隨機控制和對策理論中的一些倒向問題.pdf

1、倒向隨機微分方程(BSDE)主要關心在有隨機干擾的環(huán)境中如何使一個系統達到預期的目標.其理論自創(chuàng)立以來，在隨機控制和對策，數理金融，偏微分方程，非線性數學期望等領域取得了廣泛的應用。 本文旨在發(fā)展和完善BSDE理論，以更好的研究隨機控制和對策中出現的倒向問題。在隨機控制和對策問題中，無論是用BSDE來描述代價(或者效用)泛函，還是用BSDE來描述控制系統，這些問題的核心是BSDE理論.甚至BSDE本身也是一類隨機控制問題.因此，

2、BSDE理論的進步和完善無疑會促進一些控制和對策問題的進展。這篇論文的第二，三章致力于BSDE理論本身的研究。在第二章中，我們得到了BSDE理論的一個基礎性的結果：解的唯一性和連續(xù)依賴性是等價的.在BSDE的系數g滿足Lipschitz條件的前提下.BSDE的解對參數的連續(xù)依賴性由下面的不等式所表達：由此推演出豐富多彩的成果.我們的結論在某種程度上可以看作上面不等式在非Lip-schitz條件下的對應物，它為非Lipschitz條件下的

3、BSDE的研究提供了一個有力的工具。不同于(正向的)隨機微分方程，BSDE的解由兩個部分(Y，Z)組成.雖然目前關于BSDE的結論大部分集中在解的第一部分Y上，但是了解么同樣是非常重要的.這篇論文的第三章研究了相當于控制策略的解的第二部分Z的一些基本性質，例如有界性，倒向生存性，比較性質等.Z在金融衍生產品定價理論中代表投資組合，我們的結論可以對投資組合中風險資產價值的正負，大小，區(qū)間有清晰的刻劃.作為Z的有界性質的另一個應用，我們處理

4、了一類由Bensoussan和Frehsc [6]提出的隨機對策問題。 在隨機控制理論中，有一類指標泛函是用BSDE的解來描述的.例如：在效用理論中，經濟學家使用BSDE的解來描述遞歸效用.為使效用最大化，產生了一類遞歸最優(yōu)控制問題.彭實戈在[59;74]中系統而深入的研究了這類問題.然而，在實際問題中，有時人們會要求自己的效用高于某條“底線”，也就是說.BSDE的解要大于等于某個隨機過程.這需要我們用反射BSDE的解來描述這種

5、帶障礙約束的遞歸效用.相應的產生一類帶障礙約束的遞歸最優(yōu)控制問題.在金融市場中.當貸款利率高于存款利率時，美式未定權益的定價問題是這類控制問題的一個具體的例子.在這篇論文的第四章，我們針對這類帶障礙約束的遞歸最優(yōu)控制問題進行了研究，得到了動態(tài)規(guī)劃原理.并證明了值函數是相應的HJB方程唯一的粘性解.這一部分工作深受彭實戈[74]的工作的啟發(fā). 由于BSDE是一類具有良好結構的動態(tài)系統，自然的，我們去研究以BSDE作為控制系統的隨機控制問題

6、和對策問題，我們稱之為倒向隨機控制問題和倒向隨機對策問題.這類問題有實際的意義.在達到某個給定的隨機目標的前提下，使自己的代價最小(或者效用最大)，這可以看作倒向隨機控制問題.例如追擊問題等.多個人合作去達到一個共同的隨機目標，而每個人又希望自己付出的代價最小(或者自己獲得的效用最大)，這類合作博弈可以看作倒向隨機對策問題.目前，關于倒向隨機控制問題的研究很少，而在本文之前，關于倒向隨機對策問題的研究更是空白.在這篇論文的第五章，我們研

7、究了倒向隨機控制和對策(也研究推廣的部分耦合的正倒向情形)的一類重要情形：線性二次問題.得到了唯一的最優(yōu)控制(對于控制問題)和唯一的Nash均衡點(對于對策問題)的顯式表達，本文共分為五章： 第一章：介紹從第二章到第五章我們討論的問題，背景及想法。 第二章：研究連續(xù)系數的BSDE解的唯一性和連續(xù)依賴性之間的等價關系.正如常微分方程的理論，這個性質是BSDE理論中的一個基本的結論.這部分的主要結果足下面的定理2.2.1(簡

8、單情況)和定理2.3.4(一般情況)。定理2.2.1.如果g滿足假設(H2.1)-(H2.3)，那么下面的兩種陳述是等價的.(i)唯一性:方程(2.1)的解唯一.(ii)關于ε的連續(xù)依賴性:任給{ζn}∞n=1，ζ∈L2(Ω,FT，P;R)，當n→∞時，如果ζn→ζin L2(Ω,FT,P,R)，那么其中(yζ(·)，zζ(·))是BSDE(2.1)的任意的一個解，(yζn(·)，zζn(·))是BSDE(g：T，ζn) 的任意一個解.

9、定理2.3.4.如果gλ滿足假設（H2.1'）-（H2.4'），那么下面的陳述是等價的。 第三章：使用Malliavin分析的工具，我們研究BSDE的解的第二部分z的某些性質，例如有界性，倒向隨機生存性(BSVP)，比較性質。然后，我們將這些理論結果應用到數理金融中.由于Z可以代表復制衍生產品價格的資產組合，利用我們得到的關于z的性質，可以對風險資產價值的正負，大小，區(qū)間有清晰的刻劃。在這一章的最后，我們處理了一類隨機非零和微分

10、對策問題.這個對策問題來源于Bcnsoussan和Frehsc[6]，但是他們利用偏微分方程的方法，只能夠處理Markovian情形.我們利用Malliavin變分技術和Z的有界性質，在non-Markovian情形下得到了一個Nash均衡點的顯式表達，有很好的實際應用意義.定理3.5.2.令假設（H3.2）-（H3.5)成立，u﹡=(u1﹡，…ui﹡…uN﹡)，其中u﹡由(3.57)式定義，是隨機非零和微分對策問題的一個Nash均衡點

11、，Ji(x，u﹡)=Yi﹡(0)=Ji（xi，u2，-ui﹡)，其中ui是任意的容許控制μ的第i個分量(i=1，2，..N).(Yi﹡(·).Z﹡i(·))是BSDEs(3.56)的一個解。 第四章：我們研究了一類帶有障礙約束的遞歸最優(yōu)控制問題，即，控制系統的效用泛函由一個反射BSDE(帶一個下反射邊界)所描述.具體來說，我們考慮下面的控制系統：這類遞歸最優(yōu)控制問題在金融市場中有應用.在借貸款利率不同的時候，美式衍生證券定價問題

12、就可以轉化為該類帶有障礙約束的遞歸最優(yōu)控制問題.一個直觀的問題是：對于該類最優(yōu)化問題，經典的動態(tài)規(guī)劃原理是否成立?我們證明了一些反射BSDE的性質，使用彭實戈[74]的思想和框架，借助于這些性質和分析技巧，我們得到了值函數的確定性和連續(xù)性，證明了推廣的動態(tài)規(guī)劃原理(DPP)對該類問題依然成立。命題4.2.6.(確定性)令假設.（H4.2.1)-(H4.2.4) 成立，由(4.10) 定義的值函數u(t，x)是一個確定的過程。引理4.2.

13、8.(關于x的連續(xù)性)任給t∈[0，T]，x，x′，∈Rn，我們有(i)|u(t,x)-u(t,x′)|2≤C|x-x′|2+C(1+|x|+|x′|)|x-x′|；我們將這個對策問題和一個線性的初始端耦合的正倒向隨機微分方程(FBSDE)聯系起來.使用“連續(xù)化方法”，我們得到這類初始端耦合的FBSDE解的存在唯一性結果。定理5.1.3.令假設(H5.1.1)(H5.1.3)成立.FBSDE(5.1)存在唯一一個適應解(X，Y, Z)。