數(shù)學(xué)悖論及其對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的影響

1、數(shù)學(xué)悖論及其對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的影響摘要：數(shù)學(xué)悖論，曾經(jīng)引起了數(shù)學(xué)界的無(wú)數(shù)爭(zhēng)端，它使得數(shù)學(xué)前進(jìn)的腳步一次次陷入迷途。然而，每一次數(shù)學(xué)悖論的解決、澄清，又會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)前進(jìn)的腳步加快，產(chǎn)生許多新的思想、新的學(xué)科，它又使得數(shù)學(xué)飛翔，畢答哥拉斯悖論的解決，使得數(shù)學(xué)向公理化、演繹化的方向發(fā)展。貝克萊悖論引起的第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的解決以及微積分的發(fā)現(xiàn)，使人們的眼睛從有限走向無(wú)限，微積分在這一時(shí)期的到了完善。羅素悖論引起的第三次數(shù)學(xué)危機(jī)，又使人們對(duì)集合論的基礎(chǔ)產(chǎn)生了

2、懷疑，邏輯主義、直覺(jué)主義和形式主義之間激烈的爭(zhēng)論，最終，哥德?tīng)?5歲時(shí)的發(fā)現(xiàn)又使得數(shù)學(xué)走向了新的紀(jì)元。1畢答哥拉斯悖論與第一次數(shù)學(xué)危機(jī)1.1畢答哥拉斯悖論畢答哥拉斯悖論，又稱希帕索斯悖論。大約公元前580年到公元前500年左右，產(chǎn)生在撒摩斯島的著名哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、音樂(lè)家、教育家畢答哥拉斯（與我國(guó)孔子，印度釋迦牟尼基本同時(shí)）。這位偉大的天才創(chuàng)辦了以其名字命名的學(xué)派——畢答哥拉斯學(xué)派，這個(gè)學(xué)派當(dāng)時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)做了大量的研究并且有突出的貢

3、獻(xiàn)。畢答哥拉斯及其學(xué)派把“萬(wàn)物皆數(shù)”作為基本信念。也就是說(shuō)，在他們眼里，一切事物和現(xiàn)象可以歸結(jié)為整數(shù)與整數(shù)的比，這就是所謂的“數(shù)的和諧”。而他們相信宇宙的本質(zhì)就是這種“數(shù)的和諧”，在這種情況下，他們對(duì)幾何量做了大量的研究。換句話說(shuō)，有理數(shù)可以充滿整個(gè)數(shù)軸。他們通過(guò)實(shí)驗(yàn)的方式證實(shí)了，任何兩條線段都是可通約的。著一命題顯然是正確的。于是，我們可以明白，當(dāng)畢答哥拉斯學(xué)派提出“任何兩個(gè)量都是可通約的”時(shí)，古希臘人是如何坦然地接受這一似乎是無(wú)可懷

4、疑的結(jié)論，懷疑可作為共同公度量的第三條線段的存在，似乎是十分荒謬的，不是嗎？答案竟是：就不是！畢答哥拉斯的一個(gè)學(xué)生希帕索斯，他發(fā)現(xiàn)的###就是人類歷史上誕生的第一個(gè)無(wú)理數(shù)，不可通約量或無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，是畢答哥拉斯學(xué)派的最重大的貢獻(xiàn)。1.2第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的解決1.2.1歐多克索斯的解決方案畢答哥拉斯悖論，曾使希臘數(shù)學(xué)的發(fā)展陷入迷途、陷入困境。然而，幫助希臘人擺脫困境的關(guān)鍵一步是由才華橫溢的歐多克索斯邁出的。我們已經(jīng)清楚的了解到，古希臘人面對(duì)

5、的難題是任何解決不可通約量或以我們現(xiàn)在的方式說(shuō)是無(wú)理數(shù)。對(duì)他們來(lái)說(shuō)，問(wèn)題的來(lái)源是幾何，只要研究線段等幾何量，就不得不面對(duì)不可通約量。這是無(wú)法繞過(guò)去的，但是涉及到“數(shù)”時(shí)，則可以采取“避而不談”的策略。于是，古希臘人設(shè)想的思路是：在數(shù)的領(lǐng)域，仍然只承認(rèn)整數(shù)（或整數(shù)的比）。只要在幾何研究中，能解決幾何量中出現(xiàn)的不可通約量問(wèn)題就可以宣告萬(wàn)事大吉了。簡(jiǎn)而言之，把數(shù)和量分開，研究的關(guān)鍵轉(zhuǎn)向線段、面積、體積等幾何量，令人稱奇的是，古希臘人依照這種思

6、路走下去，竟然成功了。歐多克索斯本人的著作已經(jīng)全部失傳。不過(guò)，他的比例論成果被保存在歐幾里得的《幾何原本》一書的第五卷中。在其中，歐幾里得先是給出了關(guān)于量的幾個(gè)定義。其中比較重要的有：定義3：兩個(gè)同類量之間的一種數(shù)量關(guān)系叫比。定義4：如果一個(gè)量增大幾倍后可以大于另一個(gè)量，則說(shuō)這兩個(gè)量有一個(gè)比。這兩個(gè)定義的特別之處在于，它實(shí)際上允許了不可通約量的存在。如正方形的邊長(zhǎng)增加2倍后就可以超過(guò)起對(duì)角線了，所以現(xiàn)在就可以對(duì)兩者定義一個(gè)比了。上述的兩

7、個(gè)定義是邁出的第一步，為了能夠展開研究，還需要進(jìn)一步定義兩個(gè)比之間的關(guān)系，定義5就是給出了兩個(gè)比相等的定義，這是歐多克索斯解決方案中的一個(gè)中心概柏拉圖的思想對(duì)希臘產(chǎn)生了強(qiáng)有力的影響，他強(qiáng)調(diào)要把數(shù)奠基于邏輯之上。并堅(jiān)持使用準(zhǔn)確的定義，清楚的假設(shè)的嚴(yán)格的證明，他堅(jiān)持對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)體系演繹整理，在他的《理想國(guó)》中明白的陳述：“你們知道幾何，算術(shù)和有關(guān)科學(xué)的學(xué)生，在他們的各種分支里，假定奇數(shù)和偶數(shù)，圖形以及三種類型的角度是已知的；這些是他們的假設(shè)，

8、使大家認(rèn)為他們以及所有人都知道的事，因而認(rèn)為是無(wú)需想他們自己向別人做任何交代的；但他們是從這些事實(shí)出發(fā)的，并以前后一貫的方式往下推，直到得出結(jié)論，柏拉圖所強(qiáng)調(diào)的應(yīng)以自然的假設(shè)出發(fā)進(jìn)行嚴(yán)格的證明的思想后來(lái)成為古希臘公理方法的發(fā)端。柏拉圖的這些思想在他的學(xué)生尤其是亞里士多德那里又得到了極大的發(fā)展和完善，對(duì)數(shù)學(xué)而言，亞里士多德最大的貢獻(xiàn)是在前人基礎(chǔ)上完成經(jīng)典著作《工具論》，把邏輯規(guī)律典范化，闡述了邏輯學(xué)理論，從而創(chuàng)立了古典邏輯學(xué)。亞里士多德研

9、究和討論了三段論問(wèn)題，他相信邏輯它應(yīng)該建立在三段論的基礎(chǔ)上，（三段論是由三個(gè)判斷構(gòu)成，其中的兩個(gè)判斷是前提，一個(gè)判斷是結(jié)論），如果三段論的前提是正確的，那么結(jié)論也必然正確。但在他看來(lái)，不是任何知識(shí)都可以作為三段論的前提，前提必須是大眾普遍接受的事實(shí)，他還認(rèn)為根據(jù)我們不會(huì)出錯(cuò)的直覺(jué)可知，公理是真的，他也首次提出了基本的思想規(guī)律矛盾律和排中律。亞里士多德的邏輯思想為他集合整理在嚴(yán)密的體系之中創(chuàng)造了必要條件，奠定了基礎(chǔ)，為形成一門獨(dú)立的初等幾

10、何理論做好了充分的準(zhǔn)備。而在這之后，作為亞里士多德的邏輯學(xué)與當(dāng)時(shí)已有數(shù)學(xué)成果完善結(jié)合的結(jié)晶，孕育了歐幾里德的巨著《幾何原本》。從公元前6世紀(jì)起，希臘幾何學(xué)不斷超前積累新的事實(shí)和闡明集合原理的相互關(guān)系的方向迅速發(fā)展，在歐幾里德之前，希臘人已經(jīng)積累了大量的數(shù)學(xué)知識(shí)，并已用邏輯推理的方法去證明結(jié)論。而在亞里士多德的影響推動(dòng)下，邏輯理論一漸臻成熟，公理化思想已是大勢(shì)所趨，這些為形成一門獨(dú)立的理論科學(xué)做好了充分準(zhǔn)備，形成一個(gè)嚴(yán)整的幾何結(jié)構(gòu)是“山雨

11、欲來(lái)風(fēng)滿樓”了。其實(shí)，在歐幾里德之前已有好幾位數(shù)學(xué)家做過(guò)這種整理但經(jīng)得起歷史風(fēng)霜考驗(yàn)的只有歐幾里德的《幾何原本》。就《幾何原本》內(nèi)容而言，有很多來(lái)自于此前畢達(dá)哥拉斯學(xué)派及歐多克索斯的前驅(qū)工作，但使他贏得非凡評(píng)價(jià)的絕不限于其內(nèi)容的重要，或者其對(duì)定理的出色證明。真正重要的是歐幾里德在書中創(chuàng)造的被稱為公理化的方法?！稁缀卧尽纷罱K給出了119個(gè)定義，5條公設(shè)和5條公理成為全書推理的出發(fā)點(diǎn)，論證的依據(jù)。利用公理、公設(shè)，定義為要素，作為已知?dú)W幾里

12、德先證明了第一個(gè)命題。然后又以之為基礎(chǔ)，并作為新的已知來(lái)證明第二個(gè)命題，其中包括54個(gè)作圖。其證明之精彩，邏輯之嚴(yán)密，結(jié)構(gòu)之嚴(yán)謹(jǐn)令人嘆為觀止，零散的數(shù)學(xué)理論被他成功編織為一個(gè)從基本假定到最復(fù)雜結(jié)論的連續(xù)網(wǎng)絡(luò)。因而在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，歐幾里德認(rèn)為是成功而系統(tǒng)地應(yīng)用公理化方法的第一人，他的工作被公認(rèn)為是最早公理法建立演繹數(shù)學(xué)體系的典范?！稁缀卧尽返挠绊戇€越出數(shù)學(xué)，成為人類文明史的里程碑，并對(duì)西方思想產(chǎn)生了及其深遠(yuǎn)的影響。它的創(chuàng)立孕育出一種理論

13、性的精神。人類任何其他的創(chuàng)造都不可能像歐幾里德的幾百條定理那樣顯示出這么多的知識(shí)都是僅僅靠推導(dǎo)得出來(lái)的，這些大量深?yuàn)W的演繹結(jié)果，使得希臘人和以后的的文明了解到理性的力量，從而增強(qiáng)了他們利用這種才能獲得成功的信心，受這一成就的鼓舞，西方人吧理性運(yùn)用于其他領(lǐng)域，神學(xué)家，邏輯學(xué)家，哲學(xué)家，政治家和教育真理的的追求者，都紛紛仿效歐幾里德幾何的形式的推演過(guò)程，著名數(shù)學(xué)家，哲學(xué)家羅志在《西方哲學(xué)史》中說(shuō)：“歐幾里德的《幾何原本》毫無(wú)疑義是古往今來(lái)最