簡(jiǎn)介:1,數(shù)學(xué)史從象牙塔到小學(xué)課堂,江蘇啟東市教育局教研室蔡宏圣博客CAIHONGSHENGBLOGNTJYNET,2,話題的背景,在很多小學(xué)老師的視界中,數(shù)學(xué)教育缺失了一只眼睛。例數(shù)學(xué)史的運(yùn)用在當(dāng)下的課堂是種時(shí)尚。時(shí)尚中的缺憾愛(ài)國(guó)主義標(biāo)簽學(xué)生感受例,3,“三角形的認(rèn)識(shí)”中的教學(xué)意外,,4,,,5,思辨,數(shù)學(xué)史的運(yùn)用是為了數(shù)學(xué)史的教學(xué)還是為了數(shù)學(xué)的教學(xué)數(shù)學(xué)史的運(yùn)用是外在于課堂教學(xué)要素還是內(nèi)化于課堂教學(xué)要素,6,數(shù)學(xué)史內(nèi)化于課堂要素,教師、學(xué)生、教學(xué)內(nèi)容是不可缺失的課堂教學(xué)三個(gè)基本要素。之于教師,數(shù)學(xué)史是調(diào)適數(shù)學(xué)觀念的重要基礎(chǔ)之于學(xué)生,數(shù)學(xué)史是把握思維歷程的獨(dú)特視角之于教學(xué)內(nèi)容,數(shù)學(xué)史是厘清數(shù)學(xué)本質(zhì)的厚實(shí)背景,7,對(duì)數(shù)學(xué)的理解不同教學(xué)方式也不同,,8,,,9,數(shù)學(xué)本質(zhì)對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)的影響,英國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家斯根普說(shuō),“我先前總認(rèn)為數(shù)學(xué)教師都是在教同樣的學(xué)科,只是一些人比另一些人教得好而已。但我現(xiàn)在認(rèn)為在‘?dāng)?shù)學(xué)’這同一個(gè)名詞下所教的事實(shí)上是兩個(gè)不同的學(xué)科。”,10,現(xiàn)場(chǎng)調(diào)查,說(shuō)起數(shù)學(xué),你腦海中浮現(xiàn)下面哪些詞抽象嚴(yán)謹(jǐn)生活常識(shí)直觀具體枯燥符號(hào)形式化邏輯證明計(jì)算有趣猜測(cè)錯(cuò)誤準(zhǔn)確,11,數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)觀,數(shù)學(xué)教師更傾向于把數(shù)學(xué)看成一個(gè)與邏輯有關(guān)的、有嚴(yán)謹(jǐn)體系的、關(guān)于圖形和數(shù)量的精確運(yùn)算的一門(mén)學(xué)科。(香港學(xué)者黃毅英)教師的數(shù)學(xué)觀源自自身的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)歷和教學(xué)經(jīng)驗(yàn)。,12,抽象和嚴(yán)謹(jǐn)是數(shù)學(xué)的本來(lái)面目嗎,十進(jìn)制與十指坐標(biāo)與蜘蛛克拉與種子正負(fù)數(shù)與顏色各種符號(hào)的意義(自然和方便為上)等號(hào)字母,,13,,等號(hào)的產(chǎn)生和方程有關(guān)。15世紀(jì)就有人用水平的破折號(hào)“”表示等號(hào)。公元1557年,英國(guó)御醫(yī)、牛津大學(xué)數(shù)學(xué)教授雷科德首先將一條破折號(hào)上平行地添加一條,放兩條平行線,同樣長(zhǎng)的一對(duì)雙生子“”表示相等,任何兩件東西,不可能比它們更相等了。,,14,,米METREM千米KILOMETREKM分米DECIMETREDM厘米CENTIMETRECM毫米MILLIMETREMM噸TONT克GRAMG千克KILOGRAMKG,,15,抽象和嚴(yán)謹(jǐn)是公理化的要求,數(shù)學(xué)的抽象、嚴(yán)謹(jǐn)只是一門(mén)數(shù)學(xué)分支成熟立說(shuō)時(shí)的“外衣”。數(shù)學(xué)在其誕生之初,充滿著濃郁的生活常識(shí)的痕跡,認(rèn)識(shí)過(guò)程充滿了曲折、猜測(cè)、直觀,乃至錯(cuò)誤和不可思議。一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)最原始的部分,既不神秘也不嚴(yán)謹(jǐn),沒(méi)有一點(diǎn)形式邏輯的印記,認(rèn)識(shí)的提升恰恰帶有濃重的按照生活事理邏輯自然衍生的痕跡。,16,數(shù)學(xué)兩重性對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示,數(shù)學(xué)內(nèi)容的形式性和數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的經(jīng)驗(yàn)性一個(gè)數(shù)學(xué)教師應(yīng)該在在數(shù)學(xué)的具體源頭和抽象形式之間來(lái)回穿行,關(guān)注兒童們生活經(jīng)驗(yàn)的現(xiàn)實(shí),尋找數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯源頭,領(lǐng)悟其間的數(shù)學(xué)過(guò)程和思想方法,由此,組織的數(shù)學(xué)教學(xué)可以順應(yīng)著生活事理的邏輯走向,孩子們的學(xué)習(xí)可以像呼吸一樣自然和樸素。,17,案例乘法的初步認(rèn)識(shí),18,總結(jié)一,一個(gè)認(rèn)真研讀數(shù)學(xué)史的教師,就可以自我調(diào)適建立在經(jīng)驗(yàn)層面上零散的、片面的數(shù)學(xué)觀念,雖然形成的先進(jìn)數(shù)學(xué)觀念也不系統(tǒng),但在某一方面能更切合數(shù)學(xué)發(fā)展的本來(lái)面目。數(shù)學(xué)史起碼提供了這樣的視角,讓我們看到了數(shù)學(xué)的深刻和抽象實(shí)際上孕育在具體和直觀中,也許在課堂中我們看不到顯性的、事實(shí)性的數(shù)學(xué)史實(shí),但卻能影響著一個(gè)教師的數(shù)學(xué)教育思想努力用淺顯的情境去凸顯數(shù)學(xué)思想的深刻內(nèi)涵,使得數(shù)學(xué)教育具體中見(jiàn)深邃,淺顯中見(jiàn)厚重,使得教學(xué)能煥發(fā)出思想的光芒、經(jīng)典的力量。,19,讀懂兒童是教育促進(jìn)發(fā)展的前提,就數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō),讀懂兒童不是泛化意義上追求對(duì)兒童的理解,而應(yīng)突出地表現(xiàn)為細(xì)膩地、科學(xué)地對(duì)兒童在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中思維活動(dòng)做深入的了解和分析,大致把握兒童在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中可能出現(xiàn)的困難。匈牙利著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家波利亞“只有理解人類(lèi)如何獲得某些事實(shí)或概念的知識(shí),我們才能對(duì)人類(lèi)的孩子應(yīng)該如何獲得這樣的知識(shí)作出更好的判斷。”,20,案例認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù),中國(guó)是最早認(rèn)識(shí)和使用負(fù)數(shù)的國(guó)家。據(jù)早在2000多年前的九章算術(shù)記載,那時(shí)的人就有了“糧食入倉(cāng)為正,出倉(cāng)為負(fù);收入的錢(qián)為正,付出的錢(qián)為負(fù)”的思想。1700多年前,我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽在注解九章算術(shù)時(shí),更明確地提出了正負(fù)數(shù)的概念,并用不同顏色的算籌來(lái)表示它們。這些認(rèn)識(shí)中國(guó)比印度要早600多年,比西方國(guó)家要提前1500多年。,21,基于數(shù)學(xué)史實(shí)的追問(wèn),現(xiàn)在看似理所當(dāng)然的事情,在最初認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)的時(shí)候,有哪些困難難,難在哪里使用負(fù)數(shù)到接納負(fù)數(shù),那是兩個(gè)不同的認(rèn)識(shí)階段。那接納負(fù)數(shù),意味著在理性認(rèn)識(shí)上要建構(gòu)起哪些認(rèn)識(shí)生活中相反意義的量,一個(gè)用正數(shù)表示,一個(gè)就用負(fù)數(shù)表示,怎樣讓孩子們認(rèn)識(shí)到0在其中的重要作用在歷史上,數(shù)學(xué)家們?cè)谡J(rèn)識(shí)的提升中遇到了什么困難他們的困難對(duì)于兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有無(wú)借鑒意義,22,“荒謬”的負(fù)數(shù),在數(shù)學(xué)史上,把負(fù)數(shù)稱(chēng)為“荒謬的數(shù)”、“虛假的數(shù)”的人不在少數(shù),其中不乏當(dāng)時(shí)的大數(shù)學(xué)家。(不能指物為數(shù))德國(guó)數(shù)學(xué)家斯蒂菲爾在整數(shù)算術(shù)中稱(chēng)從零中減去一個(gè)大于零的數(shù),得到的數(shù)“小于一無(wú)所有”,是“荒謬的數(shù)”。1表示一件物體,2表示兩件物體,0表示什么都沒(méi)有,“什么都沒(méi)有”就到了盡頭了,而負(fù)數(shù)比零還要小,比“什么都沒(méi)有”還要少,這怎么可能呢,23,“認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)”教學(xué)的重構(gòu),重構(gòu)“0”的意義,和已有認(rèn)識(shí)的實(shí)現(xiàn)融通,才賦予了負(fù)數(shù)的理性意義。,24,總結(jié)二,人類(lèi)完成了一次認(rèn)識(shí)的跨越之后,回顧頭來(lái)看往往認(rèn)為那是理所當(dāng)然的事情,因此,作為教師要準(zhǔn)確把握學(xué)生在初次學(xué)習(xí)中的學(xué)習(xí)障礙就有難度,而歷史上數(shù)學(xué)家們?cè)诋?dāng)初認(rèn)識(shí)提升的過(guò)程中,留下的困惑和挫折卻為我們了解此問(wèn)題提供了獨(dú)特的不可替代的視角。關(guān)注數(shù)學(xué)歷史中人類(lèi)認(rèn)識(shí)的挫折和失敗,據(jù)此琢磨人類(lèi)認(rèn)識(shí)提升所經(jīng)歷的階段,其中走過(guò)的彎路、碰到的認(rèn)知障礙等等,為準(zhǔn)確把握學(xué)生學(xué)習(xí)的思維歷程提供了一種可能。,25,數(shù)學(xué)本質(zhì)之于數(shù)學(xué)教學(xué)的意義,在哲學(xué)層面上,有這樣的數(shù)學(xué)教育規(guī)律問(wèn)題并不在于教學(xué)的最好方式是什么,而在于數(shù)學(xué)到底是什么。如果不正視數(shù)學(xué)的本質(zhì)問(wèn)題,便解決不了關(guān)于教學(xué)上的爭(zhēng)議。研究所教內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì),是數(shù)學(xué)教學(xué)的永恒話題。,26,數(shù)學(xué)史是厘清數(shù)學(xué)本質(zhì)的厚實(shí)背景,課堂中我們所接觸到的數(shù)學(xué)知識(shí)體系,是經(jīng)過(guò)精心組織的公理化的結(jié)果,已經(jīng)和其歷史過(guò)程割裂開(kāi)來(lái)。但一個(gè)數(shù)學(xué)概念,作為人類(lèi)千百年思維抽象的結(jié)晶,僅僅看它的最終形式化表述,普通人就很難深入把握其確切的本質(zhì)意義。英國(guó)數(shù)學(xué)家阿蒂亞爵士說(shuō),一個(gè)新思想最有意義的部分,常常不在那些最一般的深刻定理之中,而往往寓于最簡(jiǎn)單的例子、最原始的定義,以及最初的一些結(jié)果。最重要的信息卻常常包括在容易的部分,甚至在幾個(gè)簡(jiǎn)單且深刻的觀察之上,27,案例用字母表示數(shù),例如,“用字母表示數(shù)”在教材配套的教師用書(shū)中,對(duì)其重要作用表述為這是人類(lèi)認(rèn)識(shí)的一次飛躍,但教師實(shí)際上很難理解其真正的意義。反而有教師認(rèn)為,用字母表示數(shù)是因?yàn)椴恢肋@個(gè)數(shù)是多少。,28,讓歷史告訴我們(1),初等代數(shù)的中心內(nèi)容是解方程。最早的代數(shù)問(wèn)題已知“堆”(音何)與七分之一“堆”相加得19,求“堆”的值。人類(lèi)在解方程中的探索是按照兩條線索展開(kāi)的。,29,讓歷史告訴我們(2),阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家阿爾花拉子米和他的還原和對(duì)消的科學(xué)。把一個(gè)正方形面積加上其一邊長(zhǎng)度之十倍等于39時(shí),此正方形必是什么(用現(xiàn)代符號(hào)表示即為X2+10X39)花氏的解答為把所加邊長(zhǎng)的倍數(shù)除以2,得5。把該數(shù)自乘,得乘積25。把此數(shù)與39相加,得64。取此數(shù)的平方根得8,從該數(shù)中減去邊長(zhǎng)倍數(shù)之半,剩下3。此即所求正方形的邊長(zhǎng),因而所求正方形面積等于9。,30,讓歷史告訴我們(3),古埃及人用“堆”來(lái)表示特定的未知數(shù);古中國(guó),曾經(jīng)用天、地、人、物四個(gè)漢字來(lái)表示四個(gè)未知數(shù);花拉子米本人在用完整的文字來(lái)敘述方程解法的同時(shí),也沒(méi)有妨礙他把未知量稱(chēng)為“東西”或(植物的)“根”。古希臘丟蕃圖是最早使用簡(jiǎn)略記號(hào)的代數(shù)學(xué)家。在他的著作里,將未知數(shù)稱(chēng)為“題中的數(shù)”,并用希臘字“數(shù)”的第一個(gè)音節(jié)的縮寫(xiě)來(lái)表示。,31,讓歷史告訴我們(4),一個(gè)個(gè)音節(jié)的縮寫(xiě),使得每一個(gè)縮寫(xiě)其本身都具有先入為主的意義,因而就只能表示一個(gè)個(gè)特定的數(shù)量,只不過(guò)有所簡(jiǎn)略而已。因此,一個(gè)個(gè)方程都各具獨(dú)自的特點(diǎn),意大利數(shù)學(xué)家卡當(dāng)?shù)木拗蠓ㄖ杏涗浀姆匠谭N類(lèi)有66中之多。17世紀(jì),法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)尋找能求解各種方程的通用方法。,32,讓歷史告訴我們(5),韋達(dá)在分析方法引導(dǎo)的名著中這樣寫(xiě)道在這里,我們用一種技巧來(lái)幫助我們區(qū)別已給的量和所求的或未知的量,這就是用一種有永久性質(zhì)的、易于理解的符號(hào)體系例如,用A或其他母音字母表示未知量,用B、C、G或其他子音字母表示已知量。,33,讓歷史告訴我們(6),重要里程碑意義超越了各類(lèi)數(shù)量的具體特點(diǎn),從一般意義上用字母來(lái)表示它們,濾去了原先代數(shù)活動(dòng)中的具體意義,省略了數(shù)學(xué)關(guān)系的實(shí)際情境,去掉了實(shí)際語(yǔ)言帶來(lái)的差別。這樣,就把原先各具特點(diǎn)的方程歸結(jié)成了通用的形式,使得代數(shù)變得能適應(yīng)所有場(chǎng)合的普遍情況,極大地?cái)U(kuò)展了代數(shù)的應(yīng)用范圍。,34,讀史明智,用字母表示數(shù)意味著縮寫(xiě)→符號(hào)未知量→已知量特定→變化人類(lèi)認(rèn)識(shí)提升的三個(gè)階段文辭代數(shù)→縮寫(xiě)代數(shù)→符號(hào)代數(shù)。,35,總結(jié)三,抽象的數(shù)學(xué)概念只有放在歷史背景中,和抽象活動(dòng)的歷史過(guò)程結(jié)合起來(lái),才能變簡(jiǎn)練為豐富、變艱澀為生動(dòng),才能較完整地呈現(xiàn)出其經(jīng)驗(yàn)性和演繹性二重統(tǒng)一的本質(zhì),進(jìn)而才能更容易被后來(lái)的學(xué)習(xí)者調(diào)動(dòng)起全部的經(jīng)驗(yàn)積累來(lái)支撐其建構(gòu)概念的全部含義。我們要在數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)校形態(tài)、科學(xué)形態(tài)和原始形態(tài)之間來(lái)回穿梭,從更寬廣的視野研讀教材,思索領(lǐng)悟知識(shí)的數(shù)學(xué)本質(zhì)、思想內(nèi)核,把握人類(lèi)認(rèn)識(shí)提升的大致過(guò)程。只有這樣,才能為學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)獲得更好的理解提供生長(zhǎng)點(diǎn)。,36,從數(shù)學(xué)史到數(shù)學(xué)教育,小學(xué)數(shù)學(xué)中引入數(shù)學(xué)史不是為了數(shù)學(xué)史的教學(xué),而是為了數(shù)學(xué)的教學(xué)。從這個(gè)意義上說(shuō),數(shù)學(xué)史對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)來(lái)說(shuō),還只是重新應(yīng)用和思維加工的材料。一個(gè)教師知道了一段數(shù)學(xué)史實(shí),他設(shè)計(jì)的教學(xué)能有多大的創(chuàng)新性和發(fā)展性,取決于他在研讀數(shù)學(xué)史中的再創(chuàng)造程度。,37,策略一(1),基于數(shù)學(xué)教學(xué),即數(shù)學(xué)史的研讀要確立為了數(shù)學(xué)教學(xué)的價(jià)值取向。為了教學(xué)的數(shù)學(xué)史研讀,是為了站在歷史的高度,厘清知識(shí)的來(lái)龍去脈、數(shù)學(xué)思想的演進(jìn)走向,更好地把握住所教數(shù)學(xué)知識(shí)的知性本質(zhì),以求得我們的數(shù)學(xué)教育能注入深刻和厚重。所以,為了教學(xué)的數(shù)學(xué)史研讀,是立足于現(xiàn)實(shí)中的“人”而去關(guān)注歷史中的“人”和“事”。,38,策略一(2),不能只關(guān)注史實(shí),而要通過(guò)歷史上不同數(shù)學(xué)事件的比較,提煉數(shù)學(xué)思想發(fā)展的規(guī)律,不斷優(yōu)化自己的數(shù)學(xué)觀念;要透過(guò)某知識(shí)歷史演進(jìn)的脈絡(luò),提煉出人類(lèi)認(rèn)識(shí)逐步提升的順序;要善于抓住歷史的表象,立足于認(rèn)識(shí)論的角度多些追問(wèn);透過(guò)歷史上人類(lèi)認(rèn)識(shí)曾經(jīng)走過(guò)的彎路、數(shù)學(xué)家們的挫折和困惑,提煉出人類(lèi)認(rèn)識(shí)某知識(shí)的障礙;要立足于“給孩子們正確的數(shù)學(xué)觀念和良好的學(xué)習(xí)情感”的視角,捕捉有教育意義的歷史故事和歷史事件。,39,策略一(3),研讀所依據(jù)的材料不是原始的數(shù)學(xué)史料和文物,而是各種版次的數(shù)學(xué)史著作;研讀方法上要圍繞同一個(gè)事件,研讀不同版本的數(shù)學(xué)史,從不同的數(shù)學(xué)史著作中豐富此數(shù)學(xué)事件的內(nèi)涵,更要參考數(shù)學(xué)史上數(shù)學(xué)家的傳記等資料;在缺乏資料的情況下,不妨運(yùn)用“邏輯推演”的方式對(duì)某知識(shí)發(fā)展的歷史過(guò)程作出解釋。一方面可以站在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的高度,對(duì)古人數(shù)學(xué)思考和方法的走向進(jìn)行數(shù)理分析,以合情推理來(lái)把殘缺的歷史資料統(tǒng)合起來(lái);另一方面,可以依據(jù)數(shù)學(xué)發(fā)生發(fā)展的規(guī)律,對(duì)某知識(shí)的形成作出解釋。復(fù)原,,40,策略一(4),,,41,策略二(1),寬于數(shù)學(xué)史實(shí),即數(shù)學(xué)史的考察要和其它數(shù)學(xué)教育理論結(jié)合在一起。數(shù)學(xué)史所揭示的數(shù)學(xué)思想發(fā)展歷程,其最終可以歸結(jié)為數(shù)學(xué)家們的思維發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程,因而,數(shù)學(xué)發(fā)展的本質(zhì)和數(shù)學(xué)教育心理等其他數(shù)學(xué)教育理論所揭示的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律是相通的。,42,策略二(2),從歷史上看,算術(shù)、代數(shù)、幾何、三角和微積分都不是通過(guò)操作形式化的符號(hào)而產(chǎn)生的,任何一門(mén)學(xué)科最初都是通過(guò)直觀的方法建立起來(lái)的,數(shù)學(xué)家大都也是直觀地思考問(wèn)題,然后才用演繹的形式,用文字、數(shù)學(xué)符號(hào)和形式邏輯來(lái)表述他的論點(diǎn)。,43,策略二(3),數(shù)學(xué)教育心理學(xué)“表征”,44,策略三(1),從歷史中汲取的教學(xué)素材和啟示,只不過(guò)提供了數(shù)學(xué)教學(xué)的另一種可能,能否成為現(xiàn)實(shí)的課堂,還應(yīng)該切合教學(xué)的現(xiàn)實(shí)狀況課程標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)際要求、這一內(nèi)容的教科書(shū)編寫(xiě)要義、學(xué)生可能的接受水平等,即在數(shù)學(xué)史和教學(xué)現(xiàn)實(shí)狀況間應(yīng)該達(dá)成一種平衡,以順應(yīng)課堂教學(xué)的特點(diǎn)。,45,策略三(2),課堂教學(xué)中運(yùn)用數(shù)學(xué)史,不是完全再現(xiàn)歷史歷程,而是再現(xiàn)數(shù)學(xué)發(fā)展進(jìn)程中的經(jīng)典瞬間,讓學(xué)生接受數(shù)學(xué)思想的洗禮。為此,荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家弗萊登塔爾說(shuō)“孩子應(yīng)該重復(fù)人類(lèi)的學(xué)習(xí)過(guò)程,但并非按照它的實(shí)際發(fā)生過(guò)程,而是假定人們?cè)谶^(guò)去就知道更多的我們現(xiàn)在所知道的東西,那情況會(huì)怎么發(fā)生?!币虼?,這其中重要的是符號(hào)化而不是符號(hào)本身,是語(yǔ)言描述而不是語(yǔ)言本身,是定義化而不是定義本身,如此等等。,46,策略三(3),數(shù)學(xué)史也只有和教學(xué)現(xiàn)實(shí)融合在一起,才能明晰課堂教學(xué)的整體思路,不然教學(xué)就會(huì)迷失在浩瀚的數(shù)學(xué)史料中,失去應(yīng)有的教學(xué)目標(biāo)。,47,結(jié)束語(yǔ),盡管數(shù)學(xué)史不是解決一切數(shù)學(xué)教育問(wèn)題的靈丹妙藥,但它對(duì)于數(shù)學(xué)教育的促進(jìn)作用已成大家共識(shí)。數(shù)學(xué)史就其本質(zhì)而言是人類(lèi)數(shù)學(xué)思想的發(fā)展史,而數(shù)學(xué)教育的高境界是數(shù)學(xué)思想的感悟和熏陶,因而,數(shù)學(xué)教育無(wú)疑能從數(shù)學(xué)史中汲取更豐富的養(yǎng)分,數(shù)學(xué)史也完全能夠促使數(shù)學(xué)教育變得更加豐富。,48,,謝謝傾聽(tīng),
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