倒向隨機(jī)微分方程的生成元g與g-期望的相關(guān)性質(zhì).pdf

1、在1990年，Pardoux和彭實(shí)戈教授提出了一類形如：現(xiàn)在，BSDE已經(jīng)被公認(rèn)為是研究金融數(shù)學(xué)的一個(gè)很有用的工具。它同時(shí)也廣泛應(yīng)用在解決隨機(jī)控制、隨機(jī)微分對(duì)策和擬線性偏微分方程解的概率公式表示等問題上。并由此創(chuàng)造性地提出了一類可以定義條件期望的非線性數(shù)學(xué)期望--g-期望后來(lái)這一成果引起廣大學(xué)者的重視，并被應(yīng)用于金融、經(jīng)濟(jì)和數(shù)學(xué)其他分支。 作為一種非線性數(shù)學(xué)期望，g-期望具有很多不同于經(jīng)典數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)。我們?cè)诘谝徽虏患幼C明地列

2、出它們，包括：保常性、單調(diào)性等等。第一章除了介紹倒向隨機(jī)微分方程以及比較定理等結(jié)論之外，還介紹了風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度的簡(jiǎn)單性質(zhì)。 第二章主要的結(jié)果之一--g-期望保常性的充要條件。我們知道結(jié)果很自然地我們想探究，是否由εO，T［α］=α均可以得到g(y，0，t)=O呢?答案是否定的，例題2.4以及定理2.5就得出了相應(yīng)的結(jié)論。定理2.5我們還給出了基于數(shù)分知識(shí)和基于倒向隨機(jī)微分方程比較定理的兩種證明方法。這樣我們就得到了g-期望與條件g-期

3、望保常性的關(guān)系，進(jìn)一步得到風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度與條件風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度保常性之間的關(guān)系。 (上述結(jié)果已于2008年2月被《山東大學(xué)學(xué)報(bào)》(理學(xué)版)發(fā)表。)最后，還通過定理證明了g-期望作為一個(gè)非線性算子，不僅僅依賴于g，還依賴于T。 第三章考查的是倒向隨機(jī)微分方程的g與價(jià)值過程。首先以一個(gè)簡(jiǎn)單例子的形式給出倒向隨機(jī)微分方程為模型的投資策略過程。然后分別給出兩種情況BSDE特例的解法：第一種為g=-[atyt+btzt]線性時(shí)，第二種為g(yt,zt,

4、t)=at|zt|簡(jiǎn)單非線性的情況.其中第一個(gè)例子，還用到Girsanov，變換和對(duì)偶方程的兩種方法，但結(jié)果是相同的。 作為結(jié)尾的第四章對(duì)前人的工作做了一個(gè)總結(jié)，列出了g、g-期望及風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度等之間的關(guān)系。并且對(duì)g-期望的逆比較定理做了推廣，將兩項(xiàng)的結(jié)論推廣到有限項(xiàng)，利用停時(shí)進(jìn)行了證明。通過一個(gè)經(jīng)典的動(dòng)態(tài)凸風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度的例子，以及風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度的概率表示定理，具體地闡述了g-期望與風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度的關(guān)系，從而進(jìn)一步強(qiáng)化了g所在的函數(shù)空間與非線性數(shù)學(xué)