低余維完備實(shí)凱勒子流形的幾何問題.pdf

1、本文著重研究子流形幾何中的一個(gè)特別領(lǐng)域——實(shí)凱勒子流形的若干問題。作者主要的工作是在導(dǎo)師的指導(dǎo)下研究余四維情形下實(shí)凱勒子流形的凱勒延展和相關(guān)的柱面定理。推廣了之前關(guān)于余三維的相關(guān)工作。主要的結(jié)果將置于第四章。本文將以如下的綱要展開論述。
　　在第一章里，我們將對(duì)全文有個(gè)簡約的介紹，并把章節(jié)中較重要的結(jié)果羅列出來，希望通過這樣使讀者對(duì)本文的內(nèi)容有大致的認(rèn)識(shí)。
　　第二章開始我們正式進(jìn)入討論。首先是余一維（超曲面）的完備實(shí)凱勒子

2、流形的情形的討論。由于子流形M上具有復(fù)結(jié)構(gòu)，這是一個(gè)非常強(qiáng)限制的條件，故此我們有一個(gè)非常簡潔和漂亮的結(jié)果，也即，所有的這些實(shí)凱勒超曲面應(yīng)該是某個(gè)R3中曲面上的柱面。上述的工作主要是文章[25]的內(nèi)容。
　　第三章我們陳述一些余二維完備實(shí)凱勒子流形的結(jié)果。在第一節(jié)中介紹了Dajczer和Gromoll的工作。他們證明了所有余二維極小實(shí)凱勒子流形都必須有一個(gè)Weierstrass-型表示，同時(shí)他們還證明了這個(gè)其實(shí)也是一個(gè)充分條件，即他

3、們找到了一個(gè)等價(jià)地具體刻畫。除了該定理我們此處還引述了一個(gè)根據(jù)上述定理發(fā)展的“算法”，籍此我們能構(gòu)造非常豐富的例子。在第二節(jié)中，我們介紹非極小的情形。對(duì)于M2n，n≥3的情況，我們有另一個(gè)柱面定理。對(duì)于n=2的情況，證明f會(huì)是兩個(gè)等距浸入的復(fù)合。
　　第四章主要是本人與老師的工作，是對(duì)余四維的實(shí)凱勒子流形的研究。里面的方法和結(jié)論可以被移植到余三維的情形（討論上可被適當(dāng)簡化）。我們?cè)诘谝还?jié)首先研究一個(gè)被稱為凱勒擴(kuò)展的現(xiàn)象。該現(xiàn)象首先