?cè)谧鴺?biāo)、動(dòng)量表象和糾纏態(tài)表象下的矩陣元分別對(duì)應(yīng)于經(jīng)典光學(xué)中一維和二維情況下的廣義菲涅爾變換的核.廣義菲涅爾變換是描述光學(xué)衍射現(xiàn)象的一般的積分變換公式,因此,我們找到了經(jīng)典光學(xué)變換和量子光學(xué)幺正算符問(wèn)普遍的對(duì)應(yīng)關(guān)系.利用廣義菲涅爾算符,我們將激光理論中著名的高斯光束傳播的ABCD定理引入到量子光學(xué)中,證明了單模和雙模的壓縮光的傳播也存在著類似的ABCD定理.這一結(jié)論對(duì)人們制備和操作量子光學(xué)中的非經(jīng)典態(tài)有著一

5、定的實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)意義.將廣義菲涅爾算符和誘導(dǎo)糾纏態(tài)表象結(jié)合起來(lái),我們還可以方便地推導(dǎo)柱坐標(biāo)下的Collins公式的乘法公式. 利用這種經(jīng)典光學(xué)變換和量子光學(xué)幺正算符之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系以及量子力學(xué)糾纏態(tài)表象,我們找到分?jǐn)?shù)Hankel變換的本征模式.光學(xué)變換的本征模式在光學(xué)自相似、腔場(chǎng)設(shè)計(jì)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用.利用糾纏態(tài)表象,我們進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)該模式可以由經(jīng)典的高斯一厄米模通過(guò)窗口傅立葉變換產(chǎn)生.通過(guò)量子力學(xué)表象理論我們還找到了尋找小波變換中