簡介:1,2024/3/27,非線性動力學第一章汪秉宏,中國科學技術大學近代物理系,,2,2024/3/27,第一章引言,§1NEWTON力學及其發(fā)展§2非線性動力學的研究對象§3非線性動力系統(tǒng)模型的建立,3,2024/3/27,§1NEWTON力學及其發(fā)展,力學的定性研究時期(公元前-17世紀中葉)ARCHIMEDES,GALILEO,KEPLER定量研究時期(17世紀中葉-19世紀末)NEWTON,LAGRANGE,HAMILTON,4,2024/3/27,(17世紀)NEWTON方程,基本問題已知的函數(shù)形式,求上述方程組的解析表達式。數(shù)學家可證明其存在性及唯一性?;痉椒ǎ_論存在收斂問題。在天體力學中取得很大成功,能夠精確預言天體的運動。,5,2024/3/27,18世紀LAGRANGE方程,LAGRANGE函數(shù),6,2024/3/27,19世紀HAMILTON方程,引進廣義動量,HAMILTON函數(shù),7,2024/3/27,LAGRANGE,HAMILTON方程均與NEWTON方程等價力學的基本問題、基本方法未變結論二百多年來牛頓力學無實質性進展,,8,2024/3/27,19世紀末、20世紀初發(fā)生的對于牛頓力學的三大變革,9,2024/3/27,太陽系是否穩(wěn)定N體穩(wěn)定性問題,微擾是否收斂許多科學家宣稱太陽系是穩(wěn)定的,但并未給出其證明。如DIRICHLET。奧斯卡獎1890年授予POINCARE他證明了所有微擾級數(shù)是發(fā)散的,因而研究穩(wěn)定性必須使用新的方法定性方法幾何拓撲,微分拓撲。力學的基本問題及基本方法必須徹底改變。求解析解并不解決問題。,10,2024/3/27,新力學的理論特點力學的基本問題,研究系統(tǒng)在相空間中的軌跡的幾何性質。即研究相軌圖PHASEPORTRAIT例如是否周期解(用微擾法不能回答這一問題)給出級數(shù)展開式如何證明,11,2024/3/27,新力學的理論特點,基本方法定性方法微分拓撲??大范圍分析代數(shù)與群論數(shù)值方法計算機模擬大大拓寬了力學的研究領域發(fā)現(xiàn)了許多新的力學現(xiàn)象。如混沌、分岔、突變、結構穩(wěn)定性轉變,12,2024/3/27,§2非線性動力學的研究對象非線性動力系統(tǒng)及各種特征系統(tǒng)的現(xiàn)象,A什么是非線性動力系統(tǒng)線性方程量Φ滿足的方程LΦ0若(I)Φ是線性空間中一個元素(矢量)(II)LAΦ+BΨALΦ+BLΨ非線性動力系統(tǒng)的定義一個動力系統(tǒng),若其基本力學量的運動由非線性方程描述,則稱作非線性動力學系統(tǒng)。,13,2024/3/27,非線性動力系統(tǒng)若一個動力系統(tǒng)由方程描述,其中也可以用系綜概率密度ΡX的運動描述。LIUVILL方程是線性的。兩個方程等價。但兩者的基本力學量不同。若以X為基本力學量,F(xiàn)為非線性時,則系統(tǒng)為非線性。,14,2024/3/27,考慮一對一變換則非線性方程有可能化為線性的習題1求G的顯示表達式有些系統(tǒng),其相空間不是線性空間,這類系統(tǒng)必定是非線性的。例如剛體動力學方程,相空間為SO3流形。稱為運動KINETIC非線性。F的非線性稱為力學非線性。,15,2024/3/27,B什么是特征非線性現(xiàn)象,例考慮映射設FXX則XN1XN即使F是非線性的,沒有任何不同于線性系統(tǒng)的有趣特征,,,,16,2024/3/27,已知的特征非線性現(xiàn)象混沌、分岔、突變、自組織現(xiàn)象、耗散結構,分形特征,當FXRX1X時出現(xiàn)一系列分岔、混沌等非線性現(xiàn)象。非線性科學并不研究對于線性關系的偏離,而必須研究質的變化。,17,2024/3/27,§3非線性動力系統(tǒng)模型的建立實際系統(tǒng)往往包含巨大數(shù)目自由度S~1023,從中得出基本力學量及其遵循的方程,微觀描述Μ為控制參量,表示外界的影響,18,2024/3/27,亞宏觀描述引進集體運動變量忽略連續(xù)系統(tǒng)運動的漲落,可由微觀描述得到漲落耗散定理漲落項,,19,2024/3/27,宏觀描述在長時間后,絕大多數(shù)集體運動模式由于耗散而衰減掉,可以考慮剩余運動模式。,設長時間后只剩下X1,,XM的運動,則在T→∞時有HAKEN稱之為隨動原理SLAVINGPRINCIPLE代入前一方程,消去XJ,JM1,,N得XJ,J1,,M稱作序參量(基本力學量)絕熱消除法中心流形→慣性流形,20,2024/3/27,IPADDRESS2023883243USERNAMEGUESTPASSWORDGUEST,FTPCOMPLEXITY,THANKSFORATTENTION,THANKSFORATTENTION,
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