數(shù)值積分對無網(wǎng)格方法的影響.pdf

1、本文主要是為Galerkin的無網(wǎng)格方法設(shè)計高效的數(shù)值積分策略。我們考慮了三類二階線性橢圓偏微分方程模型：pure Neumann邊值問題、本質(zhì)邊界條件的問題、一般的非常系數(shù)的橢圓方程。我們分別為每一個模型發(fā)展無網(wǎng)格方法、設(shè)計適當?shù)臄?shù)值積分公式，并分析了由數(shù)值積分格式獲得的近似解對真解的逼近誤差。 無網(wǎng)格方法起源于上個世紀七十年代，從九十年代初期開始了大量的研究。該方法的動機是為了舒緩?fù)ǔ５木W(wǎng)格方法(例如有限元)用于求解一些復(fù)雜

2、的工程問題(如裂紋傳播問題、大變形問題等)時劃分空間網(wǎng)格的沉重負擔。從這類方法誕生的初期，人們便意識到了(剛性矩陣、質(zhì)量矩陣、承載向量的元素的)數(shù)值積分嚴重地阻礙Galerkin無網(wǎng)格方法的有效運用。不充分的數(shù)值積分甚至可以導(dǎo)致方法的失敗。盡管工程界進行了很多的努力來處理這個問題，然而對于它的精確的理解仍然是很缺乏的，工程師們經(jīng)常用“過度的積分”，計算代價相當昂貴。同時，鮮有系統(tǒng)的理論(數(shù)學)分析來研究這個問題。因此，數(shù)學上考察數(shù)值積分

3、對無網(wǎng)格方法的影響并在此基礎(chǔ)上設(shè)計可靠的積分公式是這類方法成功的關(guān)鍵。 在這篇論文中，我們提出了無網(wǎng)格方法中的數(shù)值積分需要滿足的三個條件，其中之一是由Green公式得到的啟示，它將在本文的所有分析中發(fā)揮中心的作用。這個條件指出，當Green公式的兩端的積分項被數(shù)值地計算時，等式依然可以對一些特定的光滑函數(shù)類成立。我們同樣給出了滿足這個條件的算法，我們稱之為積分校正原則。我們提及一些標準的積分公式并不滿足這個條件，例如高斯積分。

4、 對于文中考慮的每個模型問題，我們都從數(shù)學上分析了帶有數(shù)值積分格式的無網(wǎng)格方法的逼近性。這些分析是建立在所謂的Strang引理的基礎(chǔ)上的，該引理允許我們將誤差劃分為兩部分——逼近誤差和數(shù)值積分導(dǎo)致的“擾動”誤差，其中擾動誤差可以被文中的積分算法控制，即誤差不會放大。而且依據(jù)離散化參數(shù)h適當?shù)剡x擇數(shù)值積分公式，我們可以獲得計算的近似解的最佳逼近階。這個現(xiàn)象是完全不同于標準的有限元方法的。在有限元方法中，為了得到最佳的逼近階，數(shù)值積分

5、公式不必依賴于h。這是消除網(wǎng)格所付出的代價。 需要強調(diào)的是，對于上面提到每種模型問題我們都需要為其考慮適當?shù)淖兎中问剑瑥亩鴮?yīng)了不同的Galerkin無網(wǎng)格方法。例如，(a)在pure Neumann的情形，我們用基于Lagrange乘子的變分公式；(b)對于帶有本質(zhì)邊界條件的問題，我們用一個擾動的變分問題，即所謂的非對稱的Nitsche's方法；(c)通常的變分公式被用于一般的、帶有非常系數(shù)的橢圓方程。結(jié)果的每種無網(wǎng)格方法在精