一些非局部邊值問題和泛函微分方程的求解方法.pdf

1、非局部邊值問題是微分方程研究領域的一個重要分支,其主要來源于熱傳導、化學工程、熱彈性力學和等離子物理。泛函微分方程能有效模擬這樣一些復雜現(xiàn)象,系統(tǒng)中的一些量依賴于該量受之前已知量影響的情況。經(jīng)常用來模擬的系統(tǒng)有經(jīng)濟系統(tǒng)、生理學系統(tǒng)、生理化學系統(tǒng)和生物系統(tǒng),這些系統(tǒng)的變化率都依賴于過去的歷史。因此,非局部邊值問題和泛函微分方程這兩類問題引起了各國學者的關注。然而,它們中的絕大部分都難以求得精確解,從而尋求求解它們的有效數(shù)值方法就引起了大量

2、研究人員的興趣。
　　再生核理論不僅在隨機過程、線性方程組理論、算子理論、解析函數(shù)理論等數(shù)學領域具有重要的作用,而且在量子力學、信號分析、統(tǒng)計學習理論和圖形恢復等應用領域同樣重要。本論文主要討論再生核理論的應用,特別關注在非局部邊值問題和泛函微分方程這兩類問題數(shù)值求解方法方面的應用。首先建立再生核空間的基本概念和理論,然后應用再生核空間理論的良好性質(zhì),提出求解非局部邊值問題和泛函微分方程這兩類問題的數(shù)值方法。本論文的主要研究內(nèi)容概

3、括如下:
　　分別給出構(gòu)造滿足三點邊界條件和四點邊界條件的再生核的方法,在此基礎上,提出滿足一般的線性非局部邊界條件的再生核的構(gòu)造方法。這一工作豐富和發(fā)展了再生核理論,并使得再生核理論在非局部邊值問題上的應用成為可能。
　　基于再生核理論,討論常微分方程非局部邊值問題的求解方法。首先,提出求解線性三階三點邊值問題的三種方法:基于正交化的再生核方法、再生核配置法和輔助兩點邊界條件方法,介紹它們的優(yōu)缺點,而且,這三種方法可以推廣

4、到更一般的線性非局部邊值問題的求解。其次,提出求解非線性四階四點邊值問題的三種方法:逐次逼近法、AD-RK方法和迭代輔助兩點邊界條件方法,同樣,這三種方法也可推廣到更一般的非線性非局部邊值問題的求解。對提出的每一種方法都提供了數(shù)值算例,以驗證它的精度和有效性。
　　借助再生核理論,討論求解分數(shù)階非局部邊值問題的數(shù)值方法。首先,結(jié)合基于正交化的再生核方法和高斯積分公式,提出一種求解兩類分數(shù)階常微分方程多點邊值問題的新方法。其次,在分

5、數(shù)階常微分方程多點邊值問題求解方法的基礎上,提出一種求解空間分數(shù)階偏微分方程的半離散型方法。最后通過數(shù)值算例來驗證所提方法的精度和有效性。
　　據(jù)我們所知,已經(jīng)出現(xiàn)的求解泛函微分方程的數(shù)值方法中,絕大部分都是離散型方法。我們將借助再生核理論的良好性質(zhì),討論三類泛函微分方程的連續(xù)型求解方法。首先,借助同倫的思想和基于正交化的再生核方法,提出求解非線性中立型多比例延遲微分方程周期邊值問題的新方法。同倫的思想用來處理非線性項,并把原非線

6、性問題轉(zhuǎn)化為一組線性中立型多比例延遲微分方程周期邊值問題;然后用基于正交化的再生核方法來求解轉(zhuǎn)化后的線性中立型多比例延遲微分方程周期邊值問題。另外,該方法還引入一個參數(shù)來調(diào)節(jié)收斂區(qū)間。其次,提出求解具有分段連續(xù)項的延遲微分方程的分段再生核方法,通過該方法得到的解在整個求解區(qū)間上連續(xù),這也是與現(xiàn)存的離散型方法不同的地方。最后,給出了求解奇異攝動多比例延遲微分方程邊值問題的數(shù)值方法,將原問題轉(zhuǎn)化成邊界層問題和正則區(qū)間問題,結(jié)合漸近展開技術和