幾類非線性問題的多重網格解法.pdf

1、非線性問題來源非常廣泛,在工程、機械、物理、最優(yōu)控制等領域都有應用.在現(xiàn)代科學技術中非線性問題變得越來越重要了,它的數值解法特別是大規(guī)模問題的數值解法的研究已成為工程界和計算數學界一個非常熱門的課題.人們希望對離散后的n維方程組用(O)(n)次乘除運算就能得到所需精度的解.而多重網格法首次實現(xiàn)了這個目標,成為求解大規(guī)模問題最有效的方法.近幾十年來,經典的多重網格法已經比較成熟,在求解非線性問題上取得很多重要成果.本文將研究半線性橢圓問題

2、和非光滑橢圓問題的多重網格解法.
　　 對于一般的半線性橢圓問題,通常要求其半線性項必須足夠光滑或為C2連續(xù),因此,降低半線性項的光滑性十分重要.在第2章,我們考慮了半線性項導數局部H(o)lder連續(xù)時的半線性橢圓問題的數值求解.我們首先對這類問題進行有限元離散,得到其標準有限元誤差估計.我們然后用瀑布型多重網格法求解相應的離散問題,證明了算法具有能量范數意義下的最優(yōu)收斂階和擬最優(yōu)計算復雜度.數值實驗表明了算法是非常有效的.<

3、br>　　 在第3章,我們提出了求解半線性橢圓問題的集中質量瀑布型多重網格算法.首先用集中質量方法對半線性橢圓問題進行離散,得到了集中質量有限元逼近形式的L2誤差估計.用集中質量方法離散半線性橢圓問題具有兩大優(yōu)點:一方面.集中質量方法離散所得的離散方程組的非線性函數的Jacobi矩陣很好計算,因為離散所得的方程是一個線性函數和一個對角非線性函數的和；另一方面,我們能構造一些具有單調收斂性的迭代形式來求解相應的離散方程組.基于之前的集中

4、質量有限元誤差估計,我們證明了集中質量瀑布型多重網格算法的最優(yōu)性.我們也用數值實驗表明了這一點.
　　 在第4章,我們研究了非光滑橢圓方程的非光滑牛頓多重網格算法.我們首先考慮此類問題的有限元方法,給出其有限元逼近格式的誤差估計.一般情況下,非光滑牛頓型方法被用于求解相應的離散問題.而當網格加密時,相應的牛頓子方程的系數矩陣條件數就會變壞,數值上不易于求解.而且,當離散問題的規(guī)模很大時,精確求解子問題需要很大的計算工作量.因此,

5、本章中,我們將在每個牛頓步采用多重網格技巧來求解相應的牛頓方程.在適當的條件下,我們證明了算法的網格無關收斂性及最優(yōu)性.大量的數值實驗驗證了我們所得到的有限元誤差估計結果,并且也充分說明了算法的有效性.數值結果表明,當網格步長h越來越小的時候,和經典的非光滑牛頓法或是有效集方法相比較,非光滑牛頓多重網格算法所消耗的CPU時間大大減少,從而節(jié)約了計算工作量.
　　 在第5章,我們提出了光滑化牛頓多重網格算法用于求解非光滑橢圓方程.