簡介:1,SYMPY,符號運(yùn)算庫,目錄,從例子開始?xì)W拉恒等式球體體積數(shù)學(xué)表達(dá)式符號數(shù)值運(yùn)算符和函數(shù)符號運(yùn)算表達(dá)式變換和化簡方程,2,目錄,微分微分方程積分其他功能,3,,4,SYMPY是一個符號數(shù)學(xué)PYTHON庫。它的目標(biāo)是成為一個全功能的計算機(jī)代數(shù)系統(tǒng),同時保持代碼的精簡而易于理解和可擴(kuò)展。SYMPY完全由PYTHON寫成,不需要任何外部庫??捎肧YMPY進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)式的符號推導(dǎo)和演算。可使用ISYMPY運(yùn)行程序,ISYMPY在IPYTHON的基礎(chǔ)上添加了數(shù)學(xué)表達(dá)式的直觀顯示功能。啟動時還會自動運(yùn)行下面的程序,,這段程序首先將PYTHON的除法操作符“/”從整數(shù)除法改為普通除法。然后從SYMPY庫載入所有符號,并且定義了四個通用的數(shù)學(xué)符號X、Y、Z、T,三個表示整數(shù)的符號K、M、N,以及三個表示數(shù)學(xué)函數(shù)的符號F、G、H。,5,FROM__FUTURE__IMPORTDIVISIONFROMSYMPYIMPORTX,Y,Z,TSYMBOLSX,Y,Z,TK,M,NSYMBOLSK,M,N,INTEGERTRUEF,G,HSYMBOLSF,G,H,CLSFUNCTIONINIT_PRINTING,從例子開始,歐拉恒等式此公式被稱為歐拉恒等式,其中E是自然常數(shù),I是虛數(shù)單位,是圓周率。此公式被譽(yù)為數(shù)學(xué)中最奇妙的公式,它將5個基本數(shù)學(xué)常數(shù)用加法、乘法和冪運(yùn)算聯(lián)系起來。從SYMPY庫載入的符號中,E表示自然常數(shù),I表示虛數(shù)單位,PI表示圓周率,因此上面的公式可以直接如下計算,6,EIPI1?0,從例子開始,SYMPY除了可以直接計算公式的值之外,還可以幫助做數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)和證明。歐拉恒等式可以將代入下面的歐拉公式得到在SYMPY中可以使用EXPAND將表達(dá)式展開,用它展幵試試看沒有成功,只是換了一種寫法而已。當(dāng)EXPAND的COMPLEX參數(shù)為TRUE時,表達(dá)式將被分為實數(shù)和虛數(shù)兩個部分,7,EXPANDEIXEXPIX??,從例子開始,這次將表達(dá)式展開了,但是得到的結(jié)果相當(dāng)復(fù)雜。顯然,EXPAND將X當(dāng)做復(fù)數(shù)了。為了指定X為實數(shù),需要重新定義X終于得到了需要的公式??梢杂锰├斩囗検綄ζ溥M(jìn)行展開,8,EXPANDEXPIX,COMPLEXTRUEIEXPIMXSINREXEXPIMXCOSREX?,XSYMBOL“X“,REALTRUEEXPANDEXPIX,COMPLEXTRUEISINXCOSX?,從例子開始,SERIES對表達(dá)式進(jìn)行泰勒級數(shù)展開??梢钥吹秸归_之后虛數(shù)項和實數(shù)項交替出現(xiàn)。根據(jù)歐拉公式,虛數(shù)項的和應(yīng)該等于SINX的泰勒展開,而實數(shù)項的和應(yīng)該等于COSX的泰勒展開。,9,TMPSERIESEXPIX,X,0,10PRINTTMP1IXX2/2IX3/6X4/24IX5/120X6/720IX7/5040X8/40320IX9/362880OX10TMP,從例子開始,下面獲得TMP的實部下面對COSX進(jìn)行泰勒展開,可看到其中各項和上面的結(jié)果是一致的。,10,RETMPX8/40320X6/720X4/24X2/2REOX101,SERIESCOSX,X,0,101X2/2X4/24X6/720X8/40320OX10,從例子開始,11,下面獲得TMP的虛部下面對SINX進(jìn)行泰勒展開,其中各項也和上面的結(jié)果一致。由于展開式的實部和虛部分別等于COSX和SINX,因此驗證了歐拉公式的正確性。,IMTMPX9/362880X7/5040X5/120X3/6XIMOX10,SERIESSINX,X,0,10XX3/6X5/120X7/5040X9/362880OX10,從例子開始,球體體積SCIPY介紹了如何使用數(shù)值定積分計算球體的體積,SYMPY中的INTEGRATE則可以進(jìn)行符號積分。用INTEGRATE進(jìn)行不定積分運(yùn)算如果指定變量X的取值范圍,INTEGRATE就能進(jìn)行定積分運(yùn)算,12,INTEGRATEXSINX,XXCOSXSINX,INTEGRATEXSINX,X,0,2PI2PI,從例子開始,為了計算球體體積,首先看看如何計算圓的面積,假設(shè)圓的半徑為R,則圓上任意一點的Y坐標(biāo)函數(shù)為因此可以直接對函數(shù)YX在R到R區(qū)間上進(jìn)行定積分得到半圓面積。,13,X,Y,RSYMBOLSX,Y,RF2INTEGRATESQRTRRX2,X,R,RPRINTF2INTEGRALSQRTR2X2,X,R,R,從例子開始,首先需要定義運(yùn)算中所需的符號,這里用SYMBOLS一次創(chuàng)建多個符號。INTEGRATE沒有計算出積分結(jié)果,而是直接返冋了輸入的算式。這是因為SYMPY不知道R是大于0的,重新定義R,就可以得到正確答案了接下來對此面積公式進(jìn)行定積分,就可以得到球體的體積,但是隨著X軸坐標(biāo)的變化,對應(yīng)切面的半徑也會發(fā)生變化。,14,RSYMBOLSR,POSITIVETRUECIRCLE_AREA2INTEGRATESQRTR2X2,X,R,RPRINTCIRCLE_AREAPIR2,從例子開始,假設(shè)X軸的坐標(biāo)為X,球體的半徑為R,那么X處球的切面半徑可以使用前面的公式Y(jié)X計算出。因此需要對圓的面積公式CIRCLE_AREA中的變量R進(jìn)行替代然后對CIRCLE_AREA中的變量X在區(qū)間R到R上進(jìn)行定積分,就可以得到球體的體積公式,15,CIRCLE_AREACIRCLE_AREASUBSR,SQRTR2X2PRINTCIRCLE_AREAPIR2X2,PRINTINTEGRATECIRCLE_AREA,X,R,R4PIR3/3,從例子開始,16,用SUBS進(jìn)行算式替換SUBS可以將算式中的符號進(jìn)行替換,它有3種調(diào)用方式EXPRESSIONSUBSX,Y將算式中的X替換成YEXPRESSIONSUBS{XY,UV}使用字典進(jìn)行多次替換EXPRESSIONSUBSX,Y,U,V使用列表進(jìn)行多次替換請注意多次替換是順序執(zhí)行的,因此EXPRESSIONSUBSX,Y,Y,X并不能對符號X和Y進(jìn)行交換。,數(shù)學(xué)表達(dá)式,符號創(chuàng)建一個符號使用SYMBOLS,此函數(shù)會返回一個SYMBOL對象,用于表示符號變量,其有NAME屬性,這是符號名,如其中左邊的X是一個符號對象,而右邊括號中用引號包著的X是符號對象的NAME屬性,兩個X不要求一樣,但是為了易于理解,通常將符號對象和NAME屬性顯示成一樣,另外NAME屬性是引號包起來的。如要同時配置多個符號對象,SYMBOLS中多個NAME屬性可以以,17,X0SYMBOLSX0‘,數(shù)學(xué)表達(dá)式,空格或者逗號分隔,然后用引號包住,如下一次配置三個符號,由于符號對象名和NAME屬性名經(jīng)常一致,所以可以使用VAR()函數(shù),如這語句和上個語句功能一致,在當(dāng)前環(huán)境中創(chuàng)建了4個同名的SYMBOL對象(為了防止誤會,使用SYMBOLS其實更好)。,18,VAR“X0,Y0,X1,Y1“X0,Y0,X1,Y1,X0,Y0,X1,Y1SYMBOLSX0,Y0,X1,Y1,數(shù)學(xué)表達(dá)式,上面的語句創(chuàng)建了名為X0、Y0、X1、Y1的4個SYMBOL對象,同時還在當(dāng)前的環(huán)境中創(chuàng)建了4個同名的變量來分別表示這4個SYMBOL對象。因為符號對象在轉(zhuǎn)換為字符串時直接使用它的NAME屬性,因此在交互式環(huán)境中看到變量,X0的值就是X0,但是査看變量X0的類型時就可以發(fā)現(xiàn),它實際上是一個SYMBOL對象。,19,X0X0TYPEX0SYMPYCORESYMBOLSYMBOLX0NAMEX0TYPEX0NAMESTR,數(shù)學(xué)表達(dá)式,變量名和符號名當(dāng)然也可以是不一樣的,例如數(shù)學(xué)公式中的符號一般都有特定的假設(shè),例如M、N通常是整數(shù),而Z經(jīng)常表示復(fù)數(shù)。在用VAR、SYMBOLS或SYMBOL創(chuàng)建SYMBOL對象時,可以通過關(guān)鍵字參數(shù)指定所創(chuàng)建符號的假設(shè)條件,這些假設(shè)條件會影響到它們所參與的計算。,20,A,BSYMBOLS“ALPHA,BETA“A,BALPHA,BETA,數(shù)學(xué)表達(dá)式,例如,下面創(chuàng)建了兩個整數(shù)符號M和N,以及一個正數(shù)符號X每個符號都有許多IS_屬性,用以判斷符號的各種假設(shè)條件。在IPYTHON中,使用自動完成功能可以快速査看這些假設(shè)的名稱。注意下劃線后為大寫字母的屬性,用來判斷對象的類型而全小寫字母的屬性,則用來判斷符號的假設(shè)條件。,21,M,NSYMBOLS“M,N“,INTEGERTRUEXSYMBOL“X“,POSITIVETRUE,數(shù)學(xué)表達(dá)式,,22,XIS_按了TAB鍵自動完成XIS_SYMBOLX是一個符號TRUEXIS_POSITIVEX是一個正數(shù)TRUEXIS_IMAGINARY因為X可以比較大小,所以它不是虛數(shù)FALSEXIS_COMPLEXX是一個復(fù)數(shù),因為復(fù)數(shù)包括實數(shù),而實數(shù)包括正數(shù)TRUE,數(shù)學(xué)表達(dá)式,23,使用ASSUMPTIONS0屬性可以快速査看所有的假設(shè)條件,其中COMMUTATIVE為TRUE表示此符號滿足交換律,其余的假設(shè)條件根據(jù)英文名很容易知道它們的含義。在SYMPY中,所有的對象都從BASIC類繼承,實際上這些IS_屬性和ASSUMPTIONS0屬性都是在BASIC類中定義的,XASSUMPTIONS0,SYMBOLMRO,數(shù)學(xué)表達(dá)式,數(shù)值為了實現(xiàn)符號運(yùn)算,在SYMPY內(nèi)部有一整套數(shù)值運(yùn)算系統(tǒng)。因此SYMPY的數(shù)值和PYTHON的整數(shù)、浮點數(shù)是完全不同的對象。為了使用方便,SYMPY會盡量自動將PYTHON的數(shù)值類型轉(zhuǎn)換為SYMPY的數(shù)值類型。此外,SYMPY提供了一個S對象用于進(jìn)行這種轉(zhuǎn)換。在下面的例子中,當(dāng)有SYMPY的數(shù)值參與計算時,結(jié)果將是SYMPY的數(shù)值對象。,24,數(shù)學(xué)表達(dá)式,“5/6”在SYMPY中使用RATIONAL對象表示,它由兩個整數(shù)的商表示,數(shù)學(xué)上稱之為有理數(shù)。也可以直接通過RATIONAL創(chuàng)建,25,1/21/3結(jié)果為浮點數(shù)08333333333333333S1/21/S3結(jié)果為SYMPY的數(shù)值對象5/6,RATIONAL5,10有理數(shù)會自動進(jìn)行約分處理1/2,數(shù)學(xué)表達(dá)式,26,運(yùn)算符和函數(shù)SYMPY重新定義了所有的數(shù)學(xué)運(yùn)算符和數(shù)學(xué)函數(shù)。例如ADD類表示加法,MUL類表示乘法,而POW類表示指數(shù)運(yùn)算,SIN類表示正弦函數(shù)。和SYMBOL對象一樣,這些運(yùn)算符和函數(shù)都從BASIC類繼承,可在IPYTHON中查看它們的繼承列表例如ADDMRO??梢允褂眠@些類創(chuàng)建復(fù)雜的表達(dá)式,VAR“X,Y,Z,N“ADDX,Y,ZXYZADDMULX,Y,Z,POWX,Y,SINZXYZXYSINZ,數(shù)學(xué)表達(dá)式,由于在BASIC類中重新定義了__ADD__等用于創(chuàng)建表達(dá)式的方法,因此可以使用和PYTHON表達(dá)式相同的方式創(chuàng)建SYMPY的表達(dá)式在BASIC類中定義了兩個很重要的屬性FUNC和ARGS。FUNC屬性得到對象的類,而ARGS得到其參數(shù)。使用這兩個屬性可以觀察SYMPY所創(chuàng)建的表達(dá)式。SYMPY沒有減法運(yùn)算類,下面看看減法運(yùn)算所得到的表達(dá)式,27,XYZSINZXYXYZXYSINZ,數(shù)學(xué)表達(dá)式,通過上面的例子可以看出,表達(dá)式“XY”在SYMPY中實際上是用“ADDX,MUL1,Y”表示的。同樣,SYMPY中沒有除法類,可使用和上面相同的方法觀察“X/Y”在SYMPY中是如何表示的。,28,TXYTFUNC減法運(yùn)算用加法類ADD表示SYMPYCOREADDADDTARGS兩個加數(shù)一個是X,一個是YX,YTARGS1FUNCY是用MUL表示的SYMPYCOREMULMULTARGS1ARGS1,Y,數(shù)學(xué)表達(dá)式,SYMPY的表達(dá)式實際上是一個由BASIC類的各種對象進(jìn)行多層嵌套所得到的樹狀結(jié)構(gòu)。下面的函數(shù)使用遞歸顯示這種樹狀結(jié)構(gòu)由于FSOLVE函數(shù)在調(diào)用函數(shù)F時,傳遞的參數(shù)為數(shù)組,因此如果直接使用數(shù)組中的元素計算的話,計算速度將會有所降低,因此這里先用FLOAT函數(shù)將數(shù)組中的元素轉(zhuǎn)換為PYTHON中的標(biāo)準(zhǔn)浮點數(shù),然后調(diào)用標(biāo)準(zhǔn)MATH庫中的函數(shù)進(jìn)行運(yùn)算。,29,DEFPRINT_EXPRESSIONE,LEVEL0SPACES““LEVELIFISINSTANCEE,SYMBOL,NUMBERPRINTSPACESSTRERETURNIFLENEARGS0PRINTSPACESEFUNC__NAME__FORARGINEARGSPRINT_EXPRESSIONARG,LEVEL1ELSEPRINTSPACESEFUNC__NAME__,數(shù)學(xué)表達(dá)式,例如在SYMPY中使用下面的樹表示由于其中的各個對象的ARGS屬性類型是元組,因此表達(dá)式一旦創(chuàng)建就不能再改變。使用不可變的結(jié)構(gòu)表示表達(dá)式有很多優(yōu)點,例如可以用表達(dá)式作為字典的鍵。,30,PRINT_EXPRESSIONSQRTX2Y2POWADDPOWX2POWY21/2,數(shù)學(xué)表達(dá)式,除了使用SYMPY中預(yù)先定義好的具有特殊運(yùn)算含義的數(shù)學(xué)函數(shù)之外,還可以使用FUNCTION創(chuàng)建自定義的數(shù)學(xué)函數(shù)請注意FUNCTION雖然是一個類,但是上面的語句所得到的F并不是FUNCTION類的實例。和預(yù)定義的數(shù)學(xué)函數(shù)一樣,F(xiàn)是一個類,它從FUNCTION類繼承,31,FFUNCTION“F“,F__BASE__SYMPYCOREFUNCTIONAPPLIEDUNDEFISINSTANCEF,FUNCTIONFALSE,數(shù)學(xué)表達(dá)式,當(dāng)我使用F創(chuàng)建一個表達(dá)式時,就相當(dāng)于創(chuàng)建它的一個實例F的實例T可以參與表達(dá)式運(yùn)算,32,TFX,YISINSTANCET,FUNCTIONTRUETYPETFTFUNC(其中FUNC和ARGS是BASIC類的兩個非常重要的屬性,分別表示對象的類和對象的參數(shù))FTARGSX,Y,TTTFX,Y2FX,Y,符號運(yùn)算,表達(dá)式變換和化簡SIMPLIFY可以對數(shù)學(xué)表達(dá)式進(jìn)行化簡,例如SIMPLIFY調(diào)用SYMPY內(nèi)部的多種表達(dá)式變換函數(shù)對表達(dá)式進(jìn)行化簡運(yùn)算。但是數(shù)學(xué)表達(dá)式的化簡是一件非常復(fù)雜的工作,并且對于同一個表達(dá)式,根據(jù)其使用目的可以有多種化簡方案。,33,SIMPLIFYX22X122X3,符號運(yùn)算,34,RADSIMP對表達(dá)式的分母進(jìn)行有理化,它所得到的表達(dá)式的分母部分將不含無理數(shù)。例如它也可以對帶符號的表達(dá)式進(jìn)行處理,RADSIMP1/SQRT52SQRT2SQRT52SQRT2/3,RADSIMP1/YSQRTXXSQRTYSQRTXYXSQRTY/XYXY,符號運(yùn)算,RATSIMP對表達(dá)式中的分母進(jìn)行通分運(yùn)算,即將表達(dá)式轉(zhuǎn)換為分子除分母的形式FRACTION返回一個包含表達(dá)式的分子和分母的元組,用它可以獲得RATSIMP通分之后的分子或分母注意FRACTION不會自動對表達(dá)式進(jìn)行通分運(yùn)算,因此,35,RATSIMPX/XYY/XY2Y2/X2Y21,FRACTIONRATSIMP1/X1/YXY,XY,FRACTION1/X1/Y1/Y1/X,1,符號運(yùn)算,CANCEL對分式表達(dá)式的分子分母進(jìn)行約分運(yùn)算,可以對純符號的分式表達(dá)式以及自定義函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行約分,但是不能對內(nèi)部函數(shù)的表達(dá)式進(jìn)行約分。,36,CANCELX21/1XX1CANCELSINX21/1XCANCEL不能對函數(shù)內(nèi)部的表達(dá)式進(jìn)行約分SINX2/X11/X1CANCELFX21/FX1能對自定義函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行約分FX1,符號運(yùn)算,TRIGSIMP對表達(dá)式中的三角函數(shù)進(jìn)行化簡。它有兩個可選參數(shù)DEEP和RECURSIVE,默認(rèn)值都為FALSE。當(dāng)DEEP參數(shù)為TRUE時,將對表達(dá)式中的所有子表達(dá)式進(jìn)行簡化運(yùn)算;當(dāng)RECURSIVE參數(shù)為TRUE時,將遞歸使用TRIGSIMP進(jìn)行最大限度的化簡,37,TRIGSIMPSINX22SINXCOSXCOSX2SIN2X1TRIGSIMPFSINX22SINXCOSXCOSX2也能對自定義函數(shù)中的三角函數(shù)化簡,至今不知道DEEP和RECURSIVE是干嘛的FSIN2X1,符號運(yùn)算,38,EXPAND_TRIG可以對三角函數(shù)的表達(dá)式進(jìn)行展開。它實際上是對EXPAND的封裝,通過將EXPAND的TRIG參數(shù)設(shè)置為TRUE,實現(xiàn)三角函數(shù)的展開計算。輸入“EXPAND_TRIG”來査看它調(diào)用EXPAND時的參數(shù)。EXPAND通用的展開運(yùn)算,根據(jù)用戶設(shè)置的標(biāo)志參數(shù)對表達(dá)式進(jìn)行展幵。默認(rèn)情況下,以下的標(biāo)志參數(shù)為TRUE。MUL展開乘法,EXPAND_TRIGSIN2XY2COSX21SINY2SINXCOSXCOSY,符號運(yùn)算,LOG展開對數(shù)函數(shù)參數(shù)中的乘積和冪運(yùn)算MULTINOMIAL展開加法式的整數(shù)次冪POWER_BASE展開冪函數(shù)的底數(shù)乘積,39,X,YSYMBOLS“X,Y“,POSITIVETRUEEXPANDLOGXY2LOGX2LOGY,EXPANDXY3X33X2Y3XY2Y3,EXPANDXYZXYXZ,符號運(yùn)算,可以將默認(rèn)為TRUE的標(biāo)志參數(shù)設(shè)置為FALSE,強(qiáng)制不展開對應(yīng)的表達(dá)式。在下面的例子中,將MUL設(shè)置為FALSE,因此不對乘法進(jìn)行展開EXPAND的以下標(biāo)志參數(shù)默認(rèn)為FALSE。COMPLEX展開復(fù)數(shù)的實部和虛部,默認(rèn)不展開復(fù)數(shù)的實部和虛部,40,X,Y,ZSYMBOLS“X,Y,Z“,POSITIVETRUEEXPANDXLOGYZ,MULFALSEXLOGYLOGZ,X,YSYMBOLS“X,Y“,COMPLEXTRUEEXPANDXY,COMPLEXTRUEREXREYIREXIMYIREYIMXIMXIMY,符號運(yùn)算,FUNC對一些特殊函數(shù)進(jìn)行展開TRIG展開三角函數(shù)EXPAND_LOG、EXPANDMUL、EXPAND_COMPLEX、EXPAND_TRIG、EXPAND_FUNC等函數(shù)則通過將相應(yīng)的標(biāo)志參數(shù)設(shè)置為TRUE,對EXPAND進(jìn)行封裝。,41,EXPANDGAMMA1X,FUNCTRUEXGAMMAX,EXPANDSINXY,TRIGTRUESINXCOSYSINYCOSX,符號運(yùn)算,42,FACTOR可以對多項式表達(dá)式進(jìn)行因式分解COLLECT收集表達(dá)式中指定符號的有理指數(shù)次冪的系數(shù)。例如,希望獲得如下表達(dá)式中X的各次冪的系數(shù),FACTOR15X22Y3X10XY3X2Y5X1FACTOREXPANDXY20XY20,A,BSYMBOLSA,BEQ1AX31BX2,符號運(yùn)算,首先需要對表達(dá)式EQ進(jìn)行展開,得到的表達(dá)式EQ2是一系列乘式的和然后調(diào)用COLLECT,對表達(dá)式EQ2中X的冪的系數(shù)進(jìn)行收集,43,EQ2EXPANDEQEQ2A3X33A2X23AXB2X22BX2,COLLECTEQ2,XA3X3X23A2B2X3A2B2,符號運(yùn)算,默認(rèn)情況下,COLLECT返回的是一個整理之后的表達(dá)式,如果我們希望得到X的各次冪的系數(shù),可以設(shè)置EVALUATE參數(shù)為FALSE,讓它返回一個以X的冪為鍵、值為系數(shù)的字典,44,PCOLLECTEQ2,X,EVALUATEFALSEPS1常數(shù)項,注意需要用SYMPY中的數(shù)值1,或者使用PX02PX2X的2次項系數(shù)B23A2,符號運(yùn)算,45,COLLECT也可以收集表達(dá)式的各次冪的系數(shù),例如下面的程序收集表達(dá)式“SIN2X”的系數(shù),COLLECTASIN2XBSIN2X,SIN2XABSIN2X,符號運(yùn)算,46,方程在SYMPY中,表達(dá)式可以直接表示值為0的方程。也可以使用EQ創(chuàng)建方程。SOLVE可以對方程進(jìn)行符號求解,它的第一個參數(shù)是表示方程的表達(dá)式,其后的參數(shù)是表示方程中未知變量的符號。下面的例子使用SOLVE對一元二次方程進(jìn)行求解,A,B,CSYMBOLS“A,B,C“SOLVEAX2BXC,XBSQRT4ACB2/2A,BSQRT4ACB2/2A,符號運(yùn)算,使用EQ創(chuàng)建一個方程對象并求解,47,MY_EQEQAX2BXC,0SOLVEMY_EQ,XBSQRT4ACB2/2A,BSQRT4ACB2/2A,符號運(yùn)算,由于方程的解可能有多組,因此SOLVE返回一個列表保存所有的解??梢詡鬟f包含多個表達(dá)式的元組或列表,讓SOLVE對方程組進(jìn)行求解,得到的解是兩層嵌套的列表,其中每個元組表示方程組的一組解,48,對方程組求解(用元組將幾個方程組成一個組)SOLVEX2XY1,Y2XY2,X,YSQRT3I/3,2SQRT3I/3,SQRT3I/3,2SQRT3I/3有兩組解,符號運(yùn)算,微分DERIVATIVE是表示導(dǎo)函數(shù)的類,它的第一個參數(shù)是需要進(jìn)行求導(dǎo)的數(shù)學(xué)函數(shù),第二個參數(shù)是求導(dǎo)的自變量注意DERIVATIVE所得到的是一個導(dǎo)函數(shù),它并不會進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算如果希望它進(jìn)行實際的運(yùn)算,計算出導(dǎo)函數(shù),可以調(diào)用其DOIT方法,49,TDERIVATIVESINX,X創(chuàng)建了一個導(dǎo)函數(shù)對象TDERIVATIVESINX,X,TDOITCOSX,符號運(yùn)算,50,也可以直接使用DIFF函數(shù)或表達(dá)式的DIFF方法來計算導(dǎo)函數(shù)使用DERIVATIVE對象可以表示自定義的數(shù)學(xué)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),例如,DIFFSIN2X,X2COS2XSIN2XDIFFX2COS2XDIFFSIN2X,X,24SIN2XDIFFSIN2X,X,38COS2X,DERIVATIVEFX,XDERIVATIVEFX,X,符號運(yùn)算,由于SYMPY不知道如何對自定義的數(shù)學(xué)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),因此它的DIFF方法會返回和上面相同的結(jié)果添加更多的符號參數(shù)可以表示高階導(dǎo)函數(shù),例如,51,FXDIFFX方法中的X表示對X符號進(jìn)行求導(dǎo)DERIVATIVEFX,X,DERIVATIVEFX,X,3表示FX對X求三階導(dǎo)數(shù)(或者偏導(dǎo))DERIVATIVEFX,X,X,X也可以寫作,符號運(yùn)算,也可以表示多個變量的導(dǎo)函數(shù),例如DIFF求解的格式和DERIVATIVE聲明的格式類似,例如下面的語句計算SINXY對X兩次求導(dǎo)、對Y三次求導(dǎo)的結(jié)果,52,DERIVATIVEFX,Y,X,2,Y,3對X求二階導(dǎo)且對Y求三階導(dǎo)數(shù)(5階數(shù))DERIVATIVEFX,Y,X,X,Y,Y,Y,DIFFSINXY,X,2,Y,3XX2Y2COSXY6XYSINXY6COSXY,符號運(yùn)算,微分方程DSOLVE可以對微分方程進(jìn)行符號求解。它的第一個參數(shù)是一個帶未知函數(shù)的表達(dá)式,第二個參數(shù)是需要進(jìn)行求解的未知函數(shù)。例如下面的程序?qū)ξ⒎址匠踢M(jìn)行求解。得到的結(jié)果是一個自然指數(shù)函數(shù),它有一個待定系數(shù)C1。,53,FFUNCTION“F“DSOLVEDERIVATIVEFX,XFX,FXFXC1EXPX,符號運(yùn)算,用DSOLVE解微分方程時可以傳遞一個HINT參數(shù),指定微分方程的解法。該參數(shù)的默認(rèn)值為“DEFAULT”,表示由SYMPY自動挑選解法。可以將HINT參數(shù)設(shè)置為“BEST”,讓DSOLVE嘗試所有己知解法,并返回最簡單的解,例如下面對微分方程進(jìn)行求解。得到的結(jié)果是一個一般方程,它描述了FX和自變量之間的關(guān)系。一般把這種函數(shù)稱為隱函數(shù),54,符號運(yùn)算,55,如果設(shè)置HINT參數(shù)為“BEST”,就能得到更簡單的顯函數(shù)表達(dá)式,XSYMBOLS“X“,REALTRUE定義符號X為實數(shù)EQ1DSOLVEFXDIFFXFX2FX,FXEQ1FXC1/C1EXPX,EQ2DSOLVEFXDIFFXFX2FX,FX,HINT“BEST“EQ2FXC1/C1EXPX,符號運(yùn)算,積分INTEGRATE可以計算定積分和不定積分INTEGRATEF,X計算不定積分INTEGRATEF,X,A,B計算定積分如果要對多個變量計算多重積分,只需要將被積分的變量依次列出即可INTEGRATEF,X,Y計算雙重不定積分INTEGRATEF,X,A,B,Y,C,D計算雙重定積分,56,符號運(yùn)算,和DERIVATIVE對象表示微分表達(dá)式類似,INTEGRAL對象表示積分表達(dá)式,它的參數(shù)和INTEGRATE類似,例如調(diào)用積分對象的DOIT方法可以對其進(jìn)行求值計算,57,EINTEGRALXSINX,XEINTEGRALXSINX,X,EDOITXCOSXSINX,符號運(yùn)算,有些積分表達(dá)式無法進(jìn)行符號化簡,這時可以調(diào)用其EVALF方法或用求值函數(shù)N對其進(jìn)行數(shù)值運(yùn)算由于無法進(jìn)行符號定積分,可用EVALF和N對其進(jìn)行數(shù)值運(yùn)算,58,E2INTEGRALSINX/X,X,0,1E2DOITSI1SI,E2EV
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