Circle Packing與擬共形分析.pdf

1、Circle Pacing是指在給定的幾何(復平面C、雙曲圓盤D、Riemann球面p)中，一組滿足指定相切模式并且沒有公共內部的圓盤，由W．Thurston在其三維流形的著名工作中首次引入。自從1985年他提出使用Circle Pacing方法逼近Riemann映射的猜測以來，Circle Pacing理論已經(jīng)成為復分析和離散幾何交叉學科的一個快速發(fā)展的研究領域。目前，Circle Pacing理論的某些方面，比如，使用Circle

2、Pacing來逼近共形映射以及單葉packing的存在性和唯一性等問題，已經(jīng)研究得比較透徹了，在應用領域也已經(jīng)出現(xiàn)了使用Circle Pacing展平大腦皮質層的研究并取得了良好的進展。而在其它方面，則還有待于進一步的研究。 在本文中，我們對Circle Pacing與解析函數(shù)、擬共形映射和擬正則映射之間的關系進行研究，取得了一些結果。首先討論了使用有界度拋物復形構造離散多項式的問題，證明了當該復形滿足可一致收縮條件時，離散多項

3、式收斂于其所對應的傳統(tǒng)多項式。在此基礎上，利用有限復形packing映射的比例函數(shù)滿足極值原理的事實，使用分析方法討論了離散多項式的剛性問題，并且證明了離散多項式的比例函數(shù)在某一分枝點處取得最小值。 其次，給定復平面C上有界單連通Jordan區(qū)域Ω以及定義在其邊界δΩ上的正值連續(xù)函數(shù)p，設Br是Ω×N的一個有限子集，則存在一個由Ω，p和Br所決定的解析函數(shù)。我們使用有界度Circle Packing構造了這個解析函數(shù)的逼近序列并

4、證明了其收斂性。這是Circle Packing理論在解析函數(shù)邊值問題上的一個應用，可以看成．Carter，B．Rodin關于Circle Packing逆問題的研究[22]以及T．Dubejko的工作[30]的進一步推廣。再次，我們使用Circle Packing方法考察了Beltrami方程。我們以有界度Circle Packing為基礎構造了擬共形映射的近似同胚解，這是Z.-X．He和G．B．William研究的推廣。進一步，我們