基于邊界積分方程的Galerkin無(wú)網(wǎng)格方法.pdf

1、無(wú)網(wǎng)格方法在近年來(lái)得到廣泛關(guān)注，其基本特點(diǎn)是場(chǎng)函數(shù)建立在獨(dú)立的節(jié)點(diǎn)上，節(jié)點(diǎn)之間無(wú)需網(wǎng)格聯(lián)接。邊界積分方程能使所考慮問(wèn)題的維數(shù)降低一維，是求解線性問(wèn)題和外部問(wèn)題的一種有效工具?；谶吔绶e分方程的無(wú)網(wǎng)格方法是無(wú)網(wǎng)格方法的一個(gè)重要分支。
　　 本文首先回顧了無(wú)網(wǎng)格方法的發(fā)展歷史和研究現(xiàn)狀，綜述了無(wú)網(wǎng)格方法數(shù)學(xué)理論的研究進(jìn)展，介紹了無(wú)網(wǎng)格方法的基本原理，總結(jié)了無(wú)網(wǎng)格方法的特點(diǎn)、優(yōu)越性以及目前無(wú)網(wǎng)格方法的難點(diǎn)和存在的問(wèn)題。然后在大量前人工

2、作的基礎(chǔ)上，提出了一種新的基于邊界積分方程的Galerkin無(wú)網(wǎng)格方法——Galerkin邊界點(diǎn)法，并成功地將其應(yīng)用于位勢(shì)問(wèn)題、彈性力學(xué)問(wèn)題和流體力學(xué)問(wèn)題的求解。
　　 在Galerkin邊界點(diǎn)法中，首先將邊值問(wèn)題歸結(jié)為邊界積分方程的弱形式或變分公式，然后利用移動(dòng)最小二乘近似構(gòu)造變分公式中的試探函數(shù)和檢驗(yàn)函數(shù)，進(jìn)而得到近似的有限維逼近空間。Galerkin邊界點(diǎn)法利用了移動(dòng)最小二乘近似的無(wú)網(wǎng)格思想和邊界積分方程的降維特性，因此它

3、的輸入數(shù)據(jù)只是求解域邊界上的離散分布的點(diǎn)。由于引入了變分公式，Galerkin邊界點(diǎn)法能保持變分問(wèn)題的對(duì)稱性和正定性，該性質(zhì)使得Galerkin邊界點(diǎn)法是耦合有限元方法或者其它已經(jīng)建立的區(qū)域型無(wú)網(wǎng)格方法(如無(wú)單元Galerkin法)的理想方法，這種耦合技術(shù)非常適合求解無(wú)限域問(wèn)題。另外，雖然用移動(dòng)最小二乘近似構(gòu)造的形函數(shù)不具有插值特性，但是通過(guò)把邊界函數(shù)與檢驗(yàn)函數(shù)相乘并在邊界上積分，Galerkin邊界點(diǎn)法中的邊界條件仍能容易地精確滿足。

4、
　　 本論文針對(duì)Galerkin邊界點(diǎn)法進(jìn)行了理論分析和數(shù)值應(yīng)用，具體研究工作如下：
　　 首先研究了任意邊界上的移動(dòng)最小二乘近似，給出了移動(dòng)最小二乘近似的性質(zhì)。當(dāng)節(jié)點(diǎn)和權(quán)函數(shù)滿足一定條件時(shí)，證明了移動(dòng)最小二乘近似的近似函數(shù)在Sobolev空間中的最優(yōu)誤差估計(jì)。誤差結(jié)果表明，移動(dòng)最小二乘近似的逼近誤差與節(jié)點(diǎn)間距密切相關(guān)。
　　 其次給出了Galerkin邊界點(diǎn)法求解作為擬微分算子方程的邊界積分方程的算法。邊界積

5、分方程首先被轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的變分形式，然后用移動(dòng)最小二乘近似的形函數(shù)構(gòu)造解空間。為了計(jì)算積分，我們?cè)谶吔缟蠘?gòu)造了背景網(wǎng)格?；谝苿?dòng)最小二乘近似的誤差公式和擬微分算子理論，推導(dǎo)了用Galerkin邊界點(diǎn)法求解邊界積分方程的解的誤差公式。從誤差分析的過(guò)程中可以看出，Galerkin邊界點(diǎn)法的誤差主要來(lái)自兩個(gè)方面：一是用背景網(wǎng)格上的積分去近似邊界積分；二是用移動(dòng)最小二乘近似去逼近邊界變量。我們還考慮了邊界積分方程的未知量需要滿足一定約束條件的情形

6、，此時(shí)我們采用Lagrange乘子放松這個(gè)約束，并給出了相應(yīng)的數(shù)值實(shí)施過(guò)程和誤差估計(jì)。
　　 第三，用Galerkin邊界點(diǎn)法求解了Laplace問(wèn)題、雙調(diào)和問(wèn)題、線彈性問(wèn)題和Stokes問(wèn)題。把邊值問(wèn)題歸化為等價(jià)的第一類邊界積分方程，再用Galerkin邊界點(diǎn)法進(jìn)行求解。我們給出了數(shù)值求解過(guò)程，并就一般情形詳細(xì)地進(jìn)行了誤差分析，得到了最佳漸進(jìn)誤差估計(jì)。當(dāng)積分用的背景網(wǎng)格和邊界重合時(shí)，我們進(jìn)一步得到了近似解的能量模估計(jì)。數(shù)值算例